Ver el código de «Sistema pi»

En [[matemáticas]], un '''sistema &Pi;''' (o '''sistema pi''') en un [[conjunto]] <math>\Omega</math> es una [[familia de conjuntos|colección]] <math>P</math> de ciertos [[subconjunto]]s de <math>\Omega,</math> de modo que:

* <math>P</math> es [[Conjunto vacío|no vacío]].
* Si <math>A, B \in P</math>, entonces <math>A \cap B \in P.</math>

Es decir, <math>P</math> es una familia no vacía de subconjuntos de <math>\Omega</math> que está [[clausura (matemáticas)|cerrada]] bajo un número finito de [[Intersección de conjuntos|intersectiones]] no vacías.<ref group=nb>La intersección nula (0-aria) de subconjuntos de <math>\Omega</math> es por convención igual a <math>\Omega,</math> que no es necesario que sea un elemento de un sistema &Pi;.</ref>
La importancia de los sistemas &Pi; surge del hecho de que si dos [[medida de probabilidad|medidas de probabilidad]] coinciden en un sistema &Pi;, entonces coinciden en la [[Σ-álgebra|&Sigma;-álgebra]] generada por ese sistema &Pi;. Además, si otras propiedades, como la igualdad de integrales, se cumplen para el sistema &Pi;, entonces también se cumplen para el álgebra &Sigma; generada. Este es el caso siempre que la colección de subconjuntos para los cuales se mantiene la propiedad es un [[sistema de Dynkin|sistema &lambda;]]. Los sistemas &Pi; también son útiles para comprobar la independencia de variables aleatorias.

Esto es deseable porque, en la práctica, los sistemas &Pi; suelen ser más sencillos de trabajar que las álgebras &Sigma;. Por ejemplo, puede resultar incómodo trabajar con álgebras &Sigma; generadas por un número finito de conjuntos <math>\sigma(E_1, E_2, \ldots).</math> Por lo tanto, se puede examinar la unión de todas las álgebras &Sigma; generadas por un número finito de conjuntos <math display="inline">\bigcup_n \sigma(E_1, \ldots, E_n).</math> Esto forma un sistema &Pi; que genera el álgebra &Sigma; deseada. Otro ejemplo es la colección de todos los [[Intervalo (matemática)|intervalos]] de la [[recta real]], junto con el conjunto vacío, que es un sistema &Pi; que genera el muy importante [[Conjunto de Borel|álgebra &Sigma; de Borel]] de subconjuntos de la recta real.

==Definiciones==

Un <em>&Pi;-system</em> es una colección no vacía de conjuntos <math>P</math> que está cerrada bajo intersecciones finitas no vacías, lo que equivale a que <math>P</math> contenga la intersección de dos de sus elementos cualesquiera.
S¨
i cada conjunto en este sistema &Pi; es un subconjunto de <math>\Omega</math>, entonces se llama {{enf|sistema &Pi; en <math>\Omega.</math>}}

Para cualquier [[Familia de conjuntos|familia]] <math>\Sigma</math> de subconjuntos de <math>\Omega,</math> que no esté vacío, existe un sistema &Pi; <math>\mathcal{I}_{\Sigma},</math> llamado '''{{enf|sistema &Pi; generado por <math>\boldsymbol\varSigma</math>}}'', ese es el único sistema &Pi; más pequeño de <math>\Omega</math> que contiene cada elemento de <math>\Sigma.</math>
Es igual a la intersección de todos los sistemas &Pi; que contienen <math>\Sigma,</math> y puede describirse explícitamente como el conjunto de todas las posibles intersecciones finitas no vacías de elementos de <math>\Sigma:</math>

:<math>\left\{E_1 \cap \cdots \cap E_n ~:~ 1 \leq n \in \N \text{and } E_1, \ldots, E_n \in \Sigma\right\}.</math>

Una familia de conjuntos no vacía tiene la [[propiedad de la intersección finita]] si y solo si el sistema &Pi; que genera no contiene el conjunto vacío como elemento.

==Ejemplos==

* Para cualquier par de números reales <math>a</math> y <math>b,</math> los intervalos <math>(-\infty, a]</math> forman un sistema &Pi;, y los intervalos <math>(a, b]</math> forman un sistema &Pi; si también se incluye el conjunto vacío.
* La [[Espacio topológico|topología]] (colección de [[conjunto abierto|conjuntos abiertos]]) de cualquier [[espacio topológico]] es un sistema &Pi;.
* Cada [[Filtro (teoría de conjuntos)|filtro]] es un sistema &Pi;. Cada sistema &Pi; que no contiene el conjunto vacío es un [[prefiltro]] (también conocido como base de filtros).
* Para cualquier [[función medible]] <math>f : \Omega \to \Reals,</math> el conjunto &nbsp;<math>\mathcal{I}_f= \left\{f^{-1}((-\infty, x]) : x \in \Reals\right\}</math> define un sistema &Pi;, y se denomina sistema &Pi; {{enf|generado}} por <math>f.</math>) Alternativamente, <math>\left\{f^{-1}((a, b]) : a, b \in \Reals, a < b\right\} \cup \{\varnothing\}</math> define un sistema &Pi; generado por <math>f.</math>
* Si <math>P_1</math> y <math>P_2</math> son sistemas &Pi; para <math>\Omega_1</math> y <math>\Omega_2,</math> respectivamente, entonces <math>\{A_1 \times A_2 : A_1 \in P_1, A_2 \in P_2\}</math> es un sistema &Pi; para el [[producto cartesiano]] <math>\Omega_1 \times \Omega_2.</math>
* Cada álgebra &Sigma; es un sistema &Pi;.

==Relación con los sistemas &lambda;==

Un [[sistema de Dynkin|sistema &lambda;]] en <math>\Omega</math> es un conjunto <math>D</math> de subconjuntos de <math>\Omega,</math> que satisfacen
* <math>\Omega \in D.</math>
* Si <math>A \in D</math>, entonces <math>\Omega \setminus A \in D.</math>
* Si <math>A_1, A_2, A_3, \ldots</math> es una secuencia de subconjuntos [[Conjuntos disjuntos|{{enf|disjuntos}} (dos a dos)]] en <math>D</math>, entonces <math>\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n \in D.</math>

Si bien es cierto que cualquier álgebra &Sigma; satisface las propiedades de ser tanto un sistema &Pi; como un sistema &lambda;, no es cierto que cualquier sistema &Pi; sea un sistema &lambda;), y además no es cierto que cualquier sistema &Pi; sea un álgebra &Sigma;. Sin embargo, una clasificación útil es que cualquier sistema de conjuntos que sea a la vez un sistema &lambda; y un sistema &Pi; es un álgebra &Sigma;. Esto se utiliza como paso para demostrar el teorema &Pi;-&lambda;.

{{anchor|teorema π-λ|teorema pi-lambda}}
===El teorema &Pi;-&lambda;===
{{VT|Sistema de Dynkin}}

Sea <math>D</math> un sistema &lambda; y sea &nbsp;<math>\mathcal{I} \subseteq D</math> un sistema &Pi; contenido en <math>D.</math> El teorema &Pi;-&lambda;<ref name="Kallenberg">Kallenberg, Foundations Of Modern Probability, p.&nbsp;2</ref> establece que el álgebra &Sigma; <math>\sigma(\mathcal{I})</math> generada por <math>\mathcal{I}</math> está contenida en <math>D ~:~</math> <math>\sigma(\mathcal{I}) \subseteq D.</math>

El teorema &Pi;-&lambda; se puede utilizar para demostrar muchos resultados elementales en [[Medida (matemáticas)|teoría de la medida]]. Por ejemplo, se utiliza para demostrar la afirmación de la unicidad según el [[teorema de extensión de Carathéodory]] para medidas finitas de &Sigma;.<ref name="Durrett">Durrett, Probability Theory and Examples, p.&nbsp;404</ref>

El teorema &Pi;-&lambda; está estrechamente relacionado con el [[teorema de la clase monótona]], que proporciona una relación similar entre clases monótonas y álgebras, y puede usarse para deducir muchos de los mismos resultados. Dado que los sistemas &Pi; son clases más simples que las álgebras, puede ser más fácil identificar los conjuntos que se encuentran en ellos, mientras que, por otro lado, comprobar si la propiedad bajo consideración determina un sistema &lambda; suele ser relativamente fácil. A pesar de la diferencia entre los dos teoremas, el teorema &Pi;-&lambda; a veces se denomina teorema de la clase monótona.<ref name="Kallenberg"/>

====Ejemplo====

Sean <math>\mu_1, \mu_2 : F \to \Reals</math> dos medidas en el álgebra &Sigma; <math>F,</math> y supóngase que <math>F= \sigma(I)</math> es generado por un sistema &Pi; <math>I.</math> Si
#<math>\mu_1(A)= \mu_2(A)</math> para todos los <math>A \in I,</math> y
#<math>\mu_1(\Omega)= \mu_2(\Omega) < \infty,</math>
entonces <math>\mu_1= \mu_2.</math>
Esta es la afirmación de unicidad del teorema de extensión de Carathéodory para medidas finitas. Si este resultado no parece muy notable, considérese el hecho de que normalmente es muy difícil o incluso imposible describir completamente cada conjunto en el álgebra &Sigma;, por lo que el problema de igualar medidas sería completamente inútil sin dicha herramienta.

'''Idea de la demostración''<ref name="Durrett"/>
Defínase la colección de conjuntos

:<math>D= \left\{A \in \sigma(I) \colon \mu_1(A)= \mu_2(A) \right\}.</math>

Según el primer supuesto, <math>\mu_1</math> y <math>\mu_2</math> son concordantes en <math>I</math> y, por lo tanto, en <math>I \subseteq D.</math>. Según el segundo supuesto, <math>\Omega \in D,</math> y además se puede demostrar que <math>D</math> es un sistema &lambda;. Del teorema &Pi;-&lambda; se deduce que <math>\sigma(I) \subseteq D \subseteq \sigma(I),</math> y por lo tanto, <math>D= \sigma(I).</math> Es decir, las medidas concuerdan en <math>\sigma(I).</math>

==Sistemas &Pi; en probabilidad==

Los sistemas &Pi; se utilizan más comúnmente en el estudio de la teoría de la probabilidad que en el campo general de la teoría de la medida. Esto se debe principalmente a nociones probabilísticas como la [[Independencia (probabilidad)|independencia]], aunque también puede ser consecuencia del hecho de que el teorema &Pi;-&lambda; fue demostrado por el probabilista [[Eugene Dynkin]]. Los textos de teoría de medidas estándar suelen demostrar los mismos resultados mediante [[clase monótona|clases monótonas]], en lugar de sistemas &Pi;.

===Igualdad en la distribución===

El teorema &Pi;-&lambda; motiva la definición común de la [[distribución de probabilidad]] de una [[variable aleatoria]] <math>X : (\Omega, \mathcal F, \operatorname P) \to \Reals</math> en términos de su [[función de distribución]]. Recuérdese que la distribución acumulativa de una variable aleatoria se define como

:<math>F_X(a)= \operatorname{P}[X \leq a], \qquad a \in \Reals,</math>

mientras que la {{enf|ley}} aparentemente más general de la variable es la medida de probabilidad

:<math>\mathcal{L}_X(B)= \operatorname{P}\left[X^{-1}(B)\right] \quad \text{for all } B \in \mathcal{B}(\Reals),</math>

donde <math>\mathcal{B}(\Reals)</math> es el álgebra δ de Borel. Las variables aleatorias <math>X :(\Omega, \mathcal F, \operatorname P) \to \Reals</math> e <math>Y : (\tilde\Omega,\tilde{\mathcal F}, \tilde{\operatorname P}) \to \Reals</math> (en dos [[espacio de probabilidad|espacios de probabilidad]] que pueden ser diferentes) son {{enf|[[variable aleatoria|iguales en distribución]]}} (o {{enf|leyes}}), denotadas por <math>X \,\stackrel{\mathcal D}{=}\, Y,</math> si tienen las mismas funciones de distribución acumulativa; es decir, si <math>F_X= F_Y.</math> La motivación para la definición surge de la observación de que si <math>F_X= F_Y,</math> entonces eso es exactamente decir que <math>\mathcal{L}_X</math> y <math>\mathcal{L}_Y</math> concuerdan en el sistema &Pi; <math>\{(-\infty, a] : a \in \Reals\}</math> que genera <math>\mathcal{B}(\Reals),</math> y por lo tanto, según el ejemplo anterior: 

:<math>\mathcal{L}_X= \mathcal{L}_Y.</math>

Un resultado similar es válido para la distribución conjunta de un vector aleatorio. Por ejemplo, supóngase que <math>X</math> e <math>Y</math> son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad <math>(\Omega, \mathcal{F}, \operatorname{P}),</math> con los sistemas &Pi; <math>\mathcal{I}_X</math> y <math>\mathcal{I}_Y.</math> generados respectivamente. La función de distribución acumulativa conjunta de <math>(X, Y)</math> es
:<math>F_{X,Y}(a, b)= \operatorname{P}[X \leq a, Y \leq b] 
= \operatorname{P}\left[X^{-1}((-\infty, a]) \cap Y^{-1}((-\infty, b])\right], \quad \text{for all } a, b \in \Reals.</math>

Sin embargo, <math>A= X^{-1}((-\infty, a]) \in \mathcal{I}_X</math> y <math>B= Y^{-1}((-\infty, b]) \in \mathcal{I}_Y</math> porque

:<math>\mathcal{I}_{X,Y}= \left\{A \cap B : A \in \mathcal{I}_X, \text{and } B \in \mathcal{I}_Y\right\}</math>

es un sistema &Pi; generado por el par de variables aleatorias <math>(X, Y),</math> el teorema &Pi;-&lambda; se utiliza para demostrar que la función de distribución acumulativa conjunta es suficiente para determinar la ley conjunta de <math>(X, Y).</math> En otras palabras, <math>(X, Y)</math> y <math>(W, Z)</math> tienen la misma distribución si y solo si tienen la misma función de distribución acumulativa conjunta.

En la teoría de [[proceso estocástico|procesos estocásticos]], se sabe que dos procesos <math>(X_t)_{t \in T}, (Y_t)_{t \in T}</math> tienen la misma distribución si y solo si coinciden en todas las distribuciones de dimensión finita; es decir, para todos los <math>t_1, \ldots, t_n \in T, \, n \in \N,</math>

:<math>\left(X_{t_1}, \ldots, X_{t_n}\right) \,\stackrel{\mathcal{D}}{=}\, \left(Y_{t_1}, \ldots, Y_{t_n}\right).</math>

La prueba de ello es otra aplicación del método del teorema &Pi;-&lambda.<ref>Kallenberg, ''Foundations Of Modern probability'', p.&nbsp;48</ref>

===Variables aleatorias independientes===

La teoría del sistema &Pi; juega un papel importante en la noción probabilística de [[Independencia (probabilidad)|independencia]]. Si <math>X</math> e <math>Y</math> son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad <math>(\Omega, \mathcal{F}, \operatorname{P})</math>, entonces las variables aleatorias son independientes si y solo si sus sistemas &Pi; <math>\mathcal{I}_X, \mathcal{I}_Y</math> satisfacen para todo <math>A \in \mathcal{I}_X</math> y <math>B \in \mathcal{I}_Y,</math>

:<math>\operatorname{P}[A \cap B] ~=~ \operatorname{P}[A] \operatorname{P}[B],</math>

es decir, <math>\mathcal{I}_X, \mathcal{I}_Y</math> son independientes. En realidad, este es un caso especial del uso de sistemas &Pi; para determinar la distribución de <math>(X, Y).</math>

====Ejemplo====

Sea <math>Z= \left(Z_1, Z_2\right),</math> donde <math>Z_1, Z_2 \sim \mathcal{N}(0, 1)</math> son variables aleatorias normales estándar [[Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas|independientes e idénticamente distribuidas]]. Defínanse las variables de radio y argumento (arctan)

:<math>R= \sqrt{Z_1^2 + Z_2^2}, \qquad \Theta= \tan^{-1}\left(Z_2 / Z_1\right).</math>

Entonces, <math>R</math> y <math>\Theta</math> son variables aleatorias independientes.

Para probar esto, es suficiente demostrar que los sistemas &Pi; <math>\mathcal{I}_R, \mathcal{I}_\Theta</math> son independientes: es decir, para todos <math>\rho \in [0, \infty)</math> y <math>\theta \in [0, 2 \pi],</math>
:<math>\operatorname{P}[R \leq \rho, \Theta \leq \theta]= \operatorname{P}[R \leq \rho] \operatorname{P}[\Theta \leq \theta].</math>

Confirmar que este es el caso es un ejercicio de cambio de variables. Fíjese <math>\rho \in [0, \infty)</math> y <math>\theta \in [0, 2 \pi],</math> entonces la probabilidad se puede expresar como una integral de la función de densidad de probabilidad de <math>Z.</math>

:<math>\begin{align}
\operatorname P [R \leq \rho, \Theta \leq \theta] &= \int_{R \leq \rho, \, \Theta \leq \theta} \frac{1}{2\pi}\exp\left({-\frac12(z_1^2 + z_2^2)}\right) dz_1 \, dz_2 \\[5pt]
&= \int_0^{\theta} \int_0^\rho \frac{1}{2 \pi}e^{-\frac{r^2}{2}} \; r \, dr \, d\tilde\theta \\[5pt]
&= \left(\int_0^\theta \frac{1}{2 \pi} \, d\tilde \theta\right) \; \left(\int_0^\rho e^{-\frac{r^2}{2}} \; r \, dr\right) \\[5pt]
&= \operatorname P[\Theta \leq \theta]\operatorname P[R \leq \rho].
\end{align}</math>

==Véase también==
{{Families of sets}}
* [[Anillo delta|Anillo &delta;]]
* [[Cuerpo de conjuntos]]
* [[Ideal (teoría de conjuntos)]]
* [[Independencia (probabilidad)]]
* [[Sistema de Dynkin|Sistema &lambda;]] (Sistema de Dynkin)
* [[Teorema de la clase monótona]]
* [[Distribución de probabilidad]]
* [[Anillo de conjuntos]]
* [[σ-álgebra]]
* [[Ideal sigma|Ideal &Sigma;]]
* [[Anillo sigma|Anillo &Sigma;]]

==Notas==
{{reflist|group=nb}}

==Referencias==
{{reflist|2}}

==Bibliografía==
* {{cite book|last=Gut|first=Allan|author-link=Allan Gut|title=Probability: A Graduate Course|year=2005|series=Springer Texts in Statistics|publisher=Springer|location=New York|doi=10.1007/b138932|isbn=0-387-22833-0}}
* {{cite book|last=Williams|first=David|author-link=David Williams|title=Probability with Martingales|year=1991|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-40605-6}}
* {{Cita libro |apellidos=Durrett |nombre=Richard |título=Probability: theory and examples |fecha=2019 |editorial=Cambridge University Press |isbn=978-1-108-47368-2 |serie=Cambridge series in statistical and probabilistic mathematics |edición=quinta |oclc=1100115281}} <!--{{sfn|Durrett|2019|p=}}-->

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de la medida]]
[[Categoría:Familias de conjuntos]]