Ver el código de «Ángulo»

{{otros usos|Ángulo (desambiguación)}}
{{Redirige aquí|Ángulos|Angulos|para=la localidad de Argentina}}
[[Archivo:Angulo positivo.svg|thumb|Un ángulo positivo de 45°]]
[[Archivo:1degree.svg|thumb|Ángulo de amplitud de 1 grado sexagesimal]]

En [[geometría euclidiana]], un '''ángulo''' es la figura formada por dos [[Semirrecta|semirrectas]], llamadas ''[[Arista (geometría)|lados]]'', que comparten un punto final común, llamado ''[[Vértice (geometría)|vértice]]''.<ref name="cnice.mec.es">{{cita web|url=http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Medicion_de_angulos/angulo1.htm|título=Ángulos|fechaacceso=17 de octubre de 2010|editorial=descartes.cnice.mec.es}}</ref> 

La medida de un ángulo es considerada como la amplitud del arco de circunferencia centrada en el vértice y delimitada por sus lados. Su medida es un múltiplo de la razón entre la longitud del arco y el radio. Su unidad natural es el [[radián]], pero también se puede utilizar el [[grado sexagesimal]] o el [[grado centesimal]]. 

Pueden estar definidos sobre superficies planas ([[trigonometría]] plana) o curvas ([[trigonometría esférica]]). Se denomina [[ángulo diedro]] al espacio comprendido entre dos [[semiplano]]s cuyo origen común es una recta. Un [[ángulo sólido]] es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

''Ángulo'' también se utiliza para designar la [[medición]] de un ángulo o de una [[Rotación (matemáticas)|rotación]]. Esta medida es la relación entre la longitud de un [[arco (geometría)|arco circular]] y su[[Radio (geometría)| radio]]. En el caso de un ángulo geométrico, el arco está centrado en el vértice y delimitado por los lados. En el caso de una rotación, el arco está centrado en el centro de la rotación y delimitado por cualquier otro punto y su imagen por la rotación.
==Historia y etimología==
La palabra ''ángulo'' proviene del [[latín]] ''angŭlus'', que significa 'esquina'. Está conectada con la raíz [[lengua protoindoeuropea|protoindoeuropea]] ''*ank-'', que significa 'doblarse' o 'inclinarse'.<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref>

[[Euclides]] define un ángulo plano como la inclinación recíproca, en un plano, de dos rectas que se encuentran entre sí y no son rectas entre sí. Según [[Proclus]], un ángulo debe ser una cualidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por [[Eudemo de Rodas|Eudemo]], que consideraba un ángulo como una desviación de una [[línea recta]]; el segundo por [[Carpo de Antioquía]], que lo consideraba como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercer concepto.<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}</ref><ref>{{harvnb|Heiberg|1908|pp=177-178}}</ref>

== Definición y tipos de formas de clasificación ==

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el [[Plano (geometría)|plano]]:

# Forma geométrica: Se le llama «ángulo» a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado [[Vértice (Geometría)|vértice]]. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
# Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo entorno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

=== Definiciones clásicas ===

[[Euclides]] define un ángulo como la inclinación entre dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según [[Proclo]], un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por [[Eudemo de Rodas]], que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por [[Carpo de Antioquía]], que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

=== Región angular ===

Se denomina '''región angular''' a cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ángulo.<ref name="c">{{cita libro |título=Diccionario esencial de las ciencias|editor=Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales|isbn=84-239-7921-0|año=1999|editorial=Espsa}}</ref>

== Amplitud de un ángulo ==

Se llama '''amplitud''' de un ángulo a la medida de este.<ref name="c"/>

=== Unidades de amplitud ===

[[Archivo:Goniometro.jpg|thumb|Transportador de ángulos]]

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:
* [[Radián]] (usado oficialmente en el [[Sistema Internacional de Unidades]])

::<math> 1 \text{ vuelta} = 2\pi \; \mathrm{rad} </math>

* [[Grado sexagesimal]]

::<math> 1 \text{ vuelta} = 360^\circ </math>

* [[Grado centesimal]]

::<math> 1 \text{ vuelta} = 400^{\rm g} </math>

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el [[goniómetro]], el [[cuadrante]], el [[sextante]], la ballestina, el [[transportador]] de ángulos o semicírculo graduado, graduador, etc.

===Ángulos positivos y negativos=== 
Aunque la definición de la medida de un ángulo no respalda el concepto de ángulo negativo, con frecuencia es útil imponer una convención que permita que los valores angulares positivos y negativos representen orientaciones y / o rotaciones en direcciones opuestas con respecto a alguna referencia.

En un sistema de [[coordenadas cartesianas|coordenadas cartesiano]] bidimensional, un ángulo se define típicamente por sus dos lados, con su [[vértice]] en el origen. El lado inicial está en el eje ''x'' positivo, mientras que el otro lado o lado terminal está definido por la medida del lado inicial en radianes, grados o vueltas. Con ángulos positivos que representan rotaciones hacia el eje ''y'' positivo y ángulos negativos que representan rotaciones hacia el eje ''y'' negativo. Cuando las coordenadas cartesianas están representadas por la posición estándar, definida por el eje ''x'' hacia la derecha y el eje ''y'' hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido antihorario y las rotaciones negativas son en sentido horario.

En muchos contextos, un ángulo de -θ es efectivamente equivalente a un ángulo de «una vuelta completa menos θ». Por ejemplo, una orientación representada como -45° es efectivamente equivalente a una orientación representada como 360° -45° o 315°. Aunque la posición final es la misma, una rotación física (movimiento) de -45° no es lo mismo que una rotación de 315° (por ejemplo, la rotación de una persona sosteniendo una escoba descansando sobre un piso polvoriento dejaría huellas visualmente diferentes de regiones barridas en el suelo).

En la geometría tridimensional, «en el sentido de las agujas del reloj» y «en el sentido contrario a las agujas del reloj» no tienen un significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en relación con alguna referencia, que suele ser un vector que pasa por el vértice del ángulo y es perpendicular al plano en donde se encuentran los rayos del ángulo.

En la navegación, los rumbos o acimut se miden en relación con el norte. Por convención, visto desde arriba, los ángulos de orientación son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que una orientación de 45° corresponde a una orientación noreste. Los rumbos negativos no se utilizan en la navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315°.

{{Plantilla:Tabla de equivalencia de ángulos comunes}}

== Tipos de ángulos ==

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:
[[Archivo:BadSalzdetfurthBadenburgerStr060529.jpg|thumb|Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un [[ángulo agudo]].]]

{| class="wikitable" border="1"
! Tipo !! Descripción
|-

| Ángulo nulo
[[Archivo:Angulo000.svg|120px]]
|| Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, es decir, de 0°.
|-

| Ángulo agudo
[[Archivo:Angulo045.svg|120px]]
|| Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 [[radián|rad]] y menor de <math>\frac{\pi}{2}</math> rad. 

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° ([[grado sexagesimal|grados sexagesimales]]), o menor de 100<sup>g</sup> ([[grados centesimales]]).
|-

| [[Ángulo recto]]
[[Archivo:Angulo090.svg|120px]]
|| Un ángulo recto es de amplitud igual a <math>\frac{\pi}{2}</math> [[radián|rad]].

Es equivalente a 90° ''sexagesimales'' (o 100<sup>g</sup> ''centesimales'').

Los dos lados de un ángulo recto son [[Perpendicularidad|perpendiculares]] entre sí.<br />La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
|-

| Ángulo obtuso
[[Archivo:Angulo135.svg|120px]]
|| Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a <math>\frac{\pi}{2}</math> [[radián|rad]] y menor a <math>\pi\,</math> rad.

Mayor a 90° y menor a 180° ''sexagesimales'' (o más de 100<sup>g</sup> y menos de 200<sup>g</sup> ''centesimales'').
|-

| Ángulo llano
[[Archivo:Angulo180.svg|120px]]
|| El ángulo llano tiene una amplitud de <math> \pi \,</math> [[radián|rad]].

Equivalente a 180° ''sexagesimales'' (o 200<sup>g</sup> ''centesimales'').
|-

| Ángulo oblicuo
[[Archivo:Angulo225.svg|120px]]
||Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.

Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
|-

| Ángulo completo<br />o perigonal
[[Archivo:Angulo360.svg|120px]]
|| Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de <math> 2\pi\,</math> rad.

Equivalente a 360° ''sexagesimales'' (o 400<sup>g</sup> ''centesimales'').
|}

=== Ángulos coterminales ===

Se llama así a los ángulos que tienen el mismo lado final. Pueden ser en rotación contraria al ángulo dado o con una rotación mayor de 360°.

=== Ángulos convexo y cóncavo ===

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):<ref name=cnice.mec.es />

{| class="wikitable" border="1"
! Tipo !! Descripción
|-

| Ángulo convexo<br />o saliente
[[Archivo:Angulo060.svg|120px]]
|| Es el que mide menos de <math> \pi\,</math> rad.

Equivale a más de 0° y menos de 180°''sexagesimales'' (o más de 0<sup>g</sup> y menos de 200<sup>g</sup> ''centesimales'').
|-

| Ángulo cóncavo,<br />reflejo o entrante
[[Archivo:Angulo240.svg|120px]]
|| Es el que mide más de <math> \pi\,</math> [[radián|rad]] y menos de <math> 2 \pi\,</math> rad. 

Esto es, más de 180° y menos de 360° ''sexagesimales'' (o más de 200<sup>g</sup> y menos de 400<sup>g</sup> ''centesimales'').
|}

== Ángulos relacionados ==

Denominación relativo a su posición:
* Los [[ángulos consecutivos]] son los que comparten un lado y el vértice.
* Los [[ángulos adyacentes]] son los que tienen un vértice y un lado común, y los otros lados son semirrectas opuestas, pero no tienen ningún punto interior común, y suman 180°.
* Los [[ángulos opuestos por el vértice]] son aquellos cuyos lados son las semirrectas opuestas de los lados del otro.

Denominación en función de la suma de su amplitud:
* Los [[ángulos congruentes]] son aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo.
* Los [[ángulos complementarios]] son aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°.
* Los [[ángulos suplementarios]] son aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°.
* Ángulos '''replementarios''' o '''conjugados'''{{Cita requerida}} son aquellos cuya suma de medidas es 2π radianes o 360°

Denominación en función de la diferencia de su amplitud:
* Ángulos '''explementarios'''{{Cita requerida}} son aquellos cuyas medidas se diferencian en π radianes o 180°.

Cuando dos rectas son cortadas por una tercera, se forman las siguientes relaciones distantes:<ref>{{cita libro|título=Diccionario esencial de las ciencias|editorial=Espasa|isbn=84-239-7921-0}}</ref>
[[Archivo:RectaQueCorta.svg|thumb|Secante a dos rectas]]
{{AP|Ángulos entre paralelas}}
* Los '''ángulos alternos''' son aquellos ángulos dispuestos a distinto lado de la recta que corta otras dos paralelas, pero que no comparten lado.

::<math>\alpha</math> o <math>\gamma</math> es alterno a <math>\beta'</math> o a <math>\delta'</math>

::<math>\beta</math> o <math>\delta</math> es alterno a <math>\alpha'</math> o a <math>\gamma\,'</math>

:y viceversa.

* Los '''ángulos alternos internos''' son aquellos ángulos comprendidos entre las dos rectas cortadas, pero situados a distinto lado de la recta cortante.

::<math>\gamma</math> es alterno interno a <math>\beta'</math>

::<math>\delta</math> es alterno interno a <math>\alpha'</math>

* Los '''ángulos alternos externos''' son aquellos ángulos no comprendidos entre las dos rectas cortadas, pero situados a distinto lado de la recta que corta.

::<math>\alpha</math> es alterno externo a <math>\delta'</math>

::<math>\beta</math> es alterno externo a <math>\gamma\,'</math>

* Los '''ángulos correspondientes''' son los que están a un mismo lado de la transversal, uno pertenece a la región interior y otro a la región exterior. Son congruentes cuando las rectas cortadas son paralelas. <ref>{{cita libro|apellidos1=Morris|nombre1=Robert W.|título=Estudios en educación matemática|fecha=1986|editorial=Unesco|ubicación=París, Francia|isbn=92-3-302373-7|url=https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000124809_spa|página=65|fechaacceso=14 de noviembre de 2024}}</ref>

* Los '''ángulos conjugados internos''' son los que se encuentran del mismo lado de la secante y en la parte exterior de las rectas paralelas. <ref name="Toral Gutiérrez ">{{cita libro |apellido=Toral Gutiérrez |nombre=Carlos |título=Curso de Matemáticas 3º |idioma=español |año=2005 |editorial=Progreso |isbn=968-436-011-8|páginas=26}}</ref> Son suplementarios cuando las rectas cortadas son paralelas. <ref>{{cita libro|apellidos1=Morris|nombre1=Robert W.|título=Estudios en educación matemática|fecha=1986|editorial=Unesco|ubicación=París, Francia|isbn=92-3-302373-7|url=https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000124809_spa|página=65|fechaacceso=14 de noviembre de 2024}}</ref>

* Los '''ángulos conjugados externos''' son los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre de las rectas paralelas. <ref name="Toral Gutiérrez ">{{cita libro |apellido=Toral Gutiérrez |nombre=Carlos |título=Curso de Matemáticas 3º |idioma=español |año=2005 |editorial=Progreso |isbn=968-436-011-8|páginas=26}}</ref> Son suplementarios cuando las rectas cortadas son paralelas. <ref>{{cita libro|apellidos1=Morris|nombre1=Robert W.|título=Estudios en educación matemática|fecha=1986|editorial=Unesco|ubicación=París, Francia|isbn=92-3-302373-7|url=https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000124809_spa|página=65|fechaacceso=14 de noviembre de 2024}}</ref>


== Ángulos compuestos ==

[[Archivo:Ángulo compuesto.png|thumb|Dos ángulos contiguos forman un ángulo compuesto]]

Son los obtenidos mediante la suma o diferencia de ángulos. En la figura se representan dos sectores circulares contiguos, cada uno con su ángulo, denominados α y β respectivamente; la unión de los dos sectores tendrá por ángulo la composición, en este caso la suma, α + β, de los ángulos de los sectores que unimos.

Las razones trigonométricas de los ángulos compuestos están relacionadas con la de los ángulos componentes mediante las fórmulas de razones trigonométricas de ángulos compuestos, ver por ejemplo [[Identidades trigonométricas]].

== Ángulos de un polígono ==
===Ángulos internos y externos===
[[Archivo:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|Ángulos internos y externos.]]
Un ángulo que forma parte de un [[polígono simple]] se llama [[ángulo interior]] si se encuentra en el interior de ese polígono simple, siendo formado por lados adyacentes. Un polígono cóncavo simple tiene al menos un ángulo interior que es un ángulo reflejo.
En geometría euclidiana , las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman π radianes, 180 ° o 1/2 vuelta; las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo simple suman 2 π radianes, 360 ° o 1 vuelta. En general, las medidas de los ángulos interiores de un [[polígono convexo]] simple con n lados suman (n - 2)π  radianes, o ( n - 2) 180 grados, ( n - 2) 2 ángulos rectos o ( n  - 2) 1/ 2 vuelta.

* El [[suplemento]] de un ángulo interior se denomina [[Ángulo exterior de un polígono|ángulo exterior]] (formado por un lado y la prolongación del lado adyacente), es decir, un ángulo interior y un ángulo exterior forman un par lineal de ángulos. Hay dos ángulos exteriores en cada vértice del polígono, cada uno determinado al extender uno de los dos lados del polígono que se encuentran en el vértice; estos dos ángulos son verticales y, por tanto, son iguales. Un ángulo exterior mide la cantidad de rotación que uno tiene que hacer en un vértice para trazar el polígono.{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} Si el ángulo interior correspondiente es un ángulo reflejo, el ángulo exterior debe considerarse negativo. Incluso en un polígono no simple, puede ser posible definir el ángulo exterior, pero habrá que elegir una orientación del plano (o superficie) para decidir el signo de la medida del ángulo exterior.
* En geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo simple, si solo se supone uno de los dos ángulos exteriores en cada vértice, será una vuelta completa (360 °). El ángulo exterior aquí se llama «ángulo exterior suplementario». Los ángulos exteriores se usan comúnmente en los programas de [[Logo Turtle]] al dibujar polígonos regulares.
*En un [[triángulo]], las [[bisectriz|bisectrices]] de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes (se encuentran en un solo punto).<ref name=Johnson>Johnson, Roger A. ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publications, 2007.</ref>
* En un triángulo, tres puntos de intersección, cada uno de una bisectriz de ángulo externo con el lado extendido opuesto, son colineales.<ref name=Johnson/>
* En un triángulo, tres puntos de intersección, dos de ellos entre una bisectriz de ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la otra bisectriz de ''ángulo exterior'' y el lado opuesto extendido, son colineales.<ref name=Johnson/>{{rp|p. 149}}
* Algunos autores usan el nombre de ''ángulo exterior'' de un polígono simple para referirse simplemente al ángulo exterior del complemento (¡ no al complemento!) del ángulo interior.<ref>{{citation|editor=D. Zwillinger|title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae|place=Boca Raton, FL|publisher=CRC Press|year=1995|page= 270}} as cited in {{MathWorld |urlname=ExteriorAngle |title=Exterior Angle}}</ref> Esto entra en conflicto con el uso anterior.

== Ángulos respecto de una circunferencia ==

[[Archivo:Angulos del circulo1.svg|thumb|220px|Ángulos en la circunferencia]]
[[Archivo:Angulos inscritos.svg|thumb|220px|[[Arco capaz]]: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales]]
Un ángulo, respecto de una [[circunferencia]], pueden ser:

'''Ángulo central''', si tiene su vértice en el centro de esta. 
:La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
'''[[Ángulo inscrito]]''', si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos. 
:La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: [[arco capaz]].)
'''Ángulo semi-inscrito''', si su vértice está sobre esta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice. 
:La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
'''Ángulo interior''', si su vértice está en el interior de la circunferencia. 
:La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
'''Ángulo exterior''', si tiene su vértice en el exterior de esta. 
:La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

== Trisección del ángulo ==

{{AP|Trisección del ángulo}}

La [[trisección del ángulo]] es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando solo [[regla y compás]]. En general, es imposible de resolver con esas condiciones.

== Ángulos tridimensionales ==

* El [[ángulo diedro]], es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
* El [[ángulo sólido]], es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

=== Coordenadas angulares tridimensionales ===

* Los [[ángulos de Euler]] son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

== Ángulos en un espacio vectorial ==

Dado un [[espacio vectorial]], cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un [[producto escalar]] entre vectores <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, se define el ángulo formado por dos ''vectores'' no nulos <math>x</math> e <math>y</math> mediante la expresión:<br />
<math>\angle(x,y)=\arccos\frac{\langle x, y \rangle}{\|x\|\cdot\|y\|},</math><br />
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son [[ortogonal]]es o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo <math>(-1,1)</math> debido a la [[desigualdad de Cauchy-Schwarz]], lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo <math>[0,\pi]</math> (geométricamente, se elige el ''menor'' de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:
* Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.
* Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.
* Se cumple el [[teorema del coseno]], es decir, dados <math>x</math> e <math>y</math> no nulos,<br /><math>\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2\|x\|\cdot\|y\|\cdot\cos\angle(x,y)</math>.

== Galería de ángulos ==

{| 
| [[Archivo:Angulo000.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo015.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo030.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo045.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo060.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo075.svg|100px]]
|-
| align=center | <math> 0^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 15^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 30^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 45^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 60^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 75^{\circ} \, </math>
|-
| [[Archivo:Angulo090.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo105.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo120.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo135.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo150.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo165.svg|100px]]
|-
| align=center | <math> 90^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 105^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 120^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 135^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 150^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 165^{\circ} \, </math>
|-
| [[Archivo:Angulo180.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo195.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo210.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo225.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo240.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo255.svg|100px]]
|-
| align=center | <math> 180^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 195^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 210^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 225^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 240^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 255^{\circ} \, </math>
|-
| [[Archivo:Angulo270.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo285.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo300.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo315.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo330.svg|100px]]
| [[Archivo:Angulo345.svg|100px]]
|-
| align=center | <math> 270^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 285^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 300^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 315^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 330^{\circ} \, </math>
| align=center | <math> 345^{\circ} \, </math>
|-
| [[Archivo:Angulo360.svg|100px]]
|-
| align=center | <math> 360^{\circ} \, </math>
|}

== Medición de ángulos ==
El tamaño de un ángulo geométrico se suele caracterizar por la magnitud de la menor rotación que mapea uno de los rayos en el otro. Se dice que los ángulos que tienen el mismo tamaño son ''iguales'' o ''congruentes'' o ''de igual medida''.

En algunos contextos, como la identificación de un punto en un círculo o la descripción de la ''orientación'' de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo exacto de una [[Vuelta (ángulo)|vuelta]] completa son efectivamente equivalentes. En otros contextos, como la identificación de un punto en una curva [[espiral]] o la descripción de la ''rotación acumulada'' de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo no nulo de una vuelta completa no son equivalentes.

[[Archivo:Angle measure.svg|right|thumb|La medida del ángulo {{math|''θ''}} es {{nowrap|{{sfrac|''s''|''r''}} en radianes}}]]

Para medir un ángulo <var>[[theta|θ]]</var>, se traza un [[arco (geometría)|arco de circunferencia]] centrado en el vértice del ángulo, por ejemplo, con un [[Compás (instrumento)|compás]]. El cociente de la longitud <var>s</var> del arco por el radio <var>r</var> del círculo es el número de [[radianes]] del ángulo. Convencionalmente, en matemáticas y en el [[Sistema Internacional de Unidades|SI]], el radián se trata como si fuera igual al valor [[adimensional]] 1.

El ángulo expresado en otra unidad angular puede obtenerse entonces multiplicando el ángulo por una constante de conversión adecuada de la forma {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}}, donde ''k'' es la medida de una vuelta completa expresada en la unidad elegida (por ejemplo, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} para [[grado sexagesimal|grados]] o 400&nbsp;grad para [[grado centesimal|gradianes]]):

:<math> \theta = \frac{k}{2\pi} \cdot \frac{s}{r}. </math>

El valor de {{math|''θ''}} así definido es independiente del tamaño del círculo: si se cambia la longitud del radio, entonces la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación ''s''/''r'' no se altera.{{refn|group="nb"|Este enfoque requiere, sin embargo, una prueba adicional de que la medida del ángulo no se modifica con el cambio del radio {{math|''r''}}, además de la cuestión de las "unidades de medida elegidas". Un enfoque más suave es medir el ángulo por la longitud del arco de círculo unitario correspondiente. Aquí se puede elegir que la "unidad" sea adimensional en el sentido de que es el número real 1 asociado al segmento unitario en la recta real. Véase, por ejemplo, Radoslav M. Dimitrić.<ref name="Dimitric_2012">{{cite journal |title=On Angles and Angle Measurements |author-first=Radoslav M. |author-last=Dimitrić |journal=The Teaching of Mathematics |date=2012 |volume=XV |number=2 |pages=133–140 |url=http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/29/tm1525.pdf |access-date=2019-08-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20190117195213/http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/29/tm1525.pdf |archive-date=2019-01-17}}</ref>}}

===Postulado de adición de ángulos===
El postulado de adición de ángulos establece que si B está en el interior del ángulo AOC, entonces

:<math> m\angle \mathrm{AOC} = m\angle \mathrm{AOB} + m\angle \mathrm{BOC} </math>

La medida del ángulo AOC es la suma de la medida del ángulo AOB y la medida del ángulo BOC.

===Unidades===
Las unidades utilizadas para representar ángulos se enumeran a continuación en orden de magnitud descendente. De estas unidades, el ''[[grado (ángulo)|grado]]'' y el ''[[radián]]'' son, con mucho, las más utilizadas.  Los ángulos expresados en radianes son adimensionales para el [[análisis dimensional]].

La mayoría de las unidades de medida angular se definen de forma que un [[rotación (matemáticas)|giro]] (es decir, un círculo completo) es igual a ''n'' unidades, para algún número entero ''n''.  Las dos excepciones son el radián (y sus submúltiplos decimales) y la parte del diámetro.
;[[Vuelta (ángulo)|Giro]] (''n''&nbsp;=&nbsp;1): El ''giro'', también ''ciclo'', ''círculo completo'', ''revolución'', y ''rotación'', es [[movimiento circular]] completo o medida (como volver al mismo punto) con círculo o elipse.  Los símbolos utilizados y el giro son ''cyc'', ''rev'', o ''rot'', dependiendo de la aplicación.

;[[Sector circular|Cuadrante]] (''n''=&nbsp;4): El ''cuadrante'' es un {{sfrac|4}}&nbsp;giro, es decir, un ''[[ángulo recto]]''. Es la unidad utilizada en los [[Elementos de Euclides]]. 1 cuadrante = 90° = {{sfrac|&Pi;|2}}&nbsp;rad = {{sfrac|4}} giro = 100&nbsp;grad. En alemán se ha utilizado el símbolo <sup>∟</sup> para denotar un cuadrante.

;[[Sector circular|Sextante]] (''n''&nbsp;=&nbsp;6): El ''sextante'' (''ángulo del [[triángulo equilátero]]'') es de {{sfrac|6}}&nbsp;giro. Era la unidad utilizada por los [[babilonios]],<ref name="Jeans_1947">{{cite book |author-first=James Hopwood |author-last=Jeans |author-link=James Hopwood Jeans |date=1947 |title=The Growth of Physical Science |publisher=CUP Archive |page=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.210060/page/n25 7] |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.210060}}</ref><ref name="Murnaghan_1946">{{cite book |author-first=Francis Dominic |author-last=Murnaghan |date=1946 |title=Analytic Geometry |page=2}}</ref> y es especialmente fácil de construir con regla y compás. El grado, el minuto de arco y el segundo de arco son subunidades [[sistema sexagesimal|sexagesimales]] de la unidad babilónica. 1 unidad babilónica = 60° = &Pi;/3&nbsp;rad ≈ 1,047197551&nbsp;rad.
[[Archivo:Angle radian.svg|right|thumb|''θ'' = {{sfrac|''s''|''r''}}&nbsp;rad = 1&nbsp;rad.]]

;[[Radianes]] (''n''&nbsp;=&nbsp;2('''[[número pi|&Pi;]]''')&nbsp;=&nbsp;6.283...): El ''[[radián]]'' es el ángulo subtendido por un arco de círculo que tiene la misma longitud que el radio del círculo. El símbolo del radián es ''rad''. Una vuelta es 2&Pi;&nbsp;radianes, y un radián es {{sfrac|180°|'''[[número pi|&Pi;]]'''}}, o unos 57,2958 grados. En los textos matemáticos, los ángulos suelen tratarse como adimensionales con el radián igual a uno, por lo que la unidad ''rad'' suele omitirse. El radián se utiliza prácticamente en todos los trabajos matemáticos más allá de la simple geometría práctica, debido, por ejemplo, a las propiedades agradables y «naturales» que presentan las [[funciones trigonométricas]] cuando sus argumentos están en radianes. El radián es la unidad (derivada) de medida angular en el [[Sistema Internacional|SI]], que también trata el ángulo como adimensional.

;[[Ángulo horario]] (''n''&nbsp;=&nbsp;24): El ''ángulo horario'' astronómico es {{sfrac|24}}&nbsp;de vuelta. Como este sistema es susceptible de medir objetos que tienen un ciclo diario (como la posición relativa de las estrellas), las subunidades sexagesimales se llaman ''minuto de tiempo'' y ''segundo de tiempo''. Son distintas y 15 veces mayores que los minutos y segundos de arco. 1&nbsp;hora = 15° = {{sfrac|[[número pi|&Pi;]]|12}}&nbsp;rad = {{sfrac|6}}&nbsp;quad = {{sfrac|24}}&nbsp;vuelta = {{sfrac|16|2|3}}&nbsp;grad.

;[[Puntos del compás]] (''n''=&nbsp;32): El ''punto'', utilizado en [[navegación]], es {{sfrac|32}} de un giro. 1&nbsp;punto = {{sfrac|8}} de un ángulo recto = 11,25° = 12,5&nbsp;grados. Cada punto se subdivide en cuatro cuartos de punto, de modo que 1 vuelta equivale a 128 cuartos de punto.

;[[Hexacontada]] (''n''&nbsp;=&nbsp;60): La ''hexacontada'' es una unidad que utilizaba [[Eratóstenes]] y equivale a 6°, por lo que una vuelta entera se dividía en 60 hexacontadas.

;[[Pechus]] (''n''&nbsp;=&nbsp;144–180): El ''pechus'' era una unidad [[matemática babilónica|babilónica]] equivalente a unos 2° o {{sfrac|2|1|2}}°.

;[[Grado binario]] (''n''&nbsp;=&nbsp;256): El ''grado binario'', también conocido como el ''[[radián binario]]'' (o ''brad''), es el {{sfrac|256}} de un giro.<ref name="ooPIC">{{cite web |title=ooPIC Programmer's Guide - Chapter 15: URCP |work=[[ooPIC]] Manual & Technical Specifications - ooPIC Compiler Ver 6.0 |date= 2007 (1ª ed. 1997)|publisher=Savage Innovations, LLC |url=http://www.oopic.com/pgchap15.htm |access-date=2019-08-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080628051746/http://www.oopic.com/pgchap15.htm |archive-date=2008-06-28}}</ref> El grado binario se utiliza en computación para que un ángulo pueda ser representado eficientemente en un solo [[byte]] (aunque con una precisión limitada). Otras medidas de ángulo utilizadas en computación pueden basarse en dividir una vuelta entera en 2<sup>''n''</sup> partes iguales para otros valores de ''n''.<ref name="Hargreaves_2010">{{cite web |title=Angles, integers, and modulo arithmetic |author-first=Shawn |author-last=Hargreaves |author-link=:pl:Shawn Hargreaves |publisher=blogs.msdn.com |url=http://blogs.msdn.com/shawnhar/archive/2010/01/04/angles-integers-and-modulo-arithmetic.aspx |access-date=2019-08-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20190630223817/http://www.shawnhargreaves.com/blogindex.html |archive-date=2019-06-30}}</ref>

;[[Grado sexagesimal|Grado]] (''n''&nbsp;=&nbsp;360): El ''grado sexagesimal'' o simplemente ''grado'', denotado por un pequeño círculo superíndice (°), es 1/360 de una vuelta, por lo que una ''vuelta'' es 360°. El caso de los grados para la fórmula dada anteriormente, un ''grado'' de ''n'' = 360° unidades se obtiene estableciendo ''k'' = {{sfrac|360°|2&Pi;}}. Una ventaja de esta antigua subunidad [[sexagesimal]] es que muchos ángulos comunes en la geometría simple se miden como un número entero de grados. Las fracciones de un grado pueden escribirse en notación decimal normal (por ejemplo, 3,5° para tres grados y medio), pero las subunidades sexagesimales «minuto» y «segundo» del sistema «grado-minuto-segundo» también se utilizan, especialmente para las [[coordenadas geográficas]] y en [[astronomía]] y [[balística]].

;[[Parte del diámetro]] (''n''&nbsp;=&nbsp;376,99...): La ''parte de diámetro'' (usada ocasionalmente en las matemáticas islámicas) es {{sfrac|60}} de un radián. Una ''parte de diámetro'' es aproximadamente 0,95493°. Hay aproximadamente 376,991 partes de diámetro por vuelta.

;[[grado centesimal|Grad]] (''n''=&nbsp;400):El ''grad'', también llamado ''grado centesimal'', ''[[gradian]]'', ''gon'' o ''gonio'', es {{sfrac|400}} de un giro, por lo que un ángulo recto mide 100 grads. Es una subunidad decimal del cuadrante. Un [[kilómetro]] se definía históricamente como la longitud del arco [[subtendiendo]] por una centésima de gradián a lo largo de un [[gran círculo|meridiano]] de la Tierra. Así, el kilómetro es el análogo decimal a la [[sexagesimal]] milla náutica.{{cn|fecha=mayo 2021}} El grado se utiliza sobre todo en [[triangulación (topografía)|triangulación]] y [[topografía]] continental.

;[[Milirradio]]: El milirradio (mrad, a veces ''mil'') se define como la milésima parte de un radián, lo que significa que una rotación de un [[rotación (matemáticas)|vuelta]] consiste en 2000&Pi;&nbsp;mrad (o aproximadamente 6283,185...&nbsp;mrad), y casi todas las [[Miras telescópicas|miras]] para [[armas de fuego]] están calibradas con esta definición. Además, existen otras tres definiciones derivadas utilizadas para la artillería y la navegación que son ''aproximadamente'' iguales a un milirradio. Según estas otras tres definiciones, una vuelta equivale exactamente a 6000, 6300 o 6400&nbsp;mrad, lo que equivale a abarcar el rango de 0,05625 a 0,06 grados (3,375 a 3,6 minutos). En comparación, el milirradio verdadero es de 0,05729578... grados (3,43775... minutos). Un «[[OTAN]] mil» (unidad utilizada por la Alianza Atlántica en cartografía y artillería) se define como {{sfrac|6400}} de una vuelta. Al igual que con el milirradián verdadero, cada una de las otras definiciones explota la práctica propiedad de subtensiones del mil, es decir, que el valor de un milirradián equivale aproximadamente al ángulo subtendido por un ancho de 1 metro visto desde 1&nbsp;km de distancia ({{sfrac|2&Pi;|6400}} = 0,0009817... ≈ {{sfrac|1000}}).

;[[Arcominuto]] (''n''&nbsp;=&nbsp;21,600):  El ''arcominuto'' (o ''minuto de arco'', o simplemente ''minuto'') es {{sfrac|60}} de un grado = {{sfrac|21,600}} de giro. Se denota con un solo primo (&nbsp;′&nbsp;). Por ejemplo, 3°&nbsp;30′ es igual a 3&nbsp;×&nbsp;60&nbsp;+&nbsp;30&nbsp;=&nbsp;210 minutos o 3&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|30|60}} = 3,5 grados. También se utiliza a veces un formato mixto con fracciones decimales, por ejemplo, 3°&nbsp;5.72′ = 3&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|5.72|60}} grados. Una [[milla náutica]] se definía históricamente como un minuto de arco a lo largo de un [[gran círculo]] de la Tierra.

;[[Arcosegundo]] (''n''&nbsp;=&nbsp;1,296,000): El ''arcosegundo'' (o ''segundo de arco'', o simplemente ''segundo'') es {{sfrac|60}} de un minuto de arco y {{sfrac|3600}} de un grado. Se denota por un doble primo (&nbsp;″&nbsp;). Por ejemplo, 3°&nbsp;7′&nbsp;30″ es igual a 3 + {{sfrac|7|60}} + {{sfrac|30|3600}} grados, o 3,125&nbsp;grados.

;[[Miliarcosegundo]] (''n''&nbsp;=&nbsp;1,296,000,000): En particular, el miliarcosegundo, abreviado como ''mas'', se utiliza a veces en astronomía.

;[[Microarcosegundo]] (''n''&nbsp;=&nbsp;1,296,000,000,000): De forma similar, el microarcosegundo, abreviado como ''µas'' se empela en mediciones angulares de alta precisión.

== Véase también ==
{{lista de columnas|3|
* [[Ángulos congruentes]]
* [[Ángulos entre paralelas]]
* [[Trigonometría]]
* [[Goniometría]]
* [[Circunferencia]]
* [[Círculo]]
* [[Arco capaz]]
}}

== Notas ==
<references group="nb"/>

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{citation |last1=Henderson |first1=David W. |last2=Taimina |first2=Daina |year=2005 |title=Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History |edition=3rd |publisher=Pearson Prentice Hall |isbn=978-0-13-143748-7|page=104}}
* {{citation |last=Heiberg |first=Johan Ludvig |year=1908 |title=Euclid |editor-first=T. L. |editor-last=Heath |editor-link= |series=The Thirteen Books of Euclid's Elements |volume=1 |publisher=Cambridge University Press |location=[[Cambridge, England|Cambridge]] |url=https://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ }}.
* {{citation |last=Jacobs |first=Harold R. |date=1974 |title=Geometry|publisher=W. H. Freeman|isbn=978-0-7167-0456-0|pages=97, 255}}
* {{citation|last=Slocum|first=Jonathan|date=2007|url=http://www.utexas.edu/cola/centers/lrc/ielex/X/P0089.html|title=Preliminary Indo-European lexicon&nbsp;— Pokorny PIE data|access-date=2 Feb 2010|publisher=[[Linguistics Research Center at UT Austin|University of Texas research department: linguistics research center]]|fechaarchivo=27 de junio de 2010|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20100627012240/http://www.utexas.edu/cola/centers/lrc/ielex/X/P0089.html|deadurl=yes}}
* {{citation |last=Shute |first=William G. |last2=Shirk |first2=William W. |last3=Porter |first3=George F. |date=1960 |title=Plane and Solid Geometry |publisher=American Book Company  |pages=25–27}}
* {{citation |last1=Wong |first1=Tak-wah |last2=Wong |first2=Ming-sim |date=2009 |chapter=Angles in Intersecting and Parallel Lines |title=New Century Mathematics |location=Hong Kong |publisher=Oxford University Press |edition=1 |volume=1B |pages=161–163  |isbn=978-0-19-800177-5}}
{{EB1911 |wstitle=Angle |volume=2 |page=14 |mode=cs2}}

== Enlaces externos ==

{{commonscat|Angles|ángulos}}
* {{MathWorld |id=Angle |title=Ángulo}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Magnitudes físicas|Angulo]]
[[Categoría:Ángulos| ]]
[[Categoría:Geometría|Angulo]]