Diferencia entre revisiones de «Función multivaluada»

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En matemáticas, una función multivaluada entre $X$ e $Y$ es un subconjunto del producto cartesiano $X \times Y$ de manera que a un elemento de $X$ le pueden corresponder uno o más elementos de $Y$ , en contradicción con la definición de función. Tomamos la definición del término correspondencia de la versión inglesa de este artículo.

La función multivaluada tendrá un dominio sobre el que será total a izquierdas y un codominio o rango o imagen sobre el que será total a derechas.

El concepto de "función multivaluada" se puede evitar teniendo en cuenta que una función multivaluada entre $X$ e $Y$ se puede considerar como una función entre $X$ y ${\mathcal {P}}(Y)$ ya que los elementos de ${\mathcal {P}}(Y)$ son todos los subconjuntos de $Y$ , aunque esta consideración desvirtúa los conceptos.

Obsérvese que una función multivaluada no es una función, sin embargo, una función sí es una función multivaluada.

El origen de la confusión

Con la aparición de la Teoría axiomática de conjuntos se introduce el término "aplicación matemática" entre dos conjuntos X e Y, exigiendo que una aplicación sea de "muchos a uno" o de "uno a uno", respectivamente aplicaciones sobreyectivas e inyectivas y biyectivas. Posteriormente se confunden los términos función, tradicional en Matemáticas y aplicación conjuntista. Véase, por ejemplo, Bourbaki.

La idea de función, por cierto función multivaluada, se suele atribuir a Leibniz en el sentido de variable dependiente e independiente, sin embargo la idea actual de función pretende relacionar pares ordenados o n-uplas ordenadas de dos o n conjuntos de manera que un conjunto no dependa de otro. Sería más correcto decir que Leibniz introduce el concepto de "dependencia funcional" y más concretamente "dependencia funcional analítica" y considerar que el concepto actual de función o mapeo se corresponde con la idea del producto cartesiano como conjunto de pares ordenados, extensible a n-uplas ordenadas de elementos de n conjuntos.

Ejemplos de funciones multivaluadas

- La raíz cuadrada y en general las raíces de índice par de los números reales tienen dos valores, positivo y negativo, de manera que la raíz cuadrada y las de índice par no son funciones, sino que son funciones multivaluadas.^{[cita requerida]}

- Las funciones multivaluadas trigonométricas inversas, arcoseno, arcocoseno, arco tangente, etc. que a cada valor le hacen corresponder infinitos valores y no son por tanto verdaderas funciones. Este caso se extiende a todas las funciones periódicas. En cualquier libro se puede ver que el título de la sección o epígrafe o capítulo se suele denominar «Funciones trigonométricas inversas» cuando realmente no son funciones. Bourbaki no menciona ninguna de estas funciones multivaluadas en ninguno de sus libros publicados hasta la fecha.

- En el plano cartesiano todas las rectas son funciones excepto el eje de ordenadas y todas las rectas de la forma x=a, siendo a un número real. En este caso a cada valor de x le corresponden infinitos valores de y.

- Las cónicas y todas las curvas tales que su intersección con una recta de la forma x=a sea de dos o más puntos.

- El logaritmo de un número complejo, que tiene infinitos valores periódicos.

- La raíz n-ésima de un número complejo que tiene n valores distintos no periódicos.

- La integral indefinida de una función que tiene tantas primitivas como valores pueda tomar la constante de integración, ya que la derivada de una constante es cero. Este caso es verdaderamente notable ya que negar que esto es una función equivale a negar el teorema fundamental del cálculo en su forma original y además la extensión al conjunto de partes desvirtúa dicho teorema.

Véase también

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Multivalued Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
F.-C. Mitroi, K. Nikodem, S. Wąsowicz, Hermite-Hadamard inequalities for convex set-valued functions, Demonstratio Mathematica, Vol. 46, Issue 4(2013), pp.655-662.

Datos: Q629085

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+[[Archivo:Multivalued function.svg|derecha|Este diagrama no representa una "auténtica" [[función (matemáticas)|función]], porque el elemento 3 de ''X'' se asocia con un subconjunto de ''Y'' formado por dos elementos, ''b'' y ''c''.]]
-{{traducción|catalán|Funció multivaluada|es}}
-{{traducción|english|Multivalued function|es}}
-{{traducción|français|Fonction multivaluée|es}}
+En [[matemáticas]], una '''función multivaluada''' entre {{math|'''X''' |}} e {{math|'''Y'''|}} es un [[subconjunto]] del [[producto cartesiano]] {{math|'''X'' × ''Y'''}} de manera que a un elemento de {{math|'''X''' |}} le pueden corresponder uno o más elementos de {{math|'''Y''' |}}, en contradicción con la definición de [[función (matemáticas)|función]]. Tomamos la definición del término ''' [[Correspondencia matemática|correspondencia]]''' de la versión inglesa de este artículo.
-[[File:Multivalued function.svg|frame|right|Este diagrama no representa una "auténtica" [[función (matemáticas)|función]], porque el elemento 3 de ''X'' se asocia con un subconjunto de ''Y'' formado por dos elementos, ''b'' y ''c''.]]
+La función multivaluada tendrá un dominio sobre el que será total a izquierdas y un [[codominio]] o rango o imagen sobre el que será total a derechas.
-En [[matemáticas]], una '''función multivaluada''' es una [[relación total]] en la que a cada valor de la variable independiente se le asocia uno o más valores de la variable dependiente, contradiciendo la definición de [[función (matemáticas)|función]]
-El concepto de "función multivaluada" puede crear una cierta confusión, en cualquier caso, una función multivaluada entre ''X'' y ''Y'' se puede representar como una función entre ''X'' y ''P(Y)'' ya que los elementos de ''P(Y)'' son todos los subconjuntos de ''Y''.
+El concepto de "función multivaluada" se puede evitar teniendo en cuenta que una función multivaluada entre <math>X</math> e <math>Y</math> se puede considerar como una [[función (matemáticas)|función]] entre <math>X</math> y <math>\mathcal{P}(Y)</math> ya que los elementos de <math>\mathcal{P}(Y)</math> son todos los subconjuntos de <math>Y</math>, aunque esta consideración desvirtúa los conceptos.
+Obsérvese que una función multivaluada no es una [[función (matemáticas)|función]], sin embargo, una [[función (matemáticas)|función]] sí es una función multivaluada.
+== El origen de la confusión ==
+Con la aparición de la Teoría axiomática de conjuntos se introduce el término "aplicación matemática" entre dos conjuntos X e Y, exigiendo que una aplicación sea de "muchos a uno" o de "uno a uno", respectivamente aplicaciones sobreyectivas e inyectivas y biyectivas. Posteriormente se confunden los términos función, tradicional en Matemáticas y aplicación conjuntista. Véase, por ejemplo, Bourbaki.
+La idea de función, por cierto función multivaluada, se suele atribuir a [[Leibniz]] en el sentido de variable dependiente e independiente, sin embargo la idea actual de función pretende relacionar [[Par ordenado|pares ordenados]] o n-uplas ordenadas de dos o n conjuntos de manera que un conjunto no dependa de otro. Sería más correcto decir que [[Leibniz]] introduce el concepto de "[[dependencia funcional]]" y más concretamente "dependencia funcional analítica" y considerar que el concepto actual de función o mapeo se corresponde con la idea del producto cartesiano como conjunto de pares ordenados, extensible a n-uplas ordenadas de elementos de n conjuntos.
+== Ejemplos de funciones multivaluadas ==
+- La [[raíz cuadrada]] y en general las raíces de índice par de los números reales tienen dos valores, positivo y negativo, de manera que la raíz cuadrada y las de índice par no son funciones, sino que son funciones multivaluadas.{{cr}}
+- Las funciones multivaluadas [[función trigonométrica inversa|trigonométricas inversas]], [[arcoseno]], [[arcocoseno]], arco tangente, etc. que a cada valor le hacen corresponder infinitos valores y no son por tanto verdaderas funciones. Este caso se extiende a todas las [[Función periódica|funciones periódicas]]. En cualquier libro se puede ver que el título de la sección o epígrafe o capítulo se suele denominar «Funciones trigonométricas inversas» cuando realmente no son funciones. [[Bourbaki]] no menciona ninguna de estas funciones multivaluadas en ninguno de sus libros publicados hasta la fecha.
+- En el [[plano cartesiano]] todas las rectas son funciones excepto el eje de ordenadas y todas las rectas de la forma ''x''=''a'', siendo a un [[número real]]. En este caso a cada valor de ''x'' le corresponden infinitos valores de ''y''.
+- Las [[cónicas]] y todas las curvas tales que su intersección con una recta de la forma ''x''=''a'' sea de dos o más puntos.
+- El [[logaritmo complejo|logaritmo de un número complejo]], que tiene infinitos valores periódicos.
+- La [[raíz n-ésima]] de un [[número complejo]] que tiene ''n'' valores distintos no periódicos.
+- La [[integral indefinida]] de una función que tiene tantas primitivas como valores pueda tomar la [[constante de integración]], ya que la [[derivada]] de una constante es cero. Este caso es verdaderamente notable ya que negar que esto es una función equivale a negar el [[teorema fundamental del cálculo]] en su forma original y además la extensión al [[Conjunto potencia|conjunto de partes]] desvirtúa dicho teorema.
+== Véase también ==
+*[[Correspondencia matemática]]
+*[[Función parcial]]
+== Enlaces externos ==
+*{{MathWorld|MultivaluedFunction|Multivalued Function}}
+*F.-C. Mitroi, K. Nikodem, S. Wąsowicz, Hermite-Hadamard inequalities for convex set-valued functions, Demonstratio [[Mathematica]], Vol. 46, Issue 4(2013), pp.655-662.
+{{Control de autoridades}}
+[[Categoría:Funciones]]