Diferencia entre revisiones de «Variedad de Kähler»

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En matemáticas, una variedad de Kähler es una variedad con estructura unitaria a ( $U(n)$ -estructura) que satisface una condición de integración. En particular, es una variedad compleja, una variedad de Riemann, y una variedad simpléctica, con estas tres estructuras compatibles entre sí.

Esta estructura triple corresponde a la presentación del grupo unitario como una intersección:

$U(n)=O(2n)\cap GL(n,\mathbf {C} )\cap Sp(2n)$

Sin ninguna condición de integración, la noción análoga es una variedad hermítica parcial. Si la estructura-Sp es integrable (sin que la estructura compleja lo sea), la noción es una variedad de Kähler parcial; si la estructura compleja es integrable (sin que la estructura-Sp lo sea), la noción es una variedad hermítica.

Las variedades de Kähler (en inglés "Kähler manifolds") fueron llamadas así en honor al matemático Erich Kähler y son importantes en la geometría algebraica: ellas son una generalización de la geometría diferencial de variedades algebraicas complejas.

Definición

Las variedades de Kähler pueden ser caracterizados en muchas maneras: Usualmente se definen como una variedad compleja con una estructura adicional (o una variedad simpléctica con una estructura adicional, o una variedad de Riemann con una estructura adicional).

Uno puede resumir la conexión entre las tres estructuras vía $h=g+i\omega$ , donde h es la forma hermítica, $g$ es la métrica de Riemann, $i$ es la estructura compleja parcial, y $\omega$ la estructura simpléctica parcial.

La métrica de Kähler en una variedad compleja M es una métrica hermítica en el fibrado tangente complexificado $TM\otimes \mathbb {C}$ que satisface la condición de tener varias caracterizaciones equivalentes (siendo la más geométrica el transporte paralelo inducido por la métrica que da lugar a funciones complejo-lineales en los espacios tangentes). En términos de coordenadas locales se especifica de este modo: si.

$h=\sum h_{i{\bar {j}}}\;dz^{i}\otimes d{\bar {z}}^{j}$

es métrica hermítica, entonces la forma de Kähler asociada (definida salvo un factor de $i/2$ ) por

$\omega =\sum h_{i{\bar {j}}}\;dz^{i}\wedge d{\bar {z}}^{j}$

es cerrada: es decir, $d\omega =0$ . Si $M$ lleva tal métrica se llama una variedad de Kähler.

La métrica en la variedad de Kähler satisface localmente

g_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}K}{\partial z^{i}\partial {\bar {z}}^{j}}}

para alguna función $K$ , llamado "el potencial de Kähler".

Una variedad de Kähler, la forma asociada de la métrica de Kähler es llamada Kähler-Einstein (o algunas veces Einstein-Kähler) si su tensor de curvatura Ricci es proporcional al tensor métrico, $R=\lambda g$ , por alguna constante $\lambda$ . Este nombre es un recordatorio de las consideraciones de Einstein sobre la constante cosmológica. Ver el artículo variedad de Einstein para más detalles.

Ejemplos

El espacio euclidiano complejo $\mathbb {C} ^{n}$ con la métrica hermítica estándar es una variedad de Kähler.

Un toro complejo, dado por $\mathbb {C} ^{n}/\Lambda$ para una cierta red $\Lambda$ , forma una variedad compacta de Kähler con la métrica natural.

Cada superficie de Riemann es una variedad de Kähler, puesto que la condición para que $\omega$ sea cerrado es trivial en 2 dimensiones (reales).

El espacio proyectivo complejo $\mathbb {C} P^{n}$ tiene una métrica de Kähler natural llamada métrica de Fubini-Study. Esencialmente está determinada por la condición que sea invariante bajo la acción del grupo unitario (de una dimensión más grande, actuando en el espacio vectorial complejo que da lugar al espacio proyectivo).

Cualquier subvariedad compleja de una variedad de Kähler es Kähler. En particular, cualquier variedad compleja que se pueda encajar en $\mathbb {C} ^{n}$ o $\mathbb {C} P^{n}$ es Kähler.

Las propiedades de la restricción de la métrica de Fubini-Study significa que las variedades algebraicas complejas proyectivas no singulares llevan métricas de Kähler. Esto es fundamental en su teoría analítica.

Una subclase importante de las variedades de Kähler son las variedades de Calabi-Yau.

Véase también

Referencias

André Weil, Introduction à l'étude des variétés kählériennes (1958)
Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.

Datos: Q1353916

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-En [[matemáticas]], una '''variedad de Kähler''' o '''Kähler manifold''' es una [[Variedad]] con estructura unitaria a ([[estructura-G|<math>U(n)</math>-estructura]]) que satisface una [[condición de integración]].
+En [[matemáticas]], una '''variedad de Kähler''' es una [[variedad (matemática)|variedad]] con estructura unitaria a ([[estructura-G|<math>U(n)</math>-estructura]]) que satisface una [[condición de integración]]. En particular, es una [[variedad compleja]], una [[variedad de Riemann]], y una [[variedad simpléctica]], con estas tres estructuras compatibles entre sí.
-En particular, es una [[variedad compleja]], una [[variedad Riemann]], y una [[variedad Simpléctica]], con estas tres estructuras compatibles entre si.
-Esta estructura triple corresponde a la [[Presentación del grupo unitario como una intersección]]:
-:<math>U(n) = O(2n) \cap GL(n,\mathbf{C}) \cap Sp(2n)</math>
+Esta estructura triple corresponde a la [[presentación del grupo unitario como una intersección]]:
+{{ecuación|
+<math>U(n) = O(2n) \cap GL(n,\mathbf{C}) \cap Sp(2n)</math>
+||left}}
 Sin ninguna condición de integración, la noción análoga es una [[variedad hermítica parcial]]. Si la estructura-Sp es integrable (sin que la estructura compleja lo sea), la noción es una [[variedad de Kähler parcial]]; si la estructura compleja es integrable (sin que la estructura-Sp lo sea), la noción es una [[variedad hermítica]].
-Las variedades de Kähler ("Kähler manifolds" en ingles) fueron llamados así en honor al matemático [[Erich Kähler]] y son importantes en la [[Geometría algebraica]]: ellos son una generalización de la [[Geometría diferencial]] de variedades algebraicas complejas.
+Las variedades de Kähler (en inglés "Kähler manifolds") fueron llamadas así en honor al [[matemático]] [[Erich Kähler]] y son importantes en la [[geometría algebraica]]: ellas son una generalización de la [[geometría diferencial]] de variedades algebraicas complejas.
 == Definición ==
+Las variedades de Kähler pueden ser caracterizados en muchas maneras: Usualmente se definen como una variedad compleja con una estructura adicional (o una variedad simpléctica con una estructura adicional, o una variedad de Riemann con una estructura adicional).
+Uno puede resumir la conexión entre las tres estructuras vía <math>h=g + i\omega</math>, donde ''h'' es la forma hermítica, <math>g</math> es la [[métrica de Riemann]], <math>i</math> es la [[estructura compleja parcial]], y <math>\omega</math> la [[estructura simpléctica parcial]].
-Las variedades de Kähler pueden ser caracterizados en muchas maneras: ellas son usualmente definidas como una variación compleja con una estructura adicional (o una variedad Simpléctica con una estructura adicional, o una variedad Riemann con una estructura adicional).
+La '''métrica de Kähler ''' en una variedad compleja ''M'' es una [[métrica hermítica]] en el [[fibrado tangente]] [[complexificado]] <math> TM \otimes \Complex </math> que satisface la condición de tener varias caracterizaciones equivalentes (siendo la más geométrica el [[transporte paralelo]] inducido por la métrica que da lugar a funciones complejo-lineales en los espacios tangentes). En términos de coordenadas locales se especifica de este modo: si.
-Uno puede resumir la conexión entre las tres estructuras vía <math>h=g + i\omega</math>, donde ''h'' es la forma hermítica, ''g'' es la [[métrica Riemann]], ''i'' es la [[estructura compleja parcial]], y <math>\omega</math> la [[estructura simpléctica parcial]].
+{{ecuación|
+<math>h = \sum h_{i\bar j}\; dz^i \otimes d \bar z^j</math>
-La '''métrica de Kähler ''' en una variedad compleja ''M'' es una [[métrica hermítica]] en el [[fibrado tangente]] [[complexificado]] <math> TM \otimes \mathbb{C} </math> que satisface la condición de tener varias caracterizaciones equivalentes (siendo la mas geométrica el [[transporte paralelo]] inducido por la métrica que da lugar a funciones complejo-lineales en los espacios tangentes). En términos de coordenadas locales se especifica de este modo: si.
+||left}}
-:<math>h = \sum h_{i\bar j}\; dz^i \otimes d \bar z^j</math>
-es métrica hermítica, entonces la forma de Kähler asociada (definida salvo un factor de i / 2) por
+es métrica hermítica, entonces la forma de Kähler asociada (definida salvo un factor de <math>i / 2</math>) por
+{{ecuación|
-:<math>\omega = \sum h_{i\bar j}\; dz^i \wedge d \bar z^j </math>
+<math>\omega = \sum h_{i\bar j}\; dz^i \wedge d \bar z^j </math>
-es cerrada: es decir, dω = 0. Si M lleva tal métrica se llama una variedad de Kähler.
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+es cerrada: es decir, <math>d\omega = 0</math>. Si <math>M</math> lleva tal métrica se llama una variedad de Kähler.
 La métrica en la variedad de Kähler satisface localmente
 :<math>g_{i\bar{j}} = \frac{\partial^2 K}{\partial z^i \partial \bar{z}^{j}}</math>
-para alguna función ''K'', llamado "el potencial Kähler".
+para alguna función <math>K</math>, llamado "el potencial de Kähler".
-Una variedad de Kähler, la forma asociada de la metrica de Kähler es llamada '''Kähler-Einstein''' (o algunas veces Einstein-Kähler) si su [[tensor de curvatura Ricci]] es proporcional a la métrica del tensor, <math>R = \lambda g</math>, por alguna constante λ. Este nombre es un recordatorio de las consideraciones de [[Einstein]] sobre la [[constante cosmológica]]. Ver el articulo [[variedad de Einstein]] para mas detalles.
+Una variedad de Kähler, la forma asociada de la métrica de Kähler es llamada '''Kähler-Einstein''' (o algunas veces Einstein-Kähler) si su [[tensor de Ricci|tensor de curvatura Ricci]] es proporcional al tensor métrico, <math>R = \lambda g</math>, por alguna constante <math>\lambda</math>. Este nombre es un recordatorio de las consideraciones de [[Albert Einstein|Einstein]] sobre la [[constante cosmológica]]. Ver el artículo [[variedad de Einstein]] para más detalles.
 == Ejemplos ==
-*El espacio [[euclidiano complejo]] <math>\mathbb{C}^n</math> con la métrica hermítica estándar es una variedad de Kähler.
+* El espacio [[euclidiano complejo]] <math>\mathbb{C}^n</math> con la métrica hermítica estándar es una variedad de Kähler.
-*Un toro complejo, dado por <math> \mathbb{C}^n/\Lambda </math> para una cierta red <math>\Lambda</math>, forma una [[variedad]] compacta de Kähler con la métrica natural.
+* Un toro complejo, dado por <math> \mathbb{C}^n/\Lambda </math> para una cierta red <math>\Lambda</math>, forma una [[variedad]] compacta de Kähler con la métrica natural.
-*Cada [[superficie de Riemann]] es una variedad de Kähler, puesto que la condición para que <math>\omega</math> sea cerrado es trivial en 2 dimensiones (reales).
+* Cada [[superficie de Riemann]] es una variedad de Kähler, puesto que la condición para que <math>\omega</math> sea cerrado es trivial en 2 dimensiones (reales).
-*[[El espacio proyectivo complejo]] <math>\mathbb{C}P^n</math> tiene un métrica de Kähler natural llamada [[métrica de Fubini-Study]]. Esencialmente está determinada por la condición que sea invariante bajo la acción del [[grupo unitario]] (de una dimensión más grande, actuando en el espacio vectorial complejo que da lugar al espacio proyectivo).
+* El [[espacio proyectivo complejo]] <math>\mathbb{C}P^n</math> tiene una métrica de Kähler natural llamada [[métrica de Fubini-Study]]. Esencialmente está determinada por la condición que sea invariante bajo la acción del [[grupo unitario]] (de una dimensión más grande, actuando en el espacio vectorial complejo que da lugar al espacio proyectivo).
-*Cualquier [[subvariedad compleja]] de una variedad de Kähler es Kähler. En particular, cualquier variedad compleja que se pueda encajar en <math>\mathbb{C}^n</math> o <math>\mathbb{C}P^n</math> es Kähler.
+* Cualquier [[subvariedad compleja]] de una variedad de Kähler es Kähler. En particular, cualquier variedad compleja que se pueda encajar en <math>\mathbb{C}^n</math> o <math>\mathbb{C}P^n</math> es Kähler.
-*Las propiedades de la restricción de la métrica de Fubini-Study significa que las [[variedad algebraica|variedades algebraicas]] complejas proyectivas no singulares llevan métricas de Kähler. Esto es fundamental en su teoría analítica.
+* Las propiedades de la restricción de la métrica de Fubini-Study significa que las [[variedad algebraica|variedades algebraicas]] complejas proyectivas no singulares llevan métricas de Kähler. Esto es fundamental en su teoría analítica.
 Una subclase importante de las variedades de Kähler son las [[variedad de Calabi-Yau|variedades de Calabi-Yau]].
 == Véase también ==
-*[[variedad compleja parcial]]
+* [[variedad casi compleja]]
-*[[variedad compleja]]
+* [[variedad compleja]]
-*[[variedad Hermítica]]
+* [[variedad hermítica]]
-*[[variedad hyper-Kähler]]
+* [[variedad hiperkähleriana]]
-*[[variedad Quaternion-Kähler]]
+* [[variedad de Kähler cuaterniónica]]
-*[[variedad compleja Poisson]]
+* [[variedad compleja Poisson]]
 == Referencias ==
+{{listaref}}
-<references/>
+* [[André Weil]], ''Introduction à l'étude des variétés kählériennes'' (1958)
-*Articulo "Kähler manifold" de la [[Wikipedia en ingles]]
+* Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. ''Infinite Dimensional Kähler Manifolds'' (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
-*[[André Weil]], ''Introduction à l'étude des variétés kählériennes'' (1958)
+* Andrei Moroianu, ''Lectures on Kähler Geometry'' (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.
-*Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. ''Infinite Dimensional Kähler Manifolds'' (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
-*Andrei Moroianu, ''Lectures on Kähler Geometry'' (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.
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-[[de:Kählermannigfaltigkeit]]
-[[en:Kähler manifold]]
-[[fr:Variété kählérienne]]
-[[ru:Кэлерова метрика]]