Ver el código de «Conectiva lógica»

{{Conectivas lógicas}}

En [[lógica]], una '''conectiva lógica''', o también '''conectiva''' (también llamado '''operador lógico''' o '''conectores lógicos''') es un símbolo o palabra que se utiliza para conectar dos [[fórmula bien formada|fórmulas bien formadas]] o sentencias ([[Fórmula atómica|atómicas]] o moleculares), de modo que el [[valor de verdad]] de la fórmula compuesta depende del valor de verdad de las fórmulas componentes.

Los conectivos lógicos más comunes son los '''conectivos binarios''' (también llamados '''conectivos diádicos''') que unen dos frases, que pueden ser consideradas los operandos de la función. También es común considerar a la negación como un conectivo monádico.

Las conectivas lógicas son, junto con los [[cuantificador]]es, las principales [[Constante lógica|constantes lógicas]] de muchos [[Sistema lógico|sistemas lógicos]], principalmente la [[lógica proposicional]] y la [[lógica de predicados]].

En [[programación]] se utilizan para combinar valores de verdad y obtener nuevos valores que determinen el flujo de control de un [[algoritmo]] o [[Programa (computación)|programa]].

== Lenguajes ==

=== Lenguaje natural ===
En la gramática de los lenguajes naturales, dos frases pueden unirse mediante una conjunción gramatical para formar una oración gramaticalmente compuesta. Algunas de estas conjunciones gramaticales, pero no todas, son funciones de verdad. Por ejemplo, considere las siguientes frases:

:A: Juan subió la montaña.
:B: Eduardo subió la montaña.
:C: Juan subió la montaña ''y'' Eduardo subió la montaña.
:D: Juan subió la montaña, ''por lo tanto'' Eduardo subió la montaña.

Las expresiones «''y''» y «''por lo tanto''» son conjunciones ''gramaticales'' que unen las oraciones (A) y (B) para formar las oraciones compuestas (C) y (D). La ''y'' de (C) es un conector ''lógico'', ya que da el valor de verdad de (C) que está completamente determinado por el valor de (A) y (B), tiene sentido para el estado (A) ''y'' (B) con el resultado (C). Del mismo modo, ''por lo tanto'' en (D) es conector lógico, ya que para (A) y (B) con el resultado (D).

=== Lenguajes formales ===
En los lenguajes formales, las funciones de verdad son representadas por símbolos inequívocos. Estos símbolos se llaman "conectivos lógicos", "operadores lógicos", "operadores proposicionales", o, en la lógica clásica, la "de funciones conectivos de verdad." Véase fórmulas bien formadas para saber las reglas que permiten las nuevas fórmulas bien formadas sean construidas al juntar otras fórmulas bien formadas utilizando conectivos de funciones de verdad.

Los conectivos lógicos pueden ser utilizados para conectar más de dos afirmaciones, entonces es común hablar de "conector lógico ''n''-ario".

{| class="wikitable" style="background:white;"
!Conectiva
!Notación
!Ejemplo<br />de uso
!Análogo<br />natural
!Ejemplo de uso en<br />el lenguaje natural
!Tabla de verdad
|- align="center"
|[[Negación lógica|Negación]]
|<math>\neg,\sim \,</math>
|<math>\neg P \,</math>
|no
|align="left"|'''No''' está lloviendo.
|<math>\begin{array}{c||c}
      P & \neg P \\
      \hline
      1 & 0 \\
      0 & 1 \\
   \end{array}</math>
|- align="center"
|[[Conjunción lógica|Conjunción]]
|<math>\land,\And, \cdot \,</math>
|<math>P \land Q \,</math>
|y
| align="left" |Está lloviendo '''y''' la calle está mojada.
|<math>\begin{array}{c|c||c}
      P & Q & P \land Q \\
      \hline
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      0 & 0 & 0 \\
   \end{array}</math>
|- align="center"
|[[Disyunción lógica|Disyunción]]
|<math>\lor \,</math>
|<math>P \lor Q \,</math>
|o
| align="left" |Está lloviendo '''o''' la calle está mojada.
|<math>\begin{array}{c|c||c}
      P & Q & P \lor Q \\
      \hline
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 0 & 1 \\
      0 & 1 & 1 \\
      0 & 0 & 0 \\
   \end{array}</math>
|- align="center"
|[[Condicional material]]
|<math>\to,\supset</math>
|<math>P \to Q \,</math>
|si... entonces
| align="left" |'''Si''' está lloviendo, '''entonces''' la calle está mojada.
|<math>\begin{array}{c|c||c}
      P & Q & P \to Q \\
      \hline
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 1 \\
      0 & 0 & 1 \\
   \end{array}</math>
|- align="center"
|[[Bicondicional]]
|<math>\leftrightarrow, \equiv \,</math>
|<math>P \leftrightarrow Q \,</math>
|si y solo si
| align="left" |Está lloviendo '''si y solo si''' la calle está mojada.
|<math>\begin{array}{c|c||c}
      P & Q & P \leftrightarrow Q \\
      \hline
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
   \end{array}</math>
|- align="center"
|[[Negación conjunta|Negación<br />conjunta]]
|<math>\downarrow \,</math>
|<math>P \downarrow Q \,</math>
|ni... ni
| align="left" |'''Ni''' está lloviendo '''ni''' la calle está mojada.
|<math>\begin{array}{c|c||c}
      P & Q & P \downarrow Q \\
      \hline
      1 & 1 & 0 \\
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
   \end{array}</math>
|- align="center"
|[[Disyunción exclusiva|Disyunción<br />excluyente]]
|<math>\nleftrightarrow, \oplus, \not\equiv, W , \underline{\vee} </math>
|<math>P \nleftrightarrow Q \,</math>
|o bien... o bien
| align="left" |'''O bien''' está lloviendo, '''o bien''' la calle está mojada.
|<math>\begin{array}{c|c||c}
      P & Q & P \nleftrightarrow Q \\
      \hline
      1 & 1 & 0 \\
      1 & 0 & 1 \\
      0 & 1 & 1 \\
      0 & 0 & 0 \\
   \end{array}</math>
|}

== Lista de conectivos lógicos comunes ==

{| align=right style="margin-left:2em; margin-bottom:1ex"
 ! rowspan=2 colspan=2 |Nombre / Símbolo
 ! colspan=5 |Valor de verdad
 ! rowspan=2 |Diagrama</small><br/>de<small>small</small>
 |-
 | bgcolor=#HGTF66 |{{math|P}}&nbsp;=
 | bgcolor=#FFFF66 colspan=2 align=center |0
 | bgcolor=#FFFF66 colspan=2 align=center |1
 |-
 |[[Verdad]]/[[Tautología]]
 | align=right |⊤||&nbsp;
 | colspan=2 align=center |1
 | colspan=2 align=center |1
 |[[Archivo:Venn11.svg|32px]]
 |-
 |[[Falso]]/[[Contradicción]]
 | align=right |⊥||&nbsp;
 | colspan=2 align=center |0
 | colspan=2 align=center |0
 |[[Archivo:Venn00.svg|32px]]
 |-
 |Proposición {{math|P}}|| ||&nbsp;
 | colspan=2 align=center |0
 | colspan=2 align=center |1
 |[[Archivo:Venn01.svg|32px]]
 |-
 |[[Negación lógica|Negación]]
 | align=right |¬||&nbsp;
 | colspan=2 align=center |1
 | colspan=2 align=center |0
 |[[Archivo:Venn10.svg|32px]]
 |-
 ! colspan=2 |Conectivos binarios
 | bgcolor=#FFFF66 |{{math|Q}}&nbsp;=
 | bgcolor=#FFFF66 |0
 | bgcolor=#FFFF66 |1
 | bgcolor=#FFFF66 |0
 | bgcolor=#FFFF66 |1
 |-
 |[[Conjunción]]
 | align=right |∧|| ||0||0||0||1||[[Archivo:Venn0001.svg|40px]]
 |-
 |[[Conjunción Opuesta]]
 | align=right |↑|| ||1||1||1||0||[[Archivo:Venn1110.svg|40px]]
 |-
 |[[Disyunción lógica|Disyunción]]
 | align=right |∨|| ||0||1||1||1||[[Archivo:Venn0111.svg|40px]]
 |-
 |[[Disyunción Opuesta]]
 | align=right |↓|| ||1||0||0||0||[[Archivo:Venn1000.svg|40px]]
 |-
 |[[Condicional material]]
 | align=right |→|| ||1||1||0||1||[[Archivo:Venn1011.svg|40px]]
 |-
 |[[Disyunción exclusiva|O exclusivo]]
 | align=right |<math>\not\leftrightarrow</math>|| ||0||1||1||0||[[Archivo:Venn0110.svg|40px]]
 |-
 |[[Bicondicional]]
 | align=right |↔|| ||1||0||0||1||[[Archivo:Venn1001.svg|40px]]
 |-
 |[[Implicación Opuesta]]
 | align=right |←|| ||1||0||1||1||[[Archivo:Venn1101.svg|40px]]
 |-
 |Proposición {{math|P}}|| || ||0||0||1||1||[[Archivo:Venn0101.svg|40px]]
 |-
 |Proposición {{math|Q}}|| || ||0||1||0||1||[[Archivo:Venn0011.svg|40px]]
 |-
 | colspan=8 align=center style="letter-spacing:0.4em" |[[Función de verdad #Tabla de funciones de verdad binarias|Más información]]
 |}

=== Lista de conectivos lógicos comunes ===

Conectivos lógicos comúnmente usados:

* [[Negación]] (no): ¬, ~
* [[Conjunción lógica]] (y): ∧, y, ∙
* [[Disyunción lógica]] (o): ∨
:En el caso de la disyunción 'o', tiene dos significados diferentes: "Inclusivo" y "Exclusivo".
:Inclusivo: En este caso, para que la proposición sea cierta, tiene que ser verdadero uno o todos los elementos de la premisa.
:Exclusivo: El 'o' exclusivo o Xor. En una premisa, p o q es verdadero, pero no ambos pueden serlo.
* [[Condicional material]] (Si... entonces): →, ⇒, ⊃
* [[Bicondicional]] (si y solo si): ↔, ≡, =
:Nombres alternativos para bicondicional son "sii", "xnor" y "bi-implicación."

Por ejemplo, el significado de los estados está lloviendo y estoy en el interior se transforma cuando los dos se combinan con conectivos lógicos:

* Está lloviendo (P)
* Está lloviendo '''y''' estoy dentro de casa (P ∧ Q)
* Está lloviendo '''o''' estoy dentro de casa (P ∨ Q)
* '''Si''' está lloviendo, '''entonces''' estoy en casa. (P → Q)
* Si estoy en casa, entonces está lloviendo. (P ← Q)
* Estoy dentro '''si y solo si''' está lloviendo (P ↔ Q)
* '''No''' está lloviendo (¬ P)
Por declaración P = ''Está lloviendo''; Q = ''Estoy dentro de casa''.

También es común considerar la fórmula ''siempre verdadera'' y la fórmula ''siempre falsa'' como conectivos
* [[Verdad]]ero (⊤, 1 o T)
* [[Falso (lógica)|Falso]] (⊥, 0 o F)

=== Recíproca, contrarrecíproca e inversa ===
La contrarrecíproca ¬q→¬p de una implicación p→q tiene la misma tabla de verdad que p→q.
La contrarrecíproca es falsa solo cuando ¬p es falsa y ¬q es verdadera, esto es, solo cuando p es verdadera y q es falsa. Por otra parte, ni la recíproca, q→p , ni la inversa, ¬p→¬q, tienen los mismos valores de verdad que p→q para todos los posibles valores de p y q. Cuando dos fórmulas tienen siempre los mismos valores de verdad, las llamamos equivalentes, de tal forma que una implicación y su contrarrecíproca son equivalentes.La recíproca y la inversa de una implicación también son equivalentes.

*q→p es la recíproca de p→q
*¬q→¬p es la contrarrecíproca de p→q
*¬p→¬q es la inversa de p→q
Ejemplo:
Recíproca, contrarrecíproca e inversa de "Sí viene Juan, no iré de acampada".
*Recíproca: Si no voy de acampada, entonces viene Juan.
*Contrarrecíproca: Si voy de acampada, entonces no viene Juan.
*Inversa: Si no viene Juan, entonces iré de acampada.

=== Coimplicación ===
Aquí podemos encontrar la implicación o condicionalidad mutua. Si p y q son proposiciones, entonces podemos formar la proposición bicondicional p ↔ q , leída «p si y solo si q ».Si p y q son los enunciados «Estoy en casa» y «Está lloviendo», entonces p ↔ q denota «Estoy en casa si y solo si está lloviendo».

Algunas formas alternativas en que se expresa «p si y solo si q» en español:
* p es necesario y suficiente para q
* si p entonces q , y recíprocamente
* p si y solo si q

=== Historia de las notaciones ===
* Negación: el símbolo ¬ apareció en [[Aritimética de Heyting|Heyting]] en 1929.<ref name="autogenerated1929">[[Heyting]] (1929) ''Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik''.</ref><ref>Denis Roegel (2002), ''[http://www.loria.fr/~roegel/cours/symboles-logiques.pdf Petit panorama des notations logiques du 20e siècle]'' (véase chart en página 2).</ref> (comparar con en símbolo [[Archivo:Begriffsschrift connective1.svg|50px]] de [[Gottlob Frege|Frege]] en [[Begriffsschrift]]); el símbolo ~ apareció en Russell en 1908;<ref name="autogenerated222">[[Bertrand Russell|Russell]] (1908) ''Mathematical logic as based on the theory of types'' (American Journal of Mathematics 30, p222–262, también en From Frege to Gödel edited by van Heijenoort).</ref> una notación alternativa es añadir una línea horizontal encima de la fórmula, como en <math>\overline{P}</math>; otra notación alternativa es utilizar una comilla simple como en P'.
* Conjunción: el símbolo ∧ apareció en Heyting en 1929<ref name="autogenerated1929"/> (comparar el uso de la notación de [[Giuseppe Peano|Peano]] de notación de intersección ∩ en teoría de conjuntos)<ref>[[Giuseppe Peano|Peano]] (1889) ''Arithmetices principia, nova methodo exposita''.</ref>); & apareció al menos en [[Moses Schönfinkel|Schönfinkel]] en 1924;<ref name="autogenerated1924">[[Moses Schönfinkel|Schönfinkel]] (1924) '' Über die Bausteine der mathematischen Logik'', translated as ''On the building blocks of mathematical logic'' in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort.</ref> '''∙''' vino la interpretación de [[George Boole|Boole]] de la lógica como un álgebra elemental.
* Disyunción: el símbolo ∨ apareció en Russell en 1908 (comparar el uso de Peano de la notación de unión ∪ en teoría de conjuntos); también se utiliza el símbolo +, a pesar de la ambigüedad surgida del álgebra elemental ordinaria al ser el + considerado un o exclusivo lógicamente interpretado como una alianza de dos elementos; puntualmente en la historia, un + junto con un punto en la esquina inferior derecha fue usado por [[Charles Sanders Peirce|Peirce]],<ref>[[Charles Sanders Peirce|Peirce]] (1867) ''On an improvement in Boole's calculus of logic.</ref>
* Implicación: el símbolo → se puede ver en [[David Hilbert|Hilbert]] en 1917;<ref>[[David Hilbert|Hilbert]] (1917/1918) ''Prinzipien der Mathematik'' (Bernays' course notes).</ref> ⊃ fue utilizado por Russell en 1908<ref name="autogenerated222"/> (comparar con la notación de la C invertida de Peano); <math>\Rightarrow</math> se utilizó en Vax.<ref>Vax (1982) ''Lexique logique'', Presses Universitaires de France.</ref>
* Bicondicional: el símbolo fue utilizado ≡ al menos por Russell en 1908;<ref name="autogenerated222"/> se utilizó ↔ al menos por [[Alfred Tarski|Tarski]] in 1940;<ref>[[Alfred Tarski|Tarski]] (1940) ''Introduction to logic and to the methodology of deductive sciences''.</ref> ⇔ fue utilizado en Vax; otros símbolos aparecieron puntualmente en la historia como ⊃ ⊂ en [[Gerhard Gentzen|Gentzen]],<ref>[[Gerhard Gentzen|Gentzen]] (1934) ''Untersuchungen über das logische Schließen''.</ref> ~ en Schönfinkel<ref name="autogenerated1924"/> o ⊂ ⊃ en Chazal.<ref>Chazal (1996): Éléments de logique formelle.</ref>
* Verdadero: el símbolo 1 vino de la interpretación de Boole de la lógica como un álgebra elemental de booleana como la álbegra dos elementos; otras anotaciones incluyendo <math>\bigwedge</math> fueron encontrados en Peano.
* Falso: el símbolo 0 también proviene de la interpretación de Boole de la lógica como un anillo [?]; otras anotaciones inclusive <math>\bigvee</math> fueron encontradas en Peano.

Algunos autores utilizan letras para conectivos en algún momento de la historia: '''u.''' para conjunción (del alemán "und", significa "y") y el. para la disyunción (del alemán "oder", significa "o") en los primeros trabajos de Hilbert (1904); '''N''' para la negación, '''K''' para la conjunción, '''A''' para la disyunción, '''C''' para bicondicional en [[Jan Łukasiewicz|Łukasiewicz]] (1929).<ref>Véase Roegel</ref>

== Redundancia ==
El conectivo lógico de la implicación recíproca ← es en realidad el mismo que el condicional material con las premisas cambiadas, luego el símbolo de implicación es recripoca es redundante. En algunos cálculos lógicos (en particular, en la lógica clásica, ciertas afirmaciones compuestas esencialmente diferentes son lógicamente equivalentes. Un ejemplo menos trivial es una redundancia de la equivalencia clásica entre ¬ P ∨ Q y P → Q. Por lo tanto, un sistema lógico de base clásica no necesita del operador condicional "→" si "¬" (no) y "∨" (o) operador condicional que ya se utilizan, o se puede utilizar el "→" solo con un azúcar sintáctico para una composición que tiene una negación y una disyunción.

Hay 16 funciones booleanas que asocian los valores verdad de entrada de P y Q con salidas binarias 4 dígitos. Estos corresponden a las posibles opciones conectivos lógicos binarios para la lógica clásica. Una implementación diferente de la lógica clásica puede elegir diferentes subconjuntos de funcionalmente completos de conectivos.

Un método consiste en elegir un ''mínimo'' establecido y fijado por cualquier otra manera lógicas como en el ejemplo con el condicional material anteriormente. Los siguientes son conjuntos mínimos funcionalmente completos de conectivos de los operadores en la lógica clásica, cuyo aridades no excedan 2:

;Un elemento: {↑}, {↓}.
;Dos elementos: {<math>\vee</math>,&nbsp;¬}, {<math>\wedge</math>,&nbsp;¬}, {→,&nbsp;¬}, {←,&nbsp;¬}, {→,&nbsp;<math>\bot</math>}, {←,&nbsp;<math>\bot</math>}, {→,&nbsp;<math>\not\leftrightarrow</math>}, {←,&nbsp;<math>\not\leftrightarrow</math>}, {→,&nbsp;<math>\not\to</math>}, {→,&nbsp;<math>\not\leftarrow</math>}, {←,&nbsp;<math>\not\to</math>}, {←,&nbsp;<math>\not\leftarrow</math>}, {<math>\not\to</math>,&nbsp;¬}, {<math>\not\leftarrow</math>,&nbsp;¬}, {<math>\not\to</math>,&nbsp;<math>\top</math>}, {<math>\not\leftarrow</math>,&nbsp;<math>\top</math>}, {<math>\not\to</math>,&nbsp;<math>\leftrightarrow</math>}, {<math>\not\leftarrow</math>,&nbsp;<math>\leftrightarrow</math>}.
;Tres elementos: {<math>\lor</math>, <math>\leftrightarrow</math>, <math>\bot</math>}, {<math>\lor</math>, <math>\leftrightarrow</math>, <math>\not\leftrightarrow</math>}, {<math>\lor</math>, <math>\not\leftrightarrow</math>, <math>\top</math>}, {<math>\land</math>, <math>\leftrightarrow</math>, <math>\bot</math>}, {<math>\land</math>, <math>\leftrightarrow</math>, <math>\not\leftrightarrow</math>}, {<math>\land</math>, <math>\not\leftrightarrow</math>, <math>\top</math>}.

Vea más detalles sobre [[integridad funcional]].

Otro enfoque es utilizar en igualdad de derechos, de un cierto conjunto conveniente y funcionalmente completo, pero no mínimo. Este enfoque requiere más axiomas proposicionales y cada equivalencia entre las formas lógicas debe ser o bien un axioma o comprobada como un teorema.

Pero la lógica intuicionista tiene una situación más complicada. De sus cinco conectivos {∧, ∨, →, ¬, ⊥} solamente la negación ¬ tiene que ser reducida a otros conectivos (¬p ≡ (p → ⊥)). Ni la conjunción, disyunción y condicional material tiene una forma equivalente construida de los otros cuatro conectivos lógicos.

== Propiedades ==
Algunos conectivos lógicos tienen propiedades que se pueden expresar en teoremas que contienen el conectivo. Algunas de estas propiedades que una conectiva lógica puede tener son:
* '''[[Asociatividad (álgebra)|Asociatividad]]''': En una expresión que contiene dos o más del mismo conectivo asociativo en una línea, el orden de las operaciones, no importa, siempre y cuando la secuencia de los operandos no cambia.
* '''[[Conmutatividad]]''': Los operandos del conectivo pueden ser intercambiados (uno por el otro), mientras que la preservación de equivalencia lógica de la expresión original.
* '''[[Distributividad]]''': Un conectivo denotado por • distribuye sobre otra que conecta denotado por el signo +, • ''si'' ''a'' • (''b'' + ''c'') = (''a'' • ''b'') + (''a'' • ''c'') para todos los operandos ''a'', ''b'', ''c''.
* '''[[Idempotencia]]''': Cuando los operandos de una operación son iguales, el compuesto es lógicamente equivalente al operando.
* '''[[Absorción (lógica)|Absorción]]''': Un par de conectivos <math>\land</math>, <math>\lor</math> satisface la ley de absorción si <math>a\land(a\lor b)=a</math> para todos los operandos a, b.
* '''[[Función monótona|Monotonicidad]]''': Si ''f''(''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>''n''</sub>) ≤ ''f''(''b''<sub>1</sub>,..., ''b''<sub>''n''</sub>) para todo ''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>''n''</sub>, ''b''<sub>1</sub>,..., ''b''<sub>''n''</sub> ∈ {0,1} tal que ''a''<sub>1</sub> ≤ ''b''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub> ≤ ''b''<sub>2</sub>,..., ''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b''<sub>''n''</sub>. Ej., <math>\vee</math>, <math>\wedge</math>, <math>\top</math>, <math>\bot</math>.
* '''[[Afinidad]]''': Cada variable siempre hace una diferencia en el valor de verdad de la operación o nunca hace una diferencia.<!-- has this an appropriate generalization to non-classical logics? --> Ej., <math>\neg</math>, <math>\leftrightarrow</math>, <math>\not\leftrightarrow</math>, <math>\top</math>, <math>\bot</math>.
* '''[[Dualidad (matemática)|Dualidad]]''': Para leer las asignaciones de valores de verdad para la operación desde arriba hacia abajo en su [[tabla de verdad]] es lo mismo que tomar el complemento de lectura de la tabla de la misma u otra conectiva desde abajo hacia arriba. Sin recurrir a tablas de verdad esto se puede formular como {{math|1=''g&#771;''(¬''a''<sub>1</sub>, ..., ¬''a''<sub>''n''</sub>) = ¬''g''(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}}. E.j., <math>\neg</math>.
* '''[[Preservación de la verdad]]''': El compuesto todos los argumentos son tautologías es una tautología en sí. E.j., <math>\vee</math>, <math>\wedge</math>, <math>\top</math>, <math>\rightarrow</math>, <math>\leftrightarrow</math>, ⊂. (ver [[Validez (lógica)|validez]])
* '''Falsedad de preservación''': El compuesto de todos los argumentos son contradicciones es una contradicción en sí. Por ejemplo, <math>\vee</math>, <math>\wedge</math>, <math>\not\leftrightarrow</math>, <math>\bot</math>, ⊄, ⊅. (ver [[Validez (lógica)|validez]])
* '''[[Involución (matemática)|Involutividad]]''' (para conectivos unarios): {{math|1=''f''(''f''(''a'')) = ''a''}}. Por ejemplo negación en la lógica clásica.

En la lógica clásica, tanto la conjunción y la disyunción son asociativas, conmutativas e idempotentes, en la mayoría de las variedades de lógica multi-valuada y la lógica intuicionista. Lo mismo es cierto sobre distributiva de la conjunción y la disyunción sobre más de conjunción, así como para la ley de absorción.

En lógica clásica y algunas variedades de lógica multi-valuada, la conjunción y la disyunción son duales, y la negación es auto-dual, en la lógica intuicionista, esta última también es auto-dual.

== Ciencias de la computación ==
El planteamiento funcional a la verdad a los operadores lógicos se implementa como [[puertas lógicas]] en [[circuitos digitales]]. Prácticamente todos los circuitos digitales (la principal excepción es [[DRAM]]) se construye a partir de [[barra de Sheffer|NAND]], [[NOR lógico|NOR]], [[Negación lógica|NOT]] y [[Puerta lógica|puertas de transmisión]]; ver más detalles en [[Función de verdad#Ciencia de la computación|función de verdad en informática]]. Los operadores lógicos más de vectores de bits (correspondientes a finita álgebra de boole) son [[operaciones bit a bit]].

Pero no todo uso de un conector lógico en [[programación|programación informática]] tiene una semántica de Boole. Por ejemplo, a veces se implementa [[evaluación perezosa]] para {{math|''P'' ∧ ''Q''}} y {{math|''P'' ∨ ''Q''}}, de modo que estos conectores no son conmutativo si algunas de las expresiones {{math|P}}, {{math|Q}} tiene [[Efecto secundario (informática)|efecto secundario]]. También, un [[Sentencia condicional|condicional]], que en cierto sentido corresponde al conectivo [[condicional material]], es esencialmente no-booleano porque para <code>si (P) entonces Q;</code> la consiguiente Q no se ejecuta si el [[antecedente (lógica)|antecedente]]&nbsp;P es falso (aunque un compuesto como un todo es exitosa ≈ "verdadera" en tal caso). Esto se acerca más a las ópticas intuicionistas y [[Constructivismo (matemáticas)|constructivistas]] sobre el condicional material, más que a las de la lógica clásica.

== Conectivas por el número de argumentos ==
Si vemos las distintas conectivas por su número de argumentos podemos distinguir:

=== Sin argumentos ===
{{ap|Operación nularia}}
Las conectivas lógicas sin argumentos son:
:{| class="wikitable" 
|colspan=4 align="center" | Operación nularia
|-
|colspan=2 align="center" | Positiva
|colspan=2 align="center" | Negativa
|-
| <math>\top</math> || [[Tautología]]
| <math>\bot</math> || [[Contradicción]]
|}

=== Con un argumento ===
{{ap|Operación unaria}}
Las conectivas con solo un argumento son:
:{| class="wikitable"
|colspan=4 align="center" | Operación unaria
|-
|colspan=2 align="center" | Positiva
|colspan=2 align="center" | Negativa
|-
| <math> a \, </math>   || [[Afirmación lógica]]
| <math> \neg a </math> || [[Negación lógica]]
|}

=== Con dos argumentos ===
{{ap|Operación binaria}}
Las conectivas que necesitan dos argumentos son:
:{| class="wikitable"
|colspan=4 align="center" | Operación binaria
|-
|colspan=2 align="center" | Positiva
|colspan=2 align="center" | Negativa
|-
| <math> a\lor b </math>                || [[Disyunción lógica]]
| <math> a\downarrow b </math>          || [[Disyunción opuesta]]
|-
| <math> a\land b </math>               || [[Conjunción lógica]]
| <math> a\uparrow b </math>            || [[Conjunción opuesta]]
|-
| <math> a\to b </math>                 || [[Implicación lógica]]
| <math> a\not\rightarrow b </math>     || [[Adjunción lógica]]
|-
| <math> a\leftarrow b </math>          || [[Implicación opuesta]]
| <math> a\not\leftarrow b </math>      || [[Adjunción opuesta]]
|-
| <math> a\leftrightarrow b </math>     || [[Bicondicional]]
| <math> a\not\leftrightarrow b </math> || [[Disyunción exclusiva]]
|}

=== Resumen ===
{{Conectivas lógicas 12 ImageMap}}

== Véase también ==
{{columnas}}
* [[Función booleana]]
* [[Lógica booleana]]
* [[Constante lógica]]
{{nueva columna}}
* [[Cálculo proposicional]]
* [[Función de verdad]]
* [[Tabla de verdad]]
* [[Valor de verdad]]
{{final columnas}}

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Enlaces externos ==
* {{Springer |title=Propositional connective |id=p/p075490}}
* {{Cita libro|autor=Lloyd Humberstone|título=The Connectives|año=2011|editorial=[[MIT Press]]|isbn=978-0-262-01654-4}}
* {{Cita libro |título=A Précis of Mathematical Logic |url=https://archive.org/details/precisofmathemat0000boch |apellido=Bocheński |nombre=Józef Maria |enlaceautor=Józef Maria Bocheński |año=1959 |otros=traducido al inglés de las ediciones francesa y alemana por Otto Bird |ubicación=Dordrecht, South Holland}}
* {{Cita libro |apellido=Enderton |nombre=Herbert |año=2001 |título=A Mathematical Introduction to Logic |editorial=Academic Press |ubicación=Boston, MA |edición=2da |isbn=978-0-12-238452-3}}
* {{Cita libro |apellido=Gamut |nombres=L.T.F |año=1991 |título=Logic, Language and Meaning |editor=[[University of Chicago Press]] |volumen=1 |páginas=54-64 |contribution=Chapter 2 |oclc=21372380}}
* {{Cita enciclopedia |apellido=Humberstone |nombre=Lloyd |año=2010 |título=Sentence Connectives in Formal Logic |url=http://plato.stanford.edu/entries/connectives-logic/ |enciclopedia=Stanford Encyclopedia of Philosophy}}
* {{Cita enciclopedia |apellido=MacFarlane |nombre=John |año=2005 |título=Logical constants |url=http://plato.stanford.edu/entries/logical-constants/ |enciclopedia=Stanford Encyclopedia of Philosophy}}
{{Traducido ref|en|Logical connective |oldid=609874095 |trad=total}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Lógica proposicional]]
[[Categoría:Sistemas lógicos]]
[[Categoría:Programación]]
[[Categoría:Inteligencia artificial]]
[[Categoría:Símbolos lógicos]]
[[Categoría:Conectivas lógicas| ]]
[[Categoría:Operaciones unarias]]