Page namespace (page_namespace) | 0 |
Page title without namespace (page_title) | 'Magnitude (mathematics)' |
Full page title (page_prefixedtitle) | 'Magnitude (mathematics)' |
Old content model (old_content_model) | 'wikitext' |
New content model (new_content_model) | 'wikitext' |
Old page wikitext, before the edit (old_wikitext) | '{{Other uses|Magnitude (disambiguation)}}
Во [[математика]] '' 'големината' '' е со големина на [[математички објект]], имотот со кој објектот може да се спореди како поголеми или помали од другите предмети од ист вид. Повеќе формално, големината на објектот е на [[теорија за | нарачување]] (или рангирање) на [[класа (математика) | клас]] на објекти на кој му припаѓа.
==History==
Грците се разликува помеѓу неколку видови на големина, <ref> {{цитираат книга
| последните = Хит
| Првиот = Томас SMD.
| authorlink = Т. Л. Хит
| title = Тринаесетте Книги Елементи Евклид
| издание = 2nd ed. [Факс. Оригиналниот објавување: Cambridge University Press, 1925]
| година = 1956
| издавач = Довер Публикации
| локација = Њујорк
}}</ref> including:
*Positive [[fractions]]
*[[Line segment]]s (ordered by [[length]])
*[[Geometric shape|Plane figures]] (ordered by [[area]])
*[[Polyhedron|Solids]] (ordered by [[volume]])
*[[Angle|Angles]] (ordered by angular magnitude)
Тие се покажа дека првите две не може да биде иста, па дури и [[изоморфни]] системи на големината <ref> {{цитат. | Title = реални броеви и реална анализа | прв = Итан Д. | последната = Блох | издавач = Спрингер | година = 2011 | ISBN = 9780387721774 | page = 52 | url = https: //books.google.com/books id = vXw_AAAAQBAJ & стр = PA52 | цитат = идејата за incommensurable парови на должини на отсечки бил откриен во античка Грција}}. </ ref> Тие не сметаат негативни магнитуди да биде целисходна, и '' големината '' се уште главно се користи во контекст во кој е нула или најниска големина или помалку од сите можни големини.
==Numbers==
{{Main|Absolute value}}
The magnitude of any [[number]] is usually called its "[[absolute value]]" or "modulus", denoted by |''x''|.
===Real numbers===
The absolute value of a [[real number]] ''r'' is defined by:<ref>Mendelson, Elliott, ''Schaum's Outline of Beginning Calculus'', McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2, page 2</ref>
:<math> \left| r \right| = r, \text{ if } r \text{ ≥ } 0 </math>
:<math> \left| r \right| = -r, \text{ if } r < 0 .</math>
Тоа може да се смета за растојание на бројот од нула на недвижен [[број на линија]]. На пример, на апсолутната вредност на 7 и -7 е 7.
Комплексни броеви === ===
A [[комплексен број]] '' z '' може да се гледа како на позицијата на точка '' P '' во [[Евклидов простор | 2-димензионален простор]], наречен [[комплексната рамнина]]. Апсолутната вредност или модул на '' z '' може да се смета за растојанието на '' P '' од потеклото на тој простор. Формулата за апсолутната вредност на {{nowrap | 1 = '' z '' = '' а '' + '' би ''}} е сличен на оној за [[Евклидовата норма]] на векторот во 2 димензионални Евклидов простор: <ref> Ahlfors, Ларс V .: '' комплексната анализа '', Mc Graw Хил Kogakusha, Токио (1953) </ ref>
:<math> \left| z \right| = \sqrt{a^2 + b^2 }</math>
where the real numbers ''a'' and ''b'' are the [[real part]] and the [[imaginary part]] of ''z'', respectively. For instance, the modulus of {{nowrap|−3 + 4<var>''i''</var>}} is <math>\sqrt{(-3)^2+4^2} = 5</math>. Alternatively, the magnitude of a complex number ''z'' may be defined as the square root of the product of itself and its [[complex conjugate]], ''z''<sup>∗</sup>, where for any complex number {{nowrap|1=''z'' = ''a'' + ''bi''}}, its complex conjugate is {{nowrap|1=''z''<sup>∗</sup> = ''a'' − ''bi''}}.
:<math> \left| z \right| = \sqrt{zz^* } = \sqrt{(a+bi)(a-bi)} = \sqrt{a^2 -abi + abi - b^2i^2} = \sqrt{a^2 + b^2 }</math>
<big>(</big> recall <math>i^2 = -1</math> <big>)</big>
==Vector spaces==
===Euclidean vector space===
{{Main|Euclidean norm}}
A [[Euclidean vector]] represents the position of a point ''P'' in a [[Euclidean space]]. Geometrically, it can be described as an arrow from the origin of the space (vector tail) to that point (vector tip). Mathematically, a vector '''x''' in an ''n''-dimensional Euclidean space can be defined as an ordered list of ''n'' [[real number]]s (the [[Cartesian coordinate]]s of ''P''): ''x'' = [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>]. Its '''magnitude''' or '''length''' is most commonly defined as its [[Norm (mathematics)#Euclidean norm|Euclidean norm]] (or Euclidean length):<ref> {{Citation|last=Anton|first=Howard|year=2005|title=Elementary Linear Algebra (Applications Version)|publisher=Wiley International|edition=9th}}</ref>
:<math>\|\mathbf{x}\| := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}.</math>
For instance, in a 3-dimensional space, the magnitude of [3, 4, 12] is 13 because √(3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> + 12<sup>2</sup>) = √169 = 13.
This is equivalent to the [[square root]] of the [[dot product]] of the vector by itself:
:<math>\|\mathbf{x}\| := \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}.</math>
The Euclidean norm of a vector is just a special case of [[Euclidean distance]]: the distance between its tail and its tip. Two similar notations are used for the Euclidean norm of a vector ''x'':
#<math>\left \| \mathbf{x} \right \|,</math>
#<math>\left | \mathbf{x} \right |.</math>
A disadvantage to the second notation is that it is also used to denote the [[absolute value]] of scalars and the [[determinant]]s of matrices and therefore its meaning can be ambiguous.
=== === Normed векторски простори
{{Main | Normed векторски простор}}
По дефиниција, сите Евклидовата вектори имаат магнитуда (види погоре). Сепак, идејата за големината не може да се примени на сите видови на вектори.
Функција која мапира се спротивставува на нивните величини се нарекува [[норма (математика) | норма]]. A [[векторски простор]] опремен со норма, како што е Евклидов простор, се нарекува [[normed векторски простор]] <ref> {{Цитат |. Последна = Голан | прв = Џонатан С. | датум =-ти јануари 2007 година | title = линеарната алгебра почеток дипломиран студент треба да знаете | издавач = Спрингер | издание = 2 | ISBN 978-1-4020-5494-5 =}} </ ref> Не сите векторски простори се normed.
===Pseudo-Euclidean space===
In a [[pseudo-Euclidean space]], the magnitude of a vector is the value of the [[quadratic form]] for that vector.
==Logarithmic magnitudes==
Кога се споредуваат величини, на [[логаритам]] IC скала често се користи. Примери за [[гласност]] на [[Sound]] (мерено во [[децибели | децибели]]), на [[Brightness]] на [[ѕвезда]] и [[Рихтер големината скала | Рихтер скала]] на интензитет на земјотрес. Логаритамска величини може да биде негативен. Тоа не е значајно да се едноставно додадете или одземе.
==Order of magnitude==
{{main|Order of magnitude}}
Фразата "редот на големина различно" се користи за означување разлика во нумерички квантитет, обично мерење, со фактор на 10, односно, разликата од една цифра во локацијата на децимална точка.
==See also==
*[[Number sense]]
==References==
{{reflist}}
[[Category:Elementary mathematics]]' |
New page wikitext, after the edit (new_wikitext) | '{{Other uses|Magnitude (disambiguation)}}
Во [[математика]] '' 'големината' '' е со големина на [[математички објект]], имотот со кој објектот може да се спореди како поголеми или помали од другите предмети од ист вид. Повеќе формално, големината на објектот е на [[теорија за | нарачување]] (или рангирање) на [[класа (математика) | клас]] на објекти на кој му припаѓа.
==History==
Грците се разликува помеѓу неколку видови на големина, <ref> {{цитираат книга
| последните = Хит
| Првиот = Томас SMD.
| authorlink = Т. Л. Хит
| title = Тринаесетте Книги Елементи Евклид
| издание = 2nd ed. [Факс. Оригиналниот објавување: Cambridge University Press, 1925]
| година = 1956
| издавач = Довер Публикации
| локација = Њујорк
}}</ref> including:
*Positive [[fractions]]
*[[Line segment]]s (ordered by [[length]])
*[[Geometric shape|Plane figures]] (ordered by [[area]])
*[[Polyhedron|Solids]] (ordered by [[volume]])
*[[Angle|Angles]] (ordered by angular magnitude)
Тие се покажа дека првите две не може да биде иста, па дури и [[изоморфни]] системи на големината <ref> {{цитат. | Title = реални броеви и реална анализа | прв = Итан Д. | последната = Блох | издавач = Спрингер | година = 2011 | ISBN = 9780387721774 | page = 52 | url = https: //books.google.com/books id = vXw_AAAAQBAJ & стр = PA52 | цитат = идејата за incommensurable парови на должини на отсечки бил откриен во античка Грција}}. </ ref> Тие не сметаат негативни магнитуди да биде целисходна, и '' големината '' се уште главно се користи во контекст во кој е нула или најниска големина или помалку од сите можни големини.
==Numbers==
{{Main|Absolute value}}
The magnitude of any [[number]] is usually called its "[[absolute value]]" or "modulus", denoted by |''x''|.
===Real numbers===
The absolute value of a [[real number]] ''r'' is defined by:<ref>Mendelson, Elliott, ''Schaum's Outline of Beginning Calculus'', McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2, page 2</ref>
:<math> \left| r \right| = r, \text{ if } r \text{ ≥ } 0 </math>
:<math> \left| r \right| = -r, \text{ if } r < 0 .</math>
Тоа може да се смета за растојание на бројот од нула на недвижен [[број на линија]]. На пример, на апсолутната вредност на 7 и -7 е 7.
Комплексни броеви === ===
A [[комплексен број]] '' z '' може да се гледа како на позицијата на точка '' P '' во [[Евклидов простор | 2-димензионален простор]], наречен [[комплексната рамнина]]. Апсолутната вредност или модул на '' z '' може да се смета за растојанието на '' P '' од потеклото на тој простор. Формулата за апсолутната вредност на {{nowrap | 1 = '' z '' = '' а '' + '' би ''}} е сличен на оној за [[Евклидовата норма]] на векторот во 2 димензионални Евклидов простор: <ref> Ahlfors, Ларс V .: '' комплексната анализа '', Mc Graw Хил Kogakusha, Токио (1953) </ ref>
:<math> \left| z \right| = \sqrt{a^2 + b^2 }</math>
where the real numbers ''a'' and ''b'' are the [[real part]] and the [[imaginary part]] of ''z'', respectively. For instance, the modulus of {{nowrap|−3 + 4<var>''i''</var>}} is <math>\sqrt{(-3)^2+4^2} = 5</math>. Alternatively, the magnitude of a complex number ''z'' may be defined as the square root of the product of itself and its [[complex conjugate]], ''z''<sup>∗</sup>, where for any complex number {{nowrap|1=''z'' = ''a'' + ''bi''}}, its complex conjugate is {{nowrap|1=''z''<sup>∗</sup> = ''a'' − ''bi''}}.
:<math> \left| z \right| = \sqrt{zz^* } = \sqrt{(a+bi)(a-bi)} = \sqrt{a^2 -abi + abi - b^2i^2} = \sqrt{a^2 + b^2 }</math>
<big>(</big> recall <math>i^2 = -1</math> <big>)</big>
== == Векторски простори
=== Евклидовата векторски простор ===
{{Main | Евклидовата норма}}
A [[Евклидов вектор]] претставува позицијата на точка '' P '' во [[Евклидов простор]]. Геометриски, тоа може да се опише како стрела од потеклото на вселената (вектор опашката) на таа точка (вектор врвот). Математички, вектор '' 'x' '' во '' n '' - димензионален Евклидов простор може да се дефинира како подредена листа на '' n '' [[реален број]] и (на [[Декартов координатен]] Сигурност на '' P ''): '' x '' = [ '' x '' <под> 1 </ под> '' x '' <под> 2 </ под> ..., '' x '' <под> '' n '' </ под>]. Нејзините '' 'големината' '' или '' 'должина' '' е најчесто дефинирано како [[Норма (математика) #Euclidean норма | Евклидовата норма]] (или Евклидовата должина): <ref> {{Цитат | последната = Антон | прв = Хауард | година = 2005 | title = основно Линеарна алгебра (Апликации верзија) | издавач = Вајли International | 9-ти издание =}} </ ref>
<Math> \ | \ mathbf {x} \ | : = \ Sqrt {x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ cdots + x_n ^ 2} </ math>.
На пример, во 3-димензионален простор, големината на [3, 4, 12] е 13, бидејќи √ (3 <sup> 2 </ sup> +4 <sup> 2 </ sup> + 12 <sup> 2 </ sup>) = √169 = 13.
Ова е еквивалентно на [[квадратен корен]] на [[dot производ]] на векторот од себе:
<Math> \ | \ mathbf {x} \ | . = \ Sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}} </ math>
На Евклидовата норма на векторот е само посебен случај на [[Евклидовата растојание]]: растојанието помеѓу опашката и неговиот врв. Два слични нотации се користат за Евклидовата норма на вектор '' x '':
#<math>\left \| \mathbf{x} \right \|,</math>
#<math>\left | \mathbf{x} \right |.</math>
А недостаток на вториот нотација е дека тоа е исто така се користи за означување на [[апсолутна вредност]] на скалари и [[одредница]] и на матрици и затоа неговото значење може да биде двосмислена.
=== === Normed векторски простори
{{Main | Normed векторски простор}}
По дефиниција, сите Евклидовата вектори имаат магнитуда (види погоре). Сепак, идејата за големината не може да се примени на сите видови на вектори.
Функција која мапира се спротивставува на нивните величини се нарекува [[норма (математика) | норма]]. A [[векторски простор]] опремен со норма, како што е Евклидов простор, се нарекува [[normed векторски простор]] <ref> {{Цитат |. Последна = Голан | прв = Џонатан С. | датум =-ти јануари 2007 година | title = линеарната алгебра почеток дипломиран студент треба да знаете | издавач = Спрингер | издание = 2 | ISBN 978-1-4020-5494-5 =}} </ ref> Не сите векторски простори се normed.
===Pseudo-Euclidean space===
In a [[pseudo-Euclidean space]], the magnitude of a vector is the value of the [[quadratic form]] for that vector.
==Logarithmic magnitudes==
Кога се споредуваат величини, на [[логаритам]] IC скала често се користи. Примери за [[гласност]] на [[Sound]] (мерено во [[децибели | децибели]]), на [[Brightness]] на [[ѕвезда]] и [[Рихтер големината скала | Рихтер скала]] на интензитет на земјотрес. Логаритамска величини може да биде негативен. Тоа не е значајно да се едноставно додадете или одземе.
== == Ред на големина== ==
{{main|Order of magnitude}}
Фразата "редот на големина различно" се користи за означување разлика во нумерички квантитет, обично мерење, со фактор на 10, односно, разликата од една цифра во локацијата на децимална точка.
==See also==
*[[Number sense]]
==References==
{{reflist}}
[[Category:Elementary mathematics]]' |
