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El teorema de Bezout, atribuido a Étienne Bézout^[1]^[2] afirma que dos curvas algebraicas proyectivas planas $C,D$ de grados m y n, definidas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $k$ y sin componente irreductible común, tienen exactamente mn puntos de intersección contados con su multiplicidad.

La forma débil del teorema dice que el número de intersecciones (sin tener en cuenta las multiplicidades) está acotado por $mn$ . Es decir, si $F,G$ son dos polinomios homogéneos con coeficientes en $k$ (con $C=V_{+}(F)$ y $D=V_{+}(G)$ ^[3]) de grados respectivos $m,n$ y sin ningún factor común, entonces el sistema

F(x,y,z)=0,\ G(x,y,z)=0

admite a lo más $mn$ soluciones en el plano proyectivo $P^{2}(k)$ .

Historia

El principio de que una curva con grado n se interseca con una de grado m en nm puntos fue supuesto verdadera por varios matemáticos. El primero en haberlo enunciado parece haber sido Isaac Newton en 1665 en The geometrical construction of equations.^[4]

En la geometría de Descartes, el cálculo de la tangente de una curva o, equivalentemente, de la recta normal en un punto, se hace mediante la búsqueda de la circunferencia osculatriz en ese punto. El método descrito por Descartes consiste en escribir la ecuación de los círculos que pasan por el punto de la curva y en buscar el de los círculos que no tienen más que un punto de intersección único con la curva.^[5]

Desde el comienzo del siglo XVIII, la investigación del número de puntos de intersección de dos curvas planas de ecuaciones cartesianas implícitas $P(x,y)=0$ , $Q(x,y)=0$ donde P, Q son dos polinomios de grados respectivos m, n se hace por el método de eliminación de una de las dos variables.

Desde 1720 Maclaurin conjeturó^[6] que «en général, le nombre de points d'intersection est égal à $m\times n$ ». Léonard Euler examinó la cuestión en algunos casos particulares, pero no consiguió hacer entrar el caso de raíces múltiples en una demostración general.^[6] Étienne Bézout fue el primero en demostrar (1764) el enunciado en el cao donde sólo hay raíces simples.^[1]

Los matemáticos que fracasaron fue por el problema de no encontrar un método para contar "puntos en el infinito"^[7] (recuérdese que el teorema es válido en el plano proyectivo, no en el plano euclídeo).

Un correcto enunciado del teorema de Bezout, con una prueba rigurosa, no se halla hasta pasado la mitad del siglo XIX. Aparentemente, el primero que encontró una buena manera de contar raíces con multiplicidades fue Halphen en 1873.^[8]

Enunciado

Si C y D son curvas algebraicas y $P\in C\cap D$ , el número de intersección entre C y D en P es intuitivamente la cantidad de derivadas en las que coinciden ambas curvas en ese punto. Por ejemplo, si las tangentes de C y D en P no coinciden entonces $I_{P}(C,D)=1$ , si las tangentes coinciden entonces $I_{P}(C,D)\geq 2$ .

Decimos que dos curvas C y D no tienen factores en común si el máximo común divisor entre los polinomios que definen a las curvas es 1.

Teorema: Si C y D son curvas de grado m y n sin factores en común entonces  $\sum _{P\in C\cap D}I_{P}(C,D)=m\cdot n.$

Los puntos de la intersección son en el plano proyectivo.

Notas

↑ ^a ^b Cf. Bézout, Étienne (1764). «Mémoire sur plusieurs classes d’équations de tous les degrés qui admettent une solution algébrique». Histoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. .
↑ La primera prueba correcta parece ser la de Georges-Henri Halphen, en los años 1870: Bix, Robert (1998). Conics and Cubics (en inglés). Springer. p. 230. ISBN 978-0-387-98401-8.
↑ Para Fpolinomio homogéneo en X, Y, Z, se anota V+(F) el conjunto proyectivo de los puntos donde F se cancela. Para F polinomio en X, Y, se anota V(F) al conjunto afin de puntos donde F se cancela.
↑ Stillwel, 2010, «Analytic geometry», p. 119.
↑ Cf. La Géométrie (Descartes), livre II : « Façon generale pour trouver des lignes droites qui couppent les courbes donnees, ou leurs contingentes, à angles droits. »
↑ ^a ^b Según Dieudonné (dir.), chap. IV « Géométrie analytique et analyse géométrique », p. 78-79}}.
↑ Stillwel, 2010, «Analytic geometry», pp. 119-120.
↑ Stillwel, 2010, «Projective geometry», p. 148.

Referencias

Stillwell, John (2010). Mathematics and his history (3 edición). Springer. |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)

Datos: Q1542114

[Acad._Sc.-1] Cf. Bézout, Étienne (1764). «Mémoire sur plusieurs classes d’équations de tous les degrés qui admettent une solution algébrique». Histoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. .

[2] La primera prueba correcta parece ser la de Georges-Henri Halphen, en los años 1870: Bix, Robert (1998). Conics and Cubics (en inglés). Springer. p. 230. ISBN 978-0-387-98401-8.

[notation-3] Para Fpolinomio homogéneo en X, Y, Z, se anota V+(F) el conjunto proyectivo de los puntos donde F se cancela. Para F polinomio en X, Y, se anota V(F) al conjunto afin de puntos donde F se cancela.

[FOOTNOTEStillwel2010Analytic_geometry119-4] Stillwel, 2010, «Analytic geometry», p. 119.

[Descartes-5] Cf. La Géométrie (Descartes), livre II : « Façon generale pour trouver des lignes droites qui couppent les courbes donnees, ou leurs contingentes, à angles droits. »

[Donadiou-6] Según Dieudonné (dir.), chap. IV « Géométrie analytique et analyse géométrique », p. 78-79}}.

[FOOTNOTEStillwel2010Analytic_geometry119-120-7] Stillwel, 2010, «Analytic geometry», pp. 119-120.

[FOOTNOTEStillwel2010Projective_geometry148-8] Stillwel, 2010, «Projective geometry», p. 148.

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+[[File:Multiplicite Intersection.svg|thumb|250px|right|Número de puntos de intersección entre dos curvas algebraicas proyectivas, el  [[quadrifolium]] (azul) de la ecuación <math>(x^2+y^2)^3-4x^2y^2z^2=0</math> de grado 6, y el [[trifolium]] (en rojo) de ecuación<math>(x^2+y^2)^2+(3x^2y-y^3)z=0</math> de grado 4. Hay 24 puntos de intersección, a saber: una intersección en (0,0,1) (en el centro de la figura) de multiplicidad 14, otras cuatro intersecciones visibles en la figura en puntos simples, pero también hay dos puntos de intersección triples en el infinito en coordenadas complejas,  (1, ''i'', 0) y (1, -''i'',0).]]
-El '''teorema de Bezout''' es un resultado fundamental en el área de la [[geometría algebraica]]. Indica el número de intersecciones que hay entre dos [[curva algebraica|curvas algebraicas]].
+El '''teorema de Bezout''', atribuido a [[Étienne Bézout]]<ref name="Acad. Sc."/><ref>La primera prueba correcta parece ser la de [[Georges Henri Halphen|Georges-Henri Halphen]], en los años 1870: {{cita libro|idioma=en|nombre=Robert|apellido=Bix|título=Conics and Cubics|editorial=Springer|año=1998|isbn=978-0-387-98401-8|página=[http://books.google.fr/books?id=kshDE86Co_YC&pg=PA230 230]}}</ref> afirma que dos [[curva algebraica|curvas algebraicas]] [[Geometría proyectiva|proyectivas]] planas <math>C, D</math> de grados  ''m'' y ''n'',  definidas sobre un [[cuerpo algebraicamente cerrado]] <math>k</math> y sin componente irreductible común, tienen exactamente ''mn'' puntos de intersección contados con su [[multiplicidad]].
-Esencialmente, el teorema afirma que si estamos trabajando con un [[cuerpo algebraicamente cerrado]] entonces una curva ''C'' de grado ''n'' se intersecta con una curva ''D'' de grado ''m'' en exactamente ''nm'' puntos, siempre que ''C'' y ''D'' no tengan factores en común. Hay que ser cuidadosos con este enunciado, ya que al contar los puntos en la intersección, los contabilizamos con su multiplicidad; además las intersecciones son en el [[plano proyectivo]].
+La forma débil del teorema dice que el número de intersecciones (sin tener en cuenta las multiplicidades) está acotado por <math>mn</math>. Es decir, si <math>F, G</math> son dos [[Polinomio homogéneo|polinomios homogéneos]] con coeficientes en <math>k</math> (con <math>C=V_+(F)</math> y <math>D=V_+(G)</math><ref name="notation">Para Fpolinomio homogéneo en X, Y, Z, se anota  ''V''+(F) el conjunto proyectivo de los puntos donde F se cancela. Para F polinomio en X, Y, se anota  ''V''(F) al conjunto afin de puntos donde F se cancela.</ref>) de grados respectivos <math>m, n</math> y sin ningún factor común, entonces el sistema
-==Enunciado==
-Si ''C'' y ''D'' son curvas algebraicas y <math>P\in C\cap D</math>, el número de intersección entre ''C'' y ''D'' en ''P'' es intuitivamente la cantidad de derivadas en las que coinciden ambas curvas en ese punto. Por ejemplo, si las tangentes de ''C'' y ''D'' en ''P'' no coinciden entonces <math>I_P(C,D)=1</math>, si las tangentes coinciden entonces <math>I_P(C,D)\geq 2</math>.
+<center><math>F(x,y,z)=0,  \ G(x,y,z)=0</math></center>
-Decimos que dos curvas ''C'' y ''D'' no tienen factores en común si el máximo común divisor entre los polinomios que definen a las curvas es 1.
+admite a lo más <math>mn</math> soluciones en el plano proyectivo <math>P^2(k)</math>.
- '''Teorema:''' Si ''C'' y ''D'' son curvas de grado ''m'' y ''n'' sin factores en común entonces <math>\sum_{P\in C\cap D}I_P(C,D) = m\cdot n.</math>
+== Historia ==
-Los puntos de la intersección son en el plano proyectivo.
+El principio de que una curva con grado ''n'' se interseca con una de grado ''m'' en ''nm'' puntos fue supuesto verdadera por varios matemáticos. El primero en haberlo enunciado parece haber sido [[Isaac Newton]] en 1665 en ''The geometrical construction of equations''.{{Harvnp|Stillwel|2010|c=Analytic geometry|p=119}}
+En la [[geometría]] de  [[René Descartes|Descartes]],  el cálculo de la tangente de una curva o, equivalentemente, de la recta normal en un punto, se hace mediante la búsqueda de la [[circunferencia osculatriz]] en ese punto. El método descrito por Descartes consiste en escribir la ecuación de los círculos que pasan por el punto de la curva y en buscar el de los círculos que no tienen más que un punto de intersección único con la curva.<ref name="Descartes">Cf. [[La Géométrie (Descartes)]], livre II : ''« Façon generale pour trouver des lignes droites qui couppent les courbes donnees, ou leurs contingentes, à angles droits. »''</ref>
-==Historia==
-El principio de que una curva con grado ''n'' se interseca con una de grado ''m'' en ''nm'' puntos fue supuesta verdadera por varios matemáticos. El primero en haberlo enunciado parece haber sido [[Isaac Newton]] en 1665 en ''The geometrical construction of equations''. {{Harvnp|Stillwel|2010|c=Analytic geometry|p=119}}
+Desde el comienzo del siglo{{esd}}XVIII, la investigación del número de puntos de intersección de dos curvas planas de ecuaciones cartesianas implícitas <math>P(x,y)=0</math>, <math>Q(x,y)=0</math> donde ''P'', ''Q''  son dos polinomios de grados respectivos ''m'', ''n'' se hace por el método de eliminación de una de las dos variables.
-Diversos matemáticos intentaron probarlo en el siglo XVIII (entre ellos [[Colin Maclaurin]], [[Gabriel Cramer]], [[Leonhard Euler]] y [[Étienne Bézout]]), pero fracasaron, principalmente por el problema de no encontrar un método para contar "puntos en el infinito" (recuérdese que el teorema es válido en el [[plano proyectivo]], no en el [[espacio euclídeo|plano euclídeo]]).{{Harvnp|Stillwel|2010|c=Analytic geometry|pp=119-120}}
+Desde 1720 [[Colin Maclaurin|Maclaurin]]  conjeturó<ref name="Donadiou">Según Dieudonné (dir.), chap. IV « Géométrie analytique et analyse géométrique », p. 78-79}}.</ref> que «en général, le nombre de points d'intersection est égal à <math>m \times  n</math>». [[Leonhard Euler|Léonard Euler]] examinó la cuestión en algunos casos particulares, pero no consiguió hacer entrar el caso de raíces múltiples en una demostración general.<ref name="Donadiou"/> [[Étienne Bézout]] fue el primero en demostrar (1764) el enunciado en el cao donde sólo hay raíces simples.<ref name="Acad. Sc.">Cf. {{cita publicación|nombre=Étienne|apellido=Bézout|título=Mémoire sur plusieurs classes d’équations de tous les degrés qui admettent une solution algébrique|publicación=Histoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris|año=1764}}.</ref>
-<ref>{{cita libro |apellido=Stillwell |nombre=John |enlaceautor= |título= Mathematics and his history |url= |fechaacceso=13 de julio de 2014 |idioma= |otros= |edición=3 |año= 2010 |editor= |editorial=Springer |ubicación= |isbn= |capítulo= Analytic geometry |páginas= |cita= }}</ref>
+Los matemáticos que fracasaron fue por el problema de no encontrar un método para contar "puntos en el infinito"{{Harvnp|Stillwel|2010|c=Analytic geometry|pp=119-120}} (recuérdese que el teorema es válido en el [[plano proyectivo]], no en el [[espacio euclídeo|plano euclídeo]]).
+Un correcto enunciado del teorema de Bezout, con una prueba rigurosa, no se halla hasta pasado la mitad del siglo{{esd}}XIX. Aparentemente, el primero que encontró una buena manera de contar raíces con multiplicidades fue Halphen en 1873.{{Harvnp|Stillwel|2010|c=Projective geometry|p=148}}
+== Enunciado ==
+Si ''C'' y ''D'' son curvas algebraicas y <math>P\in C\cap D</math>, el número de intersección entre ''C'' y ''D'' en ''P'' es intuitivamente la cantidad de derivadas en las que coinciden ambas curvas en ese punto. Por ejemplo, si las tangentes de ''C'' y ''D'' en ''P'' no coinciden entonces <math>I_P(C,D)=1</math>, si las tangentes coinciden entonces <math>I_P(C,D)\geq 2</math>.
+Decimos que dos curvas ''C'' y ''D'' no tienen factores en común si el [[máximo común divisor]] entre los polinomios que definen a las curvas es 1.
+ '''Teorema:''' Si ''C'' y ''D'' son curvas de grado ''m'' y ''n'' sin factores en común entonces <math>\sum_{P\in C\cap D}I_P(C,D) = m\cdot n.</math>
+Los puntos de la intersección son en el plano proyectivo.
+== Notas ==
-Un correcto enunciado del teorema de Bezout, con una prueba rigurosa, no se halla hasta pasado la mitad del siglo XIX. Aparentemente, el primero que encontró una buena manera de contar raíces con multiplicidades fue Halphen en 1873. {{Harvnp|Stillwel|2010|c=Projective geometry|p=148}}
+{{listaref}}
-==Referencias==
+== Referencias ==
-{{cita libro |apellido=Stillwell |nombre=John |enlaceautor= |título= Mathematics and his history |url= |fechaacceso=13 de julio de 2014 |idioma= |otros= |edición=3 |año= 2010 |editor= |editorial=Springer |ubicación= |isbn= |capítulo= |páginas= |cita= }}</ref>
+{{cita libro |apellido=Stillwell |nombre=John |enlaceautor= |título= Mathematics and his history |url= |fechaacceso=13 de julio de 2014 |idioma= |otros= |edición=3 |año= 2010 |editor= |editorial=Springer |ubicación= |isbn= |capítulo= |páginas= |cita= }}
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