Ver el código de «Teoría de la percolación»

[[File:perc-wiki.png|thumb|300px|Gráfico tridimensional de un modelo de percolación]]

En [[física estadística]] y [[matemáticas]], la '''teoría de la percolación''' describe el comportamiento de una red cuando se agregan nodos o enlaces. Este es un tipo geométrico de transición de fase, ya que en una fracción crítica de la adición, la red de grupos pequeños desconectados se fusiona formando una estructura [[Anexo:Glosario de teoría de grafos|conectada]] significativamente más grande, el llamado grupo de expansión. Las aplicaciones de la teoría de la percolación a la [[ciencia de materiales]] y en muchas otras disciplinas se discuten aquí y en los artículos dedicados al [[análisis de redes]] y a la [[percolación]].

==Introducción==
[[Archivo:Transition de percolation 2.gif|thumb|left|Percolación de enlaces en una retícula cuadrada de p=0.3 a p=0.52]]

La [[teoría de Flory-Stockmayer]] fue el primer desarrollo científico que investigó los procesos de percolación.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Mw_csu3AcB0C&q=Flory%E2%80%93Stockmayer+theory+percolation+theory&pg=PA8|title=Applications Of Percolation Theory|last1=Sahini|first1=M.|last2=Sahimi|first2=M.|date=2003-07-13|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-22153-2|language=en}}</ref>

Una pregunta representativa (y el origen de la [[etimología]] del nombre) es la siguiente. Supóngase que se vierte algo de líquido sobre algún material [[Porosidad|poroso]]. ¿Podrá el líquido pasar de un agujero a otro y llegar al fondo? Esta pregunta física es [[Modelo matemático|modelada]] matemáticamente como una [[Gráfico de celosía|red tridimensional]] de {{math|''n'' × ''n'' × ''n''}} [[Grafo|vértices]], generalmente llamados "sitios", en los que los [[Grafo|lados]] o "enlaces" entre cada dos elementos vecinos pueden estar abiertos (permitiendo el paso del líquido) con probabilidad {{math|''p''}}, o cerrados con probabilidad {{math|1 – ''p''}}, y se supone que son independientes. Por lo tanto, para un {{math|''p''}} dado, ¿cuál es la probabilidad de que exista una ruta abierta (es decir, un camino, cada uno de cuyos enlaces es un enlace "abierto") de arriba abajo? El comportamiento con valores de&nbsp;{{math|''n''}} grandes es de interés principal. Este problema, llamado ahora '''percolación de enlaces''', fue introducido en la literatura matemática por {{harvtxt|Broadbent|Hammersley|1957}},<ref name="BroadbentHammersley1957">{{cite journal |last1=Broadbent |first1=Simon |last2=Hammersley |first2=John |author-link2=John Hammersley |title=Percolation processes I. Crystals and mazes |journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |volume=53 |issue=3 |year=1957 |pages=629–641 |issn=0305-0041 |doi=10.1017/S0305004100032680 |bibcode=1957PCPS...53..629B}}</ref> y ha sido estudiado intensamente por matemáticos y físicos desde entonces.

En un modelo matemático ligeramente diferente para obtener un gráfico aleatorio, un sitio está "ocupado" con probabilidad {{math|''p''}} o "vacío" (en cuyo caso se eliminan sus bordes) con probabilidad {{math|1 – ''p''}}; el problema correspondiente se llama '''filtración del sitio'''. La pregunta es la misma: para una ''p'' dada, ¿cuál es la probabilidad de que exista un camino entre la parte superior y la inferior? De manera similar, se puede preguntar, dado un gráfico conectado, en qué fracción {{math|1 – ''p''}} de interrupciones se desconectará el gráfico (sin componente grande).

[[Archivo:Tube Network Percolation.gif|thumb|Determinación de la percolación de una red de tubos 3D]]

Se pueden hacer las mismas preguntas para cualquier dimensión de celosía. Como es bastante típico, en realidad es más fácil examinar redes [[Anexo:Glosario de teoría de grafos|infinitas]] que solo las grandes. En este caso, la pregunta correspondiente es: ¿existe un [[cúmulo abierto]] infinito? Es decir, ¿existe un camino de puntos conectados de longitud infinita "a través" de la red? Por la [[ley cero-uno de Kolmogórov]], para cualquier {{math|''p''}} dado, la probabilidad de que exista un grupo infinito es cero o uno. Dado que esta probabilidad es una función creciente de {{math|''p''}} (prueba a través del argumento de [[acoplamiento (probabilidad)|acoplamiento]]), debe haber un {{math|''p''}} '''crítico''' (denotado por&nbsp;{{math|''p''<sub>c</sub>}}) por debajo del cual la probabilidad es siempre 0 y por encima del cual la probabilidad es siempre es&nbsp;1. En la práctica, esta criticidad es muy fácil de observar. Incluso para {{math|''n''}} tan pequeño como 100, la probabilidad de una ruta abierta de arriba abajo aumenta drásticamente de muy cerca de cero a muy cerca de uno en un intervalo corto de valores de&nbsp;{{math|''p''}}.

[[Imagen:Bond percolation p 51.png|thumb|Detalle de una percolación de enlace en la retícula cuadrada en dos dimensiones con probabilidad de percolación {{math|''p'' {{=}} 0.51}}]]

Para la mayoría de los gráficos de celosía infinita, {{math|''p''<sub>c</sub>}} no se puede calcular exactamente, aunque en algunos casos de {{math|''p''<sub>c</sub>}} existe un valor exacto. Por ejemplo:

* Para una [[retícula cuadrada]] {{math|'''ℤ'''<sup>2</sup>}} en dos dimensiones, {{math|''p''<sub>c</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}} para percolación de enlaces, un hecho que fue una cuestión abierta durante más de 20 años y finalmente fue resuelto por [[Harry Kesten]] a principios de la década de 1980,<ref name="BollobásRiordan2006">{{cite journal|last1=Bollobás|first1=Béla|last2=Riordan|first2=Oliver|title=Sharp thresholds and percolation in the plane|journal=Random Structures and Algorithms |volume=29|issue=4|year=2006|pages=524–548|issn=1042-9832|doi=10.1002/rsa.20134|arxiv=math/0412510|s2cid=7342807}}</ref> (véase {{harvtxt|Kesten|1982}}). Para la percolación del sitio, el valor de {{math|''p''<sub>c</sub>}} no se conoce a partir de la derivación analítica, sino solo a través de simulaciones de rejillas grandes.<ref>{{cite journal |author=MEJ Newman |author2=RM Ziff|year=2000|title=Efficient Monte Carlo algorithm and high-precision results for percolation |journal=Physical Review Letters |issue=19|volume=85|pages=4104–4107|doi=10.1103/physrevlett.85.4104 |pmid=11056635|arxiv=cond-mat/0005264|bibcode=2000PhRvL..85.4104N|s2cid=747665}}</ref>
* Un caso límite para retículas de grandes dimensiones lo da la [[retícula de Bethe]], cuyo umbral está en {{math|''p''<sub>c</sub> {{=}} {{sfrac|1|''z'' − 1}}}} para un [[número de coordinación]]&nbsp;{{math|''z''}}. En otras palabras: para el [[Árbol (teoría de grafos)|árbol]] regular de grado <math>z</math>, <math>p_c</math> es igual a <math>1/(z-1)</math>.

[[Archivo:Front de percolation.png|thumb|Frente de percolación]]

* Para [[Modelo Erdös–Rényi|redes de Erdős-Rényi]] aleatorias de grado medio <math>\langle k\rangle</math>, {{math|''p''<sub>c</sub> {{=}} {{sfrac|1|&lang;k&rang;}}}}.<ref>{{cite journal |author=Erdős, P. |author2=Rényi, A.|year=1959|title=On random graphs I. |journal=Publ. Math. |issue=6|pages= 290–297}}</ref><ref>{{cite journal |author=Erdős, P. |author2=Rényi, A. |year=1960|title=The evolution of random graphs |journal=Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. |issue=5|pages= 17–61}}</ref><ref>{{cite journal |author=Bolloba's, B.|year=1985|title= Random Graphs |journal=Academic}}</ref>

==Universalidad==
El [[Universalidad (sistemas dinámicos)|principio de universalidad]] establece que el valor numérico de {{math|''p''<sub>c</sub>}} está determinado por la estructura local del gráfico, mientras que el comportamiento cerca del umbral crítico, {{math|''p''<sub>c</sub>}}, se caracteriza por un [[exponente crítico]] universal. Por ejemplo, la distribución del tamaño de los conglomerados en la criticidad decae como una ley de potencia con el mismo exponente para todos los retículos 2d. Esta universalidad significa que para una dimensión dada, los diversos exponentes críticos, la [[dimensión fractal]] de los grupos en {{math|''p''<sub>c</sub>}} es independiente del tipo de retícula y del tipo de percolación (por ejemplo, enlace o sitio). Sin embargo, recientemente se ha realizado la percolación en un [[retículo estocástico plano ponderado]] y se encontró que aunque su dimensión coincide con la dimensión del espacio donde está incrustado, su clase de universalidad es diferente a la de todos los retículos planos conocidos.<ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Rahman | first2 = M. M. | year = 2015 | title = Percolation on a multifractal scale-free planar stochastic lattice and its universality class | journal = Phys. Rev. E | volume = 92 | issue = 4| page = 040101 | doi=10.1103/PhysRevE.92.040101| pmid = 26565145 | arxiv = 1504.06389 | bibcode = 2015PhRvE..92d0101H | s2cid = 119112286 }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Rahman | first2 = M. M. | year = 2016 | title = Universality class of site and bond percolation on multi-multifractal scale-free planar stochastic lattice | journal = Phys. Rev. E | volume = 94 | issue = 4| page = 042109 | doi=10.1103/PhysRevE.94.042109| pmid = 27841467 | arxiv = 1604.08699 | bibcode = 2016PhRvE..94d2109H | s2cid = 22593028 }}</ref>

==Fases==

===Subcrítica y supercrítica===

El hecho principal en la fase subcrítica es el "decaimiento exponencial". Es decir, cuando {{math|''p'' < ''p''<sub>c</sub>}}, la probabilidad de que un punto específico (por ejemplo, el origen) esté contenido en un grupo abierto (es decir, un conjunto conectado máximo de bordes "abiertos" del gráfico) de tamaño {{math|''r''}} decrece a cero [[Cota superior asintótica|exponencialmente]] en&nbsp;{{math|''r''}} . Esto fue probado para la percolación en tres y más dimensiones por {{harvtxt|Menshikov|1986}} e independientemente por {{harvtxt|Aizenman|Barsky|1987}}. En dos dimensiones, formó parte de la prueba de Kesten de que {{math|''p''<sub>c</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}}.<ref name="Kesten1982">{{Cite book |last1=Kesten |first1=Harry |author-link1=Harry Kesten |title=Percolation Theory for Mathematicians |url=https://archive.org/details/percolationtheor0000kest |publisher=Birkhauser |year=1982 |doi=10.1007/978-1-4899-2730-9 |isbn=978-0-8176-3107-9}}</ref>

El [[grafo dual]] de la retícula cuadrada {{math|'''ℤ'''<sup>2</sup>}} es también la retícula cuadrada. De ello se deduce que, en dos dimensiones, la fase supercrítica es dual a un proceso de percolación subcrítica. Esto proporciona esencialmente información completa sobre el modelo supercrítico con {{math|''d'' {{=}} 2}}. El resultado principal para la fase supercrítica en tres y más dimensiones es que, para {{math|''N''}} suficientemente grande, hay {{clarify|reason=With probability one?|date=April 2016}} un cúmulo abierto infinito en la losa bidimensional {{math|'''ℤ'''<sup>2</sup> × [0, ''N'']<sup>''d'' − 2</sup>}}. Esto fue probado por {{harvtxt|Grimmett|Marstrand|1990}}.<ref name="GrimmettMarstrand1990">{{cite journal |last1=Grimmett |first1=Geoffrey |author-link1=Geoffrey Grimmett |last2=Marstrand |first2=John |title=The Supercritical Phase of Percolation is Well Behaved |journal=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |volume=430 |issue=1879 |year=1990 |pages=439–457 |issn=1364-5021 |doi=10.1098/rspa.1990.0100 |bibcode=1990RSPSA.430..439G |s2cid=122534964}}</ref>

En dos dimensiones con {{math|''p'' < {{sfrac|1|2}}}}, hay una probabilidad de que exista un grupo cerrado infinito único (un grupo cerrado es un conjunto conectado máximo de bordes "cerrados" del gráfico). Por tanto, la fase subcrítica puede describirse como islas abiertas finitas en un océano cerrado infinito. Cuando {{math|''p'' > {{sfrac|1|2}}}} ocurre todo lo contrario, con islas cerradas finitas en un océano abierto infinito. El panorama es más complicado cuando {{math|''d'' ≥ 3}} desde {{math|''p''<sub>c</sub> < {{sfrac|1|2}}}}, y hay coexistencia de clústeres infinitos abiertos y cerrados para {{math|''p''}} entre {{math|''p''<sub>c</sub>}} y&nbsp;{{math|1 − ''p''<sub>c</sub>}}.

Para conocer la naturaleza de transición de fase de la percolación, consúltese Stauffer y Aharony<ref name=refo>{{cite book |last1= Stauffer|first1= Dietrich |last2= Aharony|first2= Anthony|title= Introduction to Percolation Theory |edition=2nd |publisher=CRC Press |year=1994 |isbn=978-0-7484-0253-3}}<!--The journal cite appears to be completely wrong: {{cite journal |author= Stauffer, Dietrich |author2= Aharony, Anthony |year=1944|title= Introduction to Percolation Theory |journal=Publ. Math. |issue=6|pages= 290–297|isbn=978-0-7484-0253-3}}--></ref> y Bunde y Havlin.<ref name=reft>{{cite book |author=Bunde, A. |author2=Havlin, S. |author2-link=Shlomo Havlin |year=1996 |title=Fractals and Disordered Systems |publisher=Springer |url=http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_fds.php |fechaacceso=9 de enero de 2022 |fechaarchivo=14 de octubre de 2020 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20201014022328/http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_fds.php |deadurl=yes }}</ref> Para la filtración de redes, consúltese Cohen y Havlin.<ref>{{cite book |author=Cohen, R. |author2=Havlin, S. |author2-link=Shlomo Havlin |year=2010 |title=Complex Networks: Structure, Robustness and Function |publisher=Cambridge University Press |url=http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_com_net.php |fechaacceso=9 de enero de 2022 |fechaarchivo=4 de octubre de 2011 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20111004235522/http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_com_net.php |deadurl=yes }}</ref>

===Criticidad===
[[File:Percolation zoom.gif|right|thumb|Zoom en un grupo de percolación crítico]]

La percolación tiene una [[Singularidad matemática|singularidad]] en el punto crítico {{math|''p'' {{=}} ''p''<sub>c</sub>}} y muchas propiedades se comportan como una ley de potencia con <math>p-p_c</math>, cerca de <math>p_c</math>. La [[Exponente crítico|teoría de la escala]] predice la existencia de un [[exponente crítico]], dependiendo del número ''d'' de dimensiones, que determinan la clase de singularidad. Cuando {{math|''d'' {{=}} 2}}, estas predicciones están respaldadas por argumentos de [[teoría conforme de campos]] y de la [[evolución de Schramm–Loewner]], e incluyen valores numéricos predichos para los exponentes. Los valores de los exponentes los dan Stauffer, Dietrich y Aharony<ref name=refo/> y Bunde y Havlin.<ref name=reft/> La mayoría de estas predicciones son conjeturas, excepto cuando el número de dimensiones {{math|''d''}} satisface que {{math|''d'' {{=}} 2}} o {{math|''d'' ≥ 6}}. Incluyen:

* No hay clústeres infinitos (abiertos o cerrados)
* La probabilidad de que haya un camino abierto desde algún punto fijo (por ejemplo, el origen) a una distancia de {{math|''r''}} disminuye ''polinomialmente'', es decir, es [[Cota superior asintótica|del orden de]] {{math|''r''<sup>''α''</sup>}} para algunos&nbsp;{{math|''α''}}
** {{math|''α''}} no depende de la retícula particular elegida ni de otros parámetros locales. Depende solo de la dimensión {{math|''d''}} (esta es una instancia del principio de [[Universalidad (sistemas dinámicos)|universalidad]]).
** {{math|''α<sub>d</sub>''}} disminuye desde {{math|''d'' {{=}} 2}} hasta {{math|''d'' {{=}} 6}} y luego permanece fijo.
** {{math|''α''<sub>2</sub> {{=}} −{{sfrac|5|48}}}}
** {{math|''α''<sub>6</sub> {{=}} −1}}.
* La forma de un gran grupo en dos dimensiones es [[Transformación conforme|conformemente invariante]].

Véase {{harvtxt|Grimmett|1999}}.<ref name="Grimmett1999">{{Cite book |last1=Grimmett |first1=Geoffrey |author-link1=Geoffrey Grimmett |title=Percolation |volume=321 |year=1999 |issn=0072-7830 |doi=10.1007/978-3-662-03981-6 |series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |place=Berlin |publisher=Springer |isbn=978-3-642-08442-3 |url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/papers/perc/perc.html}}</ref> En 11 o más dimensiones, estos hechos se prueban en gran medida utilizando una técnica conocida como [[expansión de encaje]]. Se cree que una versión de la expansión de encaje debería ser válida para 7 o más dimensiones, quizás con implicaciones también para el caso umbral de 6 dimensiones. La conexión de la percolación con la expansión de encaje se encuentra en {{harvtxt|Hara|Slade|1990}}.<ref name="HaraSlade1990">{{cite journal |last1=Hara |first1=Takashi |last2=Slade |first2=Gordon |title=Mean-field critical behaviour for percolation in high dimensions |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=128 |issue=2 |year=1990 |pages=333–391 |issn=0010-3616 |doi=10.1007/BF02108785 |bibcode=1990CMaPh.128..333H |s2cid=119875060}}</ref>

En dos dimensiones, el primer hecho ("sin percolación en la fase crítica") se prueba para muchas retículas, utilizando la dualidad. Se ha logrado un progreso sustancial en el análisis de la percolación bidimensional a través de la conjetura de [[Oded Schramm]] de que el [[límite de escala]] de un gran cúmulo puede describirse en términos de una [[evolución de Schramm-Loewner]]. Esta conjetura fue probada por {{harvtxt|Smirnov|2001}}<ref name="Smirnov2001">{{cite journal |last1=Smirnov |first1=Stanislav |author-link1=Stanislav Smirnov |title=Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy's formula, scaling limits |journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences |series=I |volume=333 |issue=3 |year=2001 |pages=239–244 |issn=0764-4442 |doi=10.1016/S0764-4442(01)01991-7 |bibcode=2001CRASM.333..239S |arxiv=0909.4499 |cita=citeseerx:10.1.1.246.2739}}</ref> en el caso especial de percolación del sitio en una red triangular.

==Diferentes modelos==
* La [[percolación dirigida]], que modela el efecto de [[gravedad|fuerzas gravitatorias]] actuando en un líquido, también se introdujo en {{harvtxt|Broadbent|Hammersley|1957}},<ref name="BroadbentHammersley1957"/> y tiene conexiones con los [[proceso de contacto (matemáticas)|procesos de contacto]].
* El primer modelo estudiado fue la percolación de Bernoulli. En este modelo, todos los enlaces son independientes. Los físicos llaman a este modelo percolación de enlaces.
* A continuación se introdujo una generalización mediante el [[modelo de conglomerado aleatorio|modelo de conglomerado aleatorio de Fortuin-Kasteleyn]], que tiene muchas conexiones con el [[modelo de Ising]] y otros [[modelo de Potts|modelos de Potts]].
* La percolación de Bernoulli (enlace) en [[grafo completo|grafos completos]] es un ejemplo de [[grafo aleatorio]]. La probabilidad crítica es&nbsp;{{math|''p'' {{=}} {{sfrac|1|''N''}}}}, donde {{math|''N''}} es el número de vértices (sitios) del gráfico.
* La [[percolación de arrancamiento]] elimina las celdas activas de los cúmulos cuando tienen muy pocos vecinos activos y analiza la conectividad de las celdas restantes.<ref>{{citation
 | last = Adler | first = Joan | author-link = Joan Adler
 | doi = 10.1016/0378-4371(91)90295-n
 | issue = 3
 | journal = Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications
 | pages = 453–470
 | title = Bootstrap percolation
 | volume = 171
 | year = 1991| bibcode = 1991PhyA..171..453A}}.</ref>
* [[Percolación del primer paso]].
* [[Percolación de invasión]].
* La percolación con enlaces de dependencia fue introducida por Parshani et al.<ref name="ParshaniBuldyrev2010">{{cite journal|last1=Parshani|first1=R.|last2=Buldyrev|first2=S. V.|last3=Havlin|first3=S.|title=Critical effect of dependency groups on the function of networks|journal= Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=108|issue=3|year=2010|pages=1007–1010|issn=0027-8424|doi=10.1073/pnas.1008404108|arxiv = 1010.4498 |bibcode = 2011PNAS..108.1007P|pmid=21191103|pmc=3024657}}</ref>
* Modelo de filtración y difusión de opinión.<ref name="ShaoHavlin2009">{{cite journal|last1=Shao|first1=Jia|last2=Havlin|first2=Shlomo|last3=Stanley|first3=H. Eugene|title=Dynamic Opinion Model and Invasion Percolation|journal=Physical Review Letters|volume=103|issue=1|pages=018701|year=2009|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.103.018701|pmid=19659181|bibcode = 2009PhRvL.103a8701S }}</ref>
* La filtración bajo ataque localizado fue introducida por Berezin et al.<ref name="BerezinBashan2015">{{cite journal|last1=Berezin|first1=Yehiel|last2=Bashan|first2=Amir|last3=Danziger|first3=Michael M.|last4=Li|first4=Daqing|last5=Havlin|first5=Shlomo|title=Localized attacks on spatially embedded networks with dependencies|journal=Scientific Reports|volume=5|issue=1|pages=8934|year=2015|issn=2045-2322|doi=10.1038/srep08934|pmid=25757572|pmc=4355725|bibcode=2015NatSR...5E8934B}}</ref> Véase también Shao et al.<ref>{{Cite journal|last1=Shao|first1=S.|last2=Huang|first2=X.|last3=Stanley|first3=H.E.|last4=Havlin|first4=S.|date=2015|title=Percolation of localized attack on complex networks|journal=New J. Phys.|volume=17|issue=2|pages=023049|doi=10.1088/1367-2630/17/2/023049|arxiv=1412.3124|bibcode=2015NJPh...17b3049S|s2cid=7165448}}</ref>
* La filtración de redes modulares ha sido estudiada por Shay et al.<ref>{{cite journal |author=Shai, S |author2=Kenett, D.Y |author3=Kenett, Y.N |author4=Faust, M |author5=Dobson, S |author6=Havlin, S. |title=Critical tipping point distinguishing two types of transitions in modular network structures |journal=Phys. Rev. E |date=2015 |volume=92 |issue=6 |pages=062805|doi=10.1103/PhysRevE.92.062805 |pmid=26764742 |bibcode=2015PhRvE..92f2805S  }}</ref> y Dong et al.<ref>{{cite journal |author=Dong, Gaogao |author2=Fan, Jingfang |author3=Shekhtman, Louis M |author4=Shai, Saray |author5=Du, Ruijin |author6=Tian, Lixin |author7=Chen, Xiaosong |author8=Stanley, H Eugene |author9=Havlin, Shlomo |title=Resilience of networks with community structure behaves as if under an external field |journal= Proceedings of the National Academy of Sciences|date=2018 |volume=115 |issue=27 |pages=6911–6915|doi=10.1073/pnas.1801588115 |pmid=29925594 |pmc=6142202 |arxiv=1805.01032 |bibcode=2018PNAS..115.6911D |s2cid=49352915  }}</ref>
* La percolación en estructuras modulares espaciales ha sido estudiada por Gross et al.<ref>{{cite journal |last1=B Gross, D Vaknin, SV Buldyrev, S Havlin |title=Two transitions in spatial modular networks |journal=New Journal of Physics |date=2020 |volume=22 |issue=5 |pages=053002|doi=10.1088/1367-2630/ab8263 |s2cid=210966323 |arxiv=2001.11435 }}</ref>
* La percolación del tráfico en las ciudades fue introducida por Daqing Li et al.<ref name="LiFu2015">{{cite journal|last1=Li|first1=Daqing|last2=Fu|first2=Bowen|last3=Wang|first3=Yunpeng|last4=Lu|first4=Guangquan|last5=Berezin|first5=Yehiel|last6=Stanley|first6=H. Eugene|last7=Havlin|first7=Shlomo|title=Percolation transition in dynamical traffic network with evolving critical bottlenecks|journal= Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=112|issue=3|year=2015|pages=669–672|issn=0027-8424|doi=10.1073/pnas.1419185112|pmid=25552558|pmc=4311803|bibcode=2015PNAS..112..669L}}</ref> y por Zeng et al.<ref>{{cite journal |last1=G Zeng, D Li, S Guo, L Gao, Z Gao, HE Stanley, S Havlin |title=Switch between critical percolation modes in city traffic dynamics |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |date=2019 |volume=116 |issue=1 |pages=23–28|doi=10.1073/pnas.1801545116 |pmid=30591562 |pmc=6320510  }}</ref>
* Introducción a la recuperación de nodos y enlaces en percolación.<ref name="MajdandzicPodobnik2013">{{cite journal|last1=Majdandzic|first1=Antonio|last2=Podobnik|first2=Boris|last3=Buldyrev|first3=Sergey V.|last4=Kenett|first4=Dror Y.|last5=Havlin|first5=Shlomo|last6=Eugene Stanley|first6=H.|title=Spontaneous recovery in dynamical networks|journal=Nature Physics|volume=10|issue=1|year=2013|pages=34–38|issn=1745-2473|doi=10.1038/nphys2819|bibcode=2014NatPh..10...34M}}</ref>
* Percolación en 2d con una [[longitud de enlace]] característica.<ref>{{Cite journal|last1=Danziger|first1=Michael M.|last2=Shekhtman|first2=Louis M.|last3=Berezin|first3=Yehiel|last4=Havlin|first4=Shlomo|date=2016|title=The effect of spatiality on multiplex networks|journal=EPL (Europhysics Letters)|language=en|volume=115|issue=3|pages=36002|doi=10.1209/0295-5075/115/36002|issn=0295-5075|bibcode=2016EL....11536002D|arxiv=1505.01688}}</ref> El modelo muestra un nuevo fenómeno, llamado estiramiento crítico, en la estructura y funcionamiento de la red cerca de su umbral crítico de percolación.<ref>{{cite journal |author=Ivan Bonamassa |author2=Bnaya Gross |author3=Michael M Danziger |author4=Shlomo Havlin|year=2019|title= Critical stretching of mean-field regimes in spatial networks |journal=Phys. Rev. Lett. |volume=123|issue=8|page=088301|doi=10.1103/PhysRevLett.123.088301|pmid=31491213|pmc=7219511 |bibcode=2019PhRvL.123h8301B }}</ref>
* Un modelo de percolación generalizado y descentralizado que introduce una fracción de nodos reforzados en una red que puede funcionar y soportar su vecindario ha sido introducido por Yuan et al.<ref>{{Cite journal|last1=Yuan|first1=Xin|last2=Hu|first2=Yanqing|last3=Stanley|first3=H. Eugene|last4=Havlin|first4=Shlomo|date=2017-03-28|title=Eradicating catastrophic collapse in interdependent networks via reinforced nodes|journal= Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=114|issue=13|pages=3311–3315|doi=10.1073/pnas.1621369114|issn=0027-8424|pmid=28289204|pmc=5380073|arxiv=1605.04217|bibcode=2017PNAS..114.3311Y}}</ref>
<!-- LOTS of todo! Other models of percolation. references. Percolation on graphs.-->

==Aplicaciones==

===En biología, bioquímica y virología física===
La teoría de la percolación se ha utilizado para predecir con éxito la fragmentación de las capas de virus biológicos (cápsides),<ref name="Brunk Twarock p. ">{{cite journal | last1=Brunk | first1=Nicholas E. | last2=Twarock | first2=Reidun | title=Percolation Theory Reveals Biophysical Properties of Virus-like Particles | journal=ACS Nano | publisher=American Chemical Society (ACS) | date=2021 | volume=15 | issue=8 | pages=12988–12995 | issn=1936-0851 | doi=10.1021/acsnano.1c01882 | pmid=34296852 | pmc=8397427}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Brunk | first1 = N. E. | last2 = Lee | first2 = L. S. | last3 = Glazier | first3 = J. A. | last4 = Butske | first4 = W. | last5 = Zlotnick | first5 = A. | year = 2018 | title = Molecular Jenga: the percolation phase transition (collapse) in virus capsids | journal = Physical Biology | volume = 15 | issue = 5| page = 056005 | doi=10.1088/1478-3975/aac194| pmid = 29714713 | pmc = 6004236 | bibcode = 2018PhBio..15e6005B }}</ref> con el umbral de fragmentación de la [[cápside]] del virus de la [[hepatitis B]], predicho y detectado experimentalmente.<ref>{{cite journal | last1 = Lee | first1 = L. S. | last2 = Brunk | first2 = N. | last3 = Haywood | first3 = D. G. | last4 = Keifer | first4 = D. | last5 = Pierson | first5 = E. | last6 = Kondylis | first6 = P. | last7 = Zlotnick | first7 = A. | year = 2017 | title = A molecular breadboard: Removal and replacement of subunits in a hepatitis B virus capsid | journal = Protein Science | volume = 26 | issue = 11| pages = 2170–2180 | doi=10.1002/pro.3265| pmid = 28795465 | pmc = 5654856 }}</ref> Cuando un número crítico de subunidades se ha eliminado aleatoriamente de la capa nanoscópica, esta se fragmenta, fragmentación que a su vez puede detectarse mediante espectroscopía de masas con detección de carga (CDMS), entre otras técnicas de partícula única. Este es un análogo molecular del juego de mesa común llamado [[jenga]], y tiene relevancia para el estudio más amplio del desmontaje de virus. Curiosamente, las partículas virales más estables (teselaciones con mayores umbrales de fragmentación) se encuentran en mayor abundancia en la naturaleza.<ref name="Brunk Twarock p. "/>

===En ecología===
La teoría de la filtración se ha aplicado a estudios sobre cómo la fragmentación del medio ambiente afecta a los hábitats de los animales<ref>{{Cite journal|last1=Boswell|first1=G. P.|last2=Britton|first2=N. F.|last3=Franks|first3=N. R.|date=1998-10-22|title=Habitat fragmentation, percolation theory and the conservation of a keystone species|journal=Proceedings of the Royal Society of London B: Biological Sciences|language=en|volume=265|issue=1409|pages=1921–1925|doi=10.1098/rspb.1998.0521|issn=0962-8452|pmc=1689475}}</ref> y a los modelos de cómo se propaga la [[bacteria]] de la plaga ''[[yersinia pestis]]''.<ref>{{Cite journal|last1=Davis|first1=S.|last2=Trapman|first2=P.|last3=Leirs|first3=H.|last4=Begon|first4=M.|last5=Heesterbeek|first5=J. a. P.|date=2008-07-31|title=The abundance threshold for plague as a critical percolation phenomenon|journal=Nature|volume=454|issue=7204|pages=634–637|doi=10.1038/nature07053|issn=1476-4687|pmid=18668107|bibcode=2008Natur.454..634D|cita=hdl:1874/29683|s2cid=4425203}}</ref>

===Percolación de redes interdependientes multicapa===
Buldyrev y sus colaboradores<ref>{{cite journal |author=Buldyrev, S.V. |author2=Parshani, R. |author3=Paul, G. |author4=Stanley, H.E. |author5=Havlin, S. |title=Catastrophic cascade of failures in interdependent networks |journal=Nature |date=2010 |volume=464 |issue=8932|pages=1025–8 |doi=10.1038/nature08932 |pmid=20393559 |arxiv=0907.1182 |bibcode=2010Natur.464.1025B |s2cid=1836955 }}</ref> desarrollaron un marco para estudiar la percolación en redes multicapa con dependencia de enlaces entre las capas. Se han encontrado nuevos fenómenos físicos, incluidas transiciones abruptas y fallos en cascada.<ref>{{cite journal |author=Gao, J. |author2=Buldyrev, S.V. |author3=Stanley, H.E. |author4=Havlin, S. |title=Networks formed from interdependent networks |journal=Nature Physics |date=2012 |volume=8 |issue=1 |pages=40–48|doi=10.1038/nphys2180 |bibcode=2012NatPh...8...40G }}</ref> Cuando las redes están incrustadas en el espacio, se vuelven extremadamente vulnerables incluso
para una fracción muy pequeña de enlaces de dependencia<ref>{{cite journal |author=Bashan, A. |author2=Berezin, Y. |author3=Buldyrev, S.V. |author4=Havlin, S. |title=The extreme vulnerability of interdependent spatially embedded networks |journal=Nature Physics |date=2013 |volume=9 |issue=10 |pages=667|doi=10.1038/nphys2727 |arxiv=1206.2062 |bibcode=2013NatPh...9..667B |s2cid=12331944 }}</ref> y para ataques localizados en una fracción cero de
nodos.<ref>{{cite journal |author=Berezin, Y. |author2=Bashan, A. |author3=Danziger, M.M. |author4=Li, D. |author5=Havlin, S. |title=Localized attacks on spatially embedded networks with dependencies |journal=Scientific Reports |date=2015 |volume=5 |pages=8934|doi=10.1038/srep08934 |pmid=25757572 |pmc=4355725 |bibcode=2015NatSR...5E8934B }}</ref><ref>{{cite journal |author=D Vaknin |author2=MM Danziger |author3=S Havlin |title=Spreading of localized attacks in spatial multiplex networks |journal=New J. Phys. |date=2017 |volume=19 |issue=7 |pages=073037|doi=10.1088/1367-2630/aa7b09 |arxiv=1704.00267 |bibcode=2017NJPh...19g3037V |s2cid=9121930 }}</ref> Cuando se introduce la recuperación de nodos, se encuentra un diagrama de fases rico que incluye
puntos multicríticos, histéresis y regímenes metaestables.<ref>{{cite journal |author=Majdandzic, Antonio |author2=Podobnik, Boris |author3=Buldyrev, Sergey V. |author4=Kenett, Dror Y. |author5=Havlin, Shlomo |author6=Eugene Stanley, H. |title=Spontaneous recovery in dynamical networks |journal=Nature Physics |date=2013 |volume=10 |issue=1 |pages=34–38|doi=10.1038/nphys2819  }}</ref><ref>{{cite journal |author=Majdandzic, Antonio |author2=Braunstein, Lidia A. |author3=Curme, Chester |author4=Vodenska, Irena |author5=Levy-Carciente, Sary |author6=Eugene Stanley, H. |author7=Havlin, Shlomo |title=Multiple tipping points and optimal repairing in interacting networks |journal=Nature Communications |date=2016 |volume=7 |pages=10850|doi=10.1038/ncomms10850 |pmid=26926803 |pmc=4773515 |arxiv=1502.00244 |bibcode=2016NatCo...710850M }}</ref>

===En tráfico===
En artículos recientes, la teoría de la percolación se ha aplicado para estudiar el tráfico en una ciudad. La calidad del tráfico global en una ciudad en un momento dado se puede caracterizar por un solo parámetro, el umbral crítico de percolación, que representa la velocidad por debajo de la cual se puede circular en una gran parte de la red viaria de una ciudad. Por encima de este umbral, la red de la ciudad se divide en grupos de muchos tamaños y se puede viajar dentro de vecindarios relativamente pequeños. Este método novedoso también puede identificar cuellos de botella de tráfico repetitivos.<ref>{{cite journal |author1=D. Li |author2=B. Fu |author3=Y. Wang |author4=G. Lu |author5=Y. Berezin |author6=H.E. Stanley |author7=S. Havlin |title=Percolation transition in dynamical traffic network with evolving critical bottlenecks |journal= Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|date=2015 |volume=112 |issue=3 |pages=669–72|doi=10.1073/pnas.1419185112 |pmid=25552558 |pmc=4311803 |bibcode=2015PNAS..112..669L  }}</ref> Los exponentes críticos que caracterizan la distribución del tamaño de los conglomerados del tráfico en buenas condiciones son similares a los de la teoría de la percolación.<ref>{{cite journal |author1=G Zeng |author2= D Li |author3=S Guo |author4=L Gao |author5=Z Gao |author6=HE Stanley |author7=S Havlin |title=Switch between critical percolation modes in city traffic dynamics |journal= |date=2019 |volume=116 |issue=1 |pages=23–28}}</ref> También se encontró que durante las horas pico la red de tráfico puede tener varios estados metaestables de diferentes tamaños de red y alternar entre estos estados.<ref>{{cite journal |author1=G Zeng |author2=J Gao |author3=L Shekhtman|author4=S Guo |author5=W Lv |author6=J Wu |author7=H Liu |author8=O Levy |author9= D Li |title=Multiple metastable network states in urban traffic |journal= Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|date=2020 |volume=117 |issue=30 |pages=17528–17534|doi=10.1073/pnas.1907493117 |pmid=32661171 |pmc=7395445 }}</ref> Zhang et al.<ref>{{cite journal |author=Limiao Zhang |author2=Guanwen Zeng |author3=Daqing Li |author4=Hai-Jun Huang |author5=H Eugene Stanley |author6=Shlomo Havlin |title=Scale-free resilience of real traffic jams |journal= Proceedings of the National Academy of Sciences|date=2019 |volume=116 |issue=18 |pages=8673–8678|doi=10.1073/pnas.1814982116 |pmid=30979803 |pmc=6500150 |arxiv=1804.11047 |bibcode=2019PNAS..116.8673Z |s2cid=111390178  }}</ref> Se encontró una ley de potencia universal aproximada para la distribución del tamaño de los atascos en diferentes ciudades. Serok et al. desarrollaron un método para identificar grupos funcionales de calles espacio-temporales que representan un flujo de tráfico fluido en una ciudad.<ref>{{cite journal |author=Nimrod Serok |author2=Orr Levy |author3=Shlomo Havlin |author4=Efrat Blumenfeld-Lieberthal |title=Unveiling the inter-relations between the urban streets network and its dynamic traffic flows: Planning implication |journal= Environment and Planning B: Urban Analytics and City Science|date=2019 |volume=46 |issue=7 |pages=1362–1376 |doi=10.1177/2399808319837982|s2cid=202355697 }}</ref>

==Véase también==
{{lista de columnas|3|
* [[Teoría de la percolación continua]]
* [[Exponente crítico]]
* [[Percolación dirigida]]
* [[Modelo de Erdos-Rényi]]
* [[Fractal]]
* [[Componente gigante]]
* [[Teoría de grafos]]
* [[Redes interdependientes]]
* [[Percolación de invasión]]
* [[Análisis de redes]]
* [[Ciencia de redes]]
* [[Umbral de filtración]]
* [[Exponentes críticos de filtración]]
* [[Red libre de escala]]
* [[Problema del camino más corto]]
}}

==Referencias==
{{listaref|2}}

==Bibliografía==
* {{Citation |last1=Aizenman |first1=Michael |author-link1=Michael Aizenman |last2=Barsky |first2=David |year=1987 |title=Sharpness of the phase transition in percolation models |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=108 |issue=3 |pages=489–526 |doi=10.1007/BF01212322|bibcode = 1987CMaPh.108..489A |s2cid=35592821|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104116538 }}
* {{Citation |last1=Menshikov |first1=Mikhail |author-link1=Mikhail Vasiliyevich Menshikov |title=Coincidence of critical points in percolation problems |journal=Soviet Mathematics - Doklady |volume=33 |year=1986 |pages=856–859}}

==Lecturas relacionadas==
* {{cite web |last1=Austin |first1=David |title=Percolation: Slipping through the Cracks |publisher=American Mathematical Society |date=July 2008 |url=https://www.ams.org/featurecolumn/archive/percolation.html}}
* {{cite book |url=http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=0521872324 |title=Percolation |first1=Béla |last1=Bollobás |author-link1=Béla Bollobás |first2=Oliver |last2=Riordan |publisher=Cambridge University Press |year= 2006 |isbn=978-0521872324}}
* {{cite journal |last1=Kesten |first1=Harry |title=What Is ... Percolation? |journal=Notices of the American Mathematical Society |volume=53 |issue=5 |pages=572–573 |date=May 2006 |url=https://www.ams.org/notices/200605/what-is-kesten.pdf |issn=1088-9477}}

==Enlaces externos==
* [http://danlarremore.com/PercoVIS.html PercoVIS: un programa {{nowrap|Mac OS X}} para visualizar la percolación en las redes en tiempo real]
* [http://ibiblio.org/e-notes/Perc/contents.htm Percolación interactiva]
* [http://nanohub.org/resources/5660 Curso en línea de Nanohub sobre '' Teoría de la percolación '']
* [http://havlin.biu.ac.il/course3.php Introducción a la teoría de la percolación: curso corto de Shlomo Havlin] {{Wayback|url=http://havlin.biu.ac.il/course3.php |date=20171213090033 }}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de la percolación| ]]