Diferencia entre revisiones de «Anexo:Poliedros uniformes»
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|+ '''Ejemplos de poliedros uniformes:''' |
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En [[geometría]], un '''poliedro uniforme''' es un [[poliedro]] que tiene [[polígono regular|polígonos regulares]] como [[Cara (geometría)|caras]] y es una [[figura isogonal]] (es decir, que es [[Acción (matemática)|transitiva]] respecto a sus [[Vértice (geometría)|vértices]], de forma que existe una [[isometría]] que permite aplicar un vértice cualquiera sobre cualquier otro). De ello se deduce que todos los vértices son [[Congruencia (geometría)|congruentes]] y el poliedro tiene un alto grado de [[simetría rotacional]] y [[Simetría especular|especular]].<ref name=FD>{{cita libro|título=Proceedings Of The Conference In Honour Of The 90th Birthday Of Freeman Dyson|editorial=World Scientific|año=2014|url=https://books.google.es/books?id=4wS3CgAAQBAJ&pg=PA343#v=onepage&q&f=false|isbn=9789814590129|páginas= 343 de 500|fechaacceso= 15 de agosto de 2022}}</ref> |
En [[geometría]], un '''poliedro uniforme''' es un [[poliedro]] que tiene [[polígono regular|polígonos regulares]] como [[Cara (geometría)|caras]] y es una [[figura isogonal]] (es decir, que es [[Acción (matemática)|transitiva]] respecto a sus [[Vértice (geometría)|vértices]], de forma que existe una [[isometría]] que permite aplicar un vértice cualquiera sobre cualquier otro). De ello se deduce que todos los vértices son [[Congruencia (geometría)|congruentes]] y el poliedro tiene un alto grado de [[simetría rotacional]] y [[Simetría especular|especular]].<ref name=FD>{{cita libro|título=Proceedings Of The Conference In Honour Of The 90th Birthday Of Freeman Dyson|editorial=World Scientific|año=2014|url=https://books.google.es/books?id=4wS3CgAAQBAJ&pg=PA343#v=onepage&q&f=false|isbn=9789814590129|páginas= 343 de 500|fechaacceso= 15 de agosto de 2022}}</ref> |
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Los poliedros uniformes se pueden dividir entre formas [[Politopo convexo|convexas]] con caras formadas por [[polígono regular|polígonos regurales]] convexos y aquellos cuyas caras tienen forma de estrella. Los poliedros estrellados tienen [[Cara (geometría)|caras]] con [[estrella (figura geométrica)|forma de estrella]] |
Los poliedros uniformes se pueden dividir entre formas [[Politopo convexo|convexas]] con caras formadas por [[polígono regular|polígonos regurales]] convexos y aquellos cuyas caras tienen forma de estrella. Los poliedros estrellados tienen [[Cara (geometría)|caras]] con [[estrella (figura geométrica)|forma de estrella]] o [[figura de vértice|figras de vértice]] regulares o ambos tipos de elementos. |
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El listado incluye los siguientes poliedros: |
El listado incluye los siguientes poliedros: |
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* Un poliedro [[#Caso especial|degenerado]], la figura de Skilling con aristas superpuestas |
* Un poliedro [[#Caso especial|degenerado]], la figura de Skilling con aristas superpuestas |
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Se comprobó en {{ |
Se comprobó en {{Harvtxt|Sopov|1970}} que solo existen 75 [[Poliedro uniforme|poliedros uniformes]] además de las infinitas familias de [[Prisma (geometría)|prismas]] y [[antiprisma]]s. John Skilling descubrió un ejemplo degenerado pasado por alto, al relajar la condición de que solo dos caras pueden encontrarse solamente en una arista. Este es un poliedro uniforme degenerado en lugar de un poliedro uniforme, porque algunos pares de aristas coinciden. |
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* ['''C''] Coxeter et al., 1954, mostró las formas [[Politopo convexo|convexas]] como figuras 15 a 32; tres formas prismáticas, figuras 33–35; y las formas no convexas, figuras 36–92. |
* ['''C''] Coxeter et al., 1954, mostró las formas [[Politopo convexo|convexas]] como figuras 15 a 32; tres formas prismáticas, figuras 33–35; y las formas no convexas, figuras 36–92. |
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* ['''W'''] Wenninger, 1974, tiene 119 figuras: 1–5 para los sólidos platónicos, 6–18 para los sólidos de Arquímedes, 19–66 para las formas estrelladas, incluidos los 4 poliedros regulares no convexos, y terminó con |
* ['''W'''] Wenninger, 1974, tiene 119 figuras: 1–5 para los sólidos platónicos, 6–18 para los sólidos de Arquímedes, 19–66 para las formas estrelladas, incluidos los 4 poliedros regulares no convexos, y terminó con 67–119 para los poliedros uniformes no convexos. |
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* ['''K'''] Kaleido, 1993: Las 80 figuras se agruparon por simetría: 1–5 como representantes de las infinitas familias de formas prismáticas con [[ |
* ['''K'''] Kaleido, 1993: Las 80 figuras se agruparon por simetría: 1–5 como representantes de las infinitas familias de formas prismáticas con [[simetría diedral en tres dimensiones|simetría diedral]], 6–9 con [[simetría tetraédrica]], 10–26 con [[simetría octaédrica]], 27–80 con [[simetría icosaédrica]]. |
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* ['''U'''] Mathematica, 1993, sigue la serie Kaleido con las 5 formas prismáticas movidas al final, de modo que las formas no prismáticas se convierten en 1–75. |
* ['''U'''] Mathematica, 1993, sigue la serie Kaleido con las 5 formas prismáticas movidas al final, de modo que las formas no prismáticas se convierten en 1–75. |
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===Poliedros uniformes convexos=== |
===Poliedros uniformes convexos=== |
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! Nombre||Imagen||[[Configuración de vértices|Tipo de<br />Vértices]]||[[Símbolo de Wythoff|Símbolo<br />Wythoff]]||Simetría||C#||W#||U#||K#||Vértices||Aristas||Caras||Tipo de caras |
! Nombre||Imagen||[[Configuración de vértices|Tipo de<br />Vértices]]||[[Símbolo de Wythoff|Símbolo<br />Wythoff]]||Simetría||C#||W#||U#||K#||Vértices||Aristas||Caras||Tipo de caras |
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||[[Prisma hexagonal]]||[[Image:Hexagonal prism.png|60px]]||[[Image:Hexagonal prism vertfig.png|50px]]<br />4.4.6||2 6 | 2||D<sub>6h</sub>||C33c||—||U76c||K01c||12||18||8||6{4}<br />+2{6} |
||[[Prisma hexagonal]]||[[Image:Hexagonal prism.png|60px]]||[[Image:Hexagonal prism vertfig.png|50px]]<br />4.4.6||2 6 | 2||D<sub>6h</sub>||C33c||—||U76c||K01c||12||18||8||6{4}<br />+2{6} |
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||[[ |
||[[Prisma octogonal]]||[[Image:Octagonal prism.png|60px]]||[[Image:Octagonal prism vertfig.png|50px]]<br />4.4.8||2 8 | 2||D<sub>8h</sub>||C33e||—||U76e||K01e||16||24||10||8{4}<br />+2{8} |
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||[[ |
||[[Prisma decagonal]]||[[Image:Decagonal prism.png|60px]]||[[Image:Decagonal prism vf.png|50px]]<br />4.4.10||2 10 | 2||D<sub>10h</sub>||C33g||—||U76g||K01g||20||30||12||10{4}<br />+2{10} |
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||[[Prisma dodecagonal]]||[[Image:Dodecagonal prism.png|60px]]||[[Image:Dodecagonal prism vf.png|50px]]<br />4.4.12||2 12 | 2||D<sub>12h</sub>||C33i||—||U76i||K01i||24||36||14||12{4}<br />+2{12} |
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||[[Octaedro truncado]]||[[Image:Truncated octahedron.png|60px]]||[[Image:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]<br />4.6.6||2 4 | 3||O<sub>h</sub>||C20||W007||U08||K13||24||36||14||6{4}<br />+8{6} |
||[[Octaedro truncado]]||[[Image:Truncated octahedron.png|60px]]||[[Image:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]<br />4.6.6||2 4 | 3||O<sub>h</sub>||C20||W007||U08||K13||24||36||14||6{4}<br />+8{6} |
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||[[Icosaedro truncado]]||[[Image:Truncated icosahedron.png|60px]]||[[Image:Truncated icosahedron vertfig.png|50px]]<br />5.6.6||2 5 | 3||I<sub>h</sub>||C27||W009||U25||K30||60||90||32||12{5}<br />+20{6} |
||[[Icosaedro truncado]]||[[Image:Truncated icosahedron.png|60px]]||[[Image:Truncated icosahedron vertfig.png|50px]]<br />5.6.6||2 5 | 3||I<sub>h</sub>||C27||W009||U25||K30||60||90||32||12{5}<br />+20{6} |
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||[[Octaedro]]||[[Image:Octahedron.png|60px]]||[[Image:Octahedron vertfig. |
||[[Octaedro]]||[[Image:Octahedron.png|60px]]||[[Image:Octahedron vertfig.svg|50px]]<br />3.3.3.3||4 | 2 3||O<sub>h</sub>||C17||W002||U05||K10||6||12||8||8{3} |
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||[[Antiprisma cuadrado]]||[[Image:Square antiprism.png|60px]]||[[Image:Square antiprism vertfig.png|50px]]<br />3.3.3.4||| 2 2 4||D<sub>4d</sub>||C34a||—||U77a||K02a||8||16||10||8{3}<br />+2{4} |
||[[Antiprisma cuadrado]]||[[Image:Square antiprism.png|60px]]||[[Image:Square antiprism vertfig.png|50px]]<br />3.3.3.4||| 2 2 4||D<sub>4d</sub>||C34a||—||U77a||K02a||8||16||10||8{3}<br />+2{4} |
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| Línea 90: | Línea 89: | ||
||[[Antiprisma octogonal]]||[[Image:Octagonal antiprism.png|60px]]||[[Image:Octagonal antiprism vertfig.png|50px]]<br />3.3.3.8||| 2 2 8||D<sub>8d</sub>||C34e||—||U77e||K02e||16||32||18||16{3}<br />+2{8} |
||[[Antiprisma octogonal]]||[[Image:Octagonal antiprism.png|60px]]||[[Image:Octagonal antiprism vertfig.png|50px]]<br />3.3.3.8||| 2 2 8||D<sub>8d</sub>||C34e||—||U77e||K02e||16||32||18||16{3}<br />+2{8} |
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||[[Antiprisma decagonal]]||[[Image:Decagonal antiprism.png|60px]]||[[Image:Decagonal antiprism vf.png|50px]]<br />3.3.3.10||| 2 2 10||D<sub>10d</sub>||C34g||—||U77g||K02g||20||40||22||20{3}<br />+2{10} |
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||Antiprisma dodecagonal||[[Image:Dodecagonal antiprism.png|60px]]||[[Image:Dodecagonal antiprism vf.png|50px]]<br />3.3.3.12||| 2 2 12||D<sub>12d</sub>||C34i||—||U77i||K02i||24||48||26||24{3}<br />+2{12} |
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||[[Cuboctaedro]]||[[Image:Cuboctahedron.png|60px]]||[[Image:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]<br />3.4.3.4||2 | 3 4|||O<sub>h</sub>||C19||W011||U07||K12||12||24||14||8{3}<br />+6{4} |
||[[Cuboctaedro]]||[[Image:Cuboctahedron.png|60px]]||[[Image:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]<br />3.4.3.4||2 | 3 4|||O<sub>h</sub>||C19||W011||U07||K12||12||24||14||8{3}<br />+6{4} |
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===Poliedros |
===Poliedros uniformes estrellados=== |
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Las formas que contienen solo caras convexas se enumeran en primer lugar, seguidas de las figuras con caras en forma de estrella. |
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Los poliedros uniformes | {{sfrac|5|2}} 3 3, | {{sfrac|5|2}} {{sfrac|3|2}} {{sfrac|3|2}}, | {{sfrac|5|3}} {{sfrac|5|2}} 3, | {{sfrac|3|2}} {{sfrac|5|3}} 3 {{sfrac|5|2}} y | ({{sfrac|3|2}}) {{sfrac|5|3}} (3) {{sfrac|5|2}} tienen algunas caras que |
Los poliedros uniformes | {{sfrac|5|2}} 3 3, | {{sfrac|5|2}} {{sfrac|3|2}} {{sfrac|3|2}}, | {{sfrac|5|3}} {{sfrac|5|2}} 3, | {{sfrac|3|2}} {{sfrac|5|3}} 3 {{sfrac|5|2}} y | ({{sfrac|3|2}}) {{sfrac|5|3}} (3) {{sfrac|5|2}} tienen algunas caras que forman pares coplanarios. (Coxeter et al. 1954, págs. 423, 425, 426; Skilling 1975, pág. 123) |
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{|class="wikitable sortable" style="text-align:center;font-size:small;" |
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!Nombre||Imagen||[[Símbolo de Wythoff|Símbolo<br />Wythoff]]||[[Configuración de vértices|Figura<br />vértices]]||Simetría||C#||W#||U#||K#||Vért.||Aristas||Caras||Chi||[[Orientabilidad|¿Orien-<br />table?]]||Dens.||Tipo caras |
!Nombre||Imagen||[[Símbolo de Wythoff|Símbolo<br />Wythoff]]||[[Configuración de vértices|Figura<br />vértices]]||Simetría||C#||W#||U#||K#||Vért.||Aristas||Caras||Chi||[[Orientabilidad|¿Orien-<br />table?]]||Dens.||Tipo caras |
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||[[ |
||[[Octahemioctaedro]]||[[Image:Octahemioctahedron.png|60px]]||{{sfrac|3|2}} 3 | 3||[[Image:Octahemioctahedron vertfig.png|50px]]<br />6.{{sfrac|3|2}}.6.3||O<sub>h</sub>||C37||W068||U03||K08||12||24||12||0||Sí|| ||8{3}+4{6} |
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||[[Tetrahemihexaedro]]||[[Image:Tetrahemihexahedron.png|60px]]||{{sfrac|3|2}} 3 | 2||[[Image:Tetrahemihexahedron vertfig.svg|50px]]<br />4.{{sfrac|3|2}}.4.3||T<sub>d</sub>||C36||W067||U04||K09||6||12||7||1||No|| ||4{3}+3{4} |
||[[Tetrahemihexaedro]]||[[Image:Tetrahemihexahedron.png|60px]]||{{sfrac|3|2}} 3 | 2||[[Image:Tetrahemihexahedron vertfig.svg|50px]]<br />4.{{sfrac|3|2}}.4.3||T<sub>d</sub>||C36||W067||U04||K09||6||12||7||1||No|| ||4{3}+3{4} |
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||[[Cubohemioctaedro]]||[[Image:Cubohemioctahedron.png|60px]]||{{sfrac|4|3}} 4 | 3||[[Image:Cubohemioctahedron vertfig.png|50px]]<br />6.{{sfrac|4|3}}.6.4||O<sub>h</sub>||C51||W078||U15||K20||12||24||10||−2||No|| ||6{4}+4{6} |
||[[Cubohemioctaedro]]||[[Image:Cubohemioctahedron.png|60px]]||{{sfrac|4|3}} 4 | 3||[[Image:Cubohemioctahedron vertfig.png|50px]]<br />6.{{sfrac|4|3}}.6.4||O<sub>h</sub>||C51||W078||U15||K20||12||24||10||−2||No|| ||6{4}+4{6} |
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||[[Gran dodecaedro| |
||[[Gran dodecaedro|Gran<br />dodecaedro]]||[[Image:Great dodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|2}} | 2 5||[[Image:Great dodecahedron vertfig.png|50px]]<br />(5.5.5.5.5)/2||I<sub>h</sub>||C44||W021||U35||K40||12||30||12||−6||Sí||3||12{5} |
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||[[Gran icosaedro| |
||[[Gran icosaedro|Gran<br />icosaedro]]||[[Image:Great icosahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|2}} | 2 3||[[Image:Great icosahedron vertfig.svg|50px]]<br />(3.3.3.3.3)/2||I<sub>h</sub>||C69||W041||U53||K58||12||30||20||2||Sí||7||20{3} |
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||[[ |
||[[Gran icosidodecaedro ditrigonal|Gran<br />icosidodecaedro<br />ditrigonal]]||[[Image:Great ditrigonal icosidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|3|2}} | 3 5||[[Image:Great ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />(5.3.5.3.5.3)/2||I<sub>h</sub>||C61||W087||U47||K52||20||60||32||−8||Sí||6||20{3}+12{5} |
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||[[Pequeño rombihexaedro| |
||[[Pequeño rombihexaedro|Pequeño<br />rombihexaedro]]||[[Image:Small rhombihexahedron.png|60px]]||2 4 ({{sfrac|3|2}} {{sfrac|4|2}}) |||[[Image:Small rhombihexahedron vertfig.png|50px]]<br />4.8.{{sfrac|4|3}}.{{sfrac|8|7}}||O<sub>h</sub>||C60||W086||U18||K23||24||48||18||−6||No|| ||12{4}+6{8} |
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||[[ |
||[[Pequeño cubicuboctaedro|Pequeño<br />cubicuboctaedro]]||[[Image:Small cubicuboctahedron.png|60px]]||{{sfrac|3|2}} 4 | 4||[[Image:Small cubicuboctahedron vertfig.png|50px]]<br />8.{{sfrac|3|2}}.8.4||O<sub>h</sub>||C38||W069||U13||K18||24||48||20||−4||Sí||2||8{3}+6{4}+6{8} |
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||[[ |
||[[Gran rombicuboctaedro no convexo|Gran<br />rombicuboctaedro]]||[[Image:Uniform great rhombicuboctahedron.png|60px]]||{{sfrac|3|2}} 4 | 2||[[Image:Uniform great rhombicuboctahedron vertfig.png|50px]]<br />4.{{sfrac|3|2}}.4.4||O<sub>h</sub>||C59||W085||U17||K22||24||48||26||2||Sí||5||8{3}+(6+12){4} |
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||[[Pequeño dodecahemidodecaedro| |
||[[Pequeño dodecahemidodecaedro|Pequeño dodecahemi-<br />dodecaedro]]||[[Image:Small dodecahemidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|4}} 5 | 5||[[Image:Small dodecahemidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />10.{{sfrac|5|4}}.10.5||I<sub>h</sub>||C65||W091||U51||K56||30||60||18||−12||No|| ||12{5}+6{10} |
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||[[ |
||[[Gran dodecahemicosaedro|Gran dodecahemi-<br />cosaedro]]||[[Image:Great dodecahemicosahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|4}} 5 | 3||[[Image:Great dodecahemicosahedron vertfig.png|50px]]<br />6.{{sfrac|5|4}}.6.5||I<sub>h</sub>||C81||W102||U65||K70||30||60||22||−8||No|| ||12{5}+10{6} |
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||[[ |
||[[Pequeño icosihemidodecaedro|Pequeño icosihemi-<br />dodecaedro]]||[[Image:Small icosihemidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|3|2}} 3 | 5||[[Image:Small icosihemidodecahedron vertfig.svg|50px]]<br />10.{{sfrac|3|2}}.10.3||I<sub>h</sub>||C63||W089||U49||K54||30||60||26||−4||No|| ||20{3}+6{10} |
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||[[ |
||[[Pequeño dodecicosaedro|Pequeño<br />dodecicosaedro]]||[[Image:Small dodecicosahedron.png|60px]]||3 5 ({{sfrac|3|2}} {{sfrac|5|4}}) |||[[Image:Small dodecicosahedron vertfig.png|50px]]<br />10.6.{{sfrac|10|9}}.{{sfrac|6|5}}||I<sub>h</sub>||C64||W090||U50||K55||60||120||32||−28||No|| ||20{6}+12{10} |
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||[[ |
||[[Pequeño rombidodecaedro|Pequeño<br />rombidodecaedro]]||[[Image:Small rhombidodecahedron.png|60px]]||2 5 ({{sfrac|3|2}} {{sfrac|5|2}}) |||[[Image:Small rhombidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />10.4.{{sfrac|10|9}}.{{sfrac|4|3}}||I<sub>h</sub>||C46||W074||U39||K44||60||120||42||−18||No|| ||30{4}+12{10} |
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||[[ |
||[[Pequeño dodecicosidodecaedro|Pequeño dodecicosi-<br />dodecaedro]]||[[Image:Small dodecicosidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|3|2}} 5 | 5||[[Image:Small dodecicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />10.{{sfrac|3|2}}.10.5||I<sub>h</sub>||C42||W072||U33||K38||60||120||44||−16||Sí||2||20{3}+12{5}+12{10} |
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||[[ |
||[[Rombicosaedro]]||[[Image:Rhombicosahedron.png|60px]]||2 3 ({{sfrac|5|4}} {{sfrac|5|2}}) |||[[Image:Rhombicosahedron vertfig.png|50px]]<br />6.4.{{sfrac|6|5}}.{{sfrac|4|3}}||I<sub>h</sub>||C72||W096||U56||K61||60||120||50||−10||No|| ||30{4}+20{6} |
||
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||[[ |
||[[Gran icosicosidodecaedro|Gran<br />icosicosi-<br />dodecaedro]]||[[Image:Great icosicosidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|3|2}} 5 | 3||[[Image:Great icosicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />6.{{sfrac|3|2}}.6.5||I<sub>h</sub>||C62||W088||U48||K53||60||120||52||−8||Sí||6||20{3}+12{5}+20{6} |
||
|- |
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||
||[[Prisma pentagrámico| |
||[[Prisma pentagrámico|Prisma<br />pentagrámico]]||[[Image:Pentagrammic prism.png|60px]]||2 {{sfrac|5|2}} | 2||[[Image:Pentagrammic prism vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|5|2}}.4.4||D<sub>5h</sub>||C33b||—||U78a||K03a||10||15||7||2||Sí||2||5{4}+2{{{sfrac|5|2}}} |
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||Prisma<br />heptagrámico (7/2)||[[Image:Heptagrammic prism 7-2.png|60px]]||2 {{sfrac|7|2}} | 2||[[Image:Septagrammic prism vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|7|2}}.4.4||D<sub>7h</sub>||C33d||—||U78b||K03b||14||21||9||2||Sí||2||7{4}+2{{{sfrac|7|2}}} |
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||Prisma<br />heptagrámico (7/3)||[[Image:Heptagrammic prism 7-3.png|60px]]||2 {{sfrac|7|3}} | 2||[[Image:Septagrammic prism-3-7 vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|7|3}}.4.4||D<sub>7h</sub>||C33d||—||U78c||K03c||14||21||9||2||Sí||3||7{4}+2{{{sfrac|7|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Prisma octagrámico|Prisma<br />octagrámico]]||[[File:Prism 8-3.png|60px]]||2 {{sfrac|8|3}} | 2||[[File:Octagrammic prism vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|8|3}}.4.4||D<sub>8h</sub>||C33e||—||U78d||K03d||16||24||10||2||Sí||3||8{4}+2{{{sfrac|8|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Antiprisma pentagrámico]]||[[Image:Pentagrammic antiprism.png|60px]]||| 2 2 {{sfrac|5|2}}||[[Image:Pentagrammic antiprism vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|5|2}}.3.3.3||D<sub>5h</sub>||C34b||—||U79a||K04a||10||20||12||2||Sí||2||10{3}+2{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Antiprisma pentagrámico cruzado|Antiprisma<br />pentagrámico<br />cruzado]]||[[Image:Pentagrammic crossed antiprism.png|60px]]||| 2 2 {{sfrac|5|3}}||[[Image:Pentagrammic crossed-antiprism vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|5|3}}.3.3.3||D<sub>5d</sub>||C35a||—||U80a||K05a||10||20||12||2||Sí||3||10{3}+2{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
|| |
||Antiprisma<br />heptagrámico (7/2)||[[File:Antiprism 7-2.png|60px]]||| 2 2 {{sfrac|7|2}}||[[Image:Heptagrammic antiprism-2-7 vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|7|2}}.3.3.3||D<sub>7h</sub>||C34d||—||U79b||K04b||14||28||16||2||Sí||3||14{3}+2{{{sfrac|7|2}}} |
||
|- |
|- |
||
|| |
||Antiprisma<br />heptagrámico (7/3)||[[File:Antiprism 7-3.png|60px]]||| 2 2 {{sfrac|7|3}}||[[Image:Heptagrammic antiprism-3-7 vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|7|3}}.3.3.3||D<sub>7d</sub>||C34d||—||U79c||K04c||14||28||16||2||Sí||3||14{3}+2{{{sfrac|7|3}}} |
||
|- |
|- |
||
|| |
||Antiprisma<br />heptagrámico cruzado||[[File:Antiprism 7-4.png|60px]]||| 2 2 {{sfrac|7|4}}||[[Image:Heptagrammic antiprism-4-7 vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|7|4}}.3.3.3||D<sub>7h</sub>||C35b||—||U80b||K05b||14||28||16||2||Sí||4||14{3}+2{{{sfrac|7|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Antiprisma octagrámico|Antiprisma<br />octagrámico]]||[[File:Antiprism 8-3.png|60px]]||| 2 2 {{sfrac|8|3}}||[[Image:Octagrammic antiprism-3-8 vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|8|3}}.3.3.3||D<sub>8d</sub>||C34e||—||U79d||K04d||16||32||18||2||Sí||3||16{3}+2{{{sfrac|8|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Antiprisma octagrámico cruzado|Antiprisma<br />octagrámico cruzado]]||[[File:Antiprism 8-5.png|60px]]||| 2 2 {{sfrac|8|5}}||[[Image:Octagrammic antiprism-5-8 vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|8|5}}.3.3.3||D<sub>8d</sub>||C35c||—||U80c||K05c||16||32||18||2||Sí||5||16{3}+2{{{sfrac|8|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[Pequeño dodecaedro estrellado| |
||[[Pequeño dodecaedro estrellado|Pequeño<br />dodecaedro<br />estrellado]]||[[Image:Small stellated dodecahedron.png|60px]]||5 | 2 {{sfrac|5|2}}||[[Image:Small stellated dodecahedron vertfig.png|50px]]<br />({{sfrac|5|2}})<sup>5</sup>||I<sub>h</sub>||C43||W020||U34||K39||12||30||12||−6||Sí||3||12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[Gran dodecaedro estrellado| |
||[[Gran dodecaedro estrellado|Gran<br />dodecaedro<br />estrellado]]||[[Image:Great stellated dodecahedron.png|60px]]||3 | 2 {{sfrac|5|2}}||[[Image:Great stellated dodecahedron vertfig.png|50px]]<br />({{sfrac|5|2}})<sup>3</sup>||I<sub>h</sub>||C68||W022||U52||K57||20||30||12||2||Sí||7||12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Dodecadodecaedro ditrigonal|Dodeca-<br />dodecaedro<br />ditrigonal]]||[[Image:Ditrigonal dodecadodecahedron.png|60px]]||3 | {{sfrac|5|3}} 5||[[Image:Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<br />({{sfrac|5|3}}.5)<sup>3</sup>||I<sub>h</sub>||C53||W080||U41||K46||20||60||24||−16||Sí||4||12{5}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Pequeño icosidodecaedro ditrigonal|Pequeño<br />icosidodecaedro<br />ditrigonal]]||[[Image:Small ditrigonal icosidodecahedron.png|60px]]||3 | {{sfrac|5|2}} 3||[[Image:Small ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />({{sfrac|5|2}}.3)<sup>3</sup>||I<sub>h</sub>||C39||W070||U30||K35||20||60||32||−8||Sí||2||20{3}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Hexaedro truncado estrellado|Hexaedro<br />truncado<br />estrellado]]||[[Image:Stellated truncated hexahedron.png|60px]]||2 3 | {{sfrac|4|3}}||[[Image:Stellated truncated hexahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|8|3}}.{{sfrac|8|3}}.3||O<sub>h</sub>||C66||W092||U19||K24||24||36||14||2||Sí||7||8{3}+6{{{sfrac|8|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran rombihexaedro|Gran<br />rombihexaedro]]||[[Image:Great rhombihexahedron.png|60px]]||2 {{sfrac|4|3}} ({{sfrac|3|2}} {{sfrac|4|2}}) |||[[Image:Great rhombihexahedron vertfig.png|50px]]<br />4.{{sfrac|8|3}}.{{sfrac|4|3}}.{{sfrac|8|5}}||O<sub>h</sub>||C82||W103||U21||K26||24||48||18||−6||No|| ||12{4}+6{{{sfrac|8|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran cubicuboctaedro|Gran<br />cubicuboctaedro]]||[[Image:Great cubicuboctahedron.png|60px]]||3 4 | {{sfrac|4|3}}||[[Image:Great cubicuboctahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|8|3}}.3.{{sfrac|8|3}}.4||O<sub>h</sub>||C50||W077||U14||K19||24||48||20||−4||Sí||4||8{3}+6{4}+6{{{sfrac|8|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran dodecahemidodecaedro|Gran dodecahemi-<br />dodecaedro]]||[[Image:Great dodecahemidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|3}} {{sfrac|5|2}} | {{sfrac|5|3}}||[[Image:Great dodecahemidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|10|3}}.{{sfrac|5|3}}.{{sfrac|10|3}}.{{sfrac|5|2}}||I<sub>h</sub>||C86||W107||U70||K75||30||60||18||−12||No|| ||12{{{sfrac|5|2}}}+6{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Pequeño dodecahemicosaedro|Pequeño dodecahemi-<br />cosaedro]]||[[Image:Small dodecahemicosahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|3}} {{sfrac|5|2}} | 3||[[Image:Small dodecahemicosahedron vertfig.png|50px]]<br />6.{{sfrac|5|3}}.6.{{sfrac|5|2}}||I<sub>h</sub>||C78||W100||U62||K67||30||60||22||−8||No|| ||12{{{sfrac|5|2}}}+10{6} |
||
|- |
|- |
||
||[[Dodecadodecaedro|Dodeca-<br /> |
||[[Dodecadodecaedro|Dodeca-<br />dodecaedro]]||[[Image:Dodecadodecahedron.png|60px]]||2 | 5 {{sfrac|5|2}}||[[Image:Dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<br />({{sfrac|5|2}}.5)<sup>2</sup>||I<sub>h</sub>||C45||W073||U36||K41||30||60||24||−6||Sí||3||12{5}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran icosihemidodecaedro|Gran icosihemi-<br />dodecaedro]]||[[Image:Great icosihemidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|3|2}} 3 | {{sfrac|5|3}}||[[Image:Great icosihemidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|10|3}}.{{sfrac|3|2}}.{{sfrac|10|3}}.3||I<sub>h</sub>||C85||W106||U71||K76||30||60||26||−4||No|| ||20{3}+6{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran icosidodecaedro|Gran<br />icosidodecaedro]]||[[Image:Great icosidodecahedron.png|60px]]||2 | 3 {{sfrac|5|2}}||[[Image:Great icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />({{sfrac|5|2}}.3)<sup>2</sup>||I<sub>h</sub>||C70||W094||U54||K59||30||60||32||2||Sí||7||20{3}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Cuboctaedro cubitruncado|Cuboctaedro<br />cubitruncado]]||[[Image:Cubitruncated cuboctahedron.png|60px]]||{{sfrac|4|3}} 3 4 |||[[Image:Cubitruncated cuboctahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|8|3}}.6.8||O<sub>h</sub>||C52||W079||U16||K21||48||72||20||−4||Sí||4||8{6}+6{8}+6{{{sfrac|8|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[Gran cuboctaedro truncado| |
||[[Gran cuboctaedro truncado|Gran<br />cuboctaedro<br />truncado]]||[[Image:Great truncated cuboctahedron.png|60px]]||{{sfrac|4|3}} 2 3 |||[[Image:Great truncated cuboctahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|8|3}}.4.{{sfrac|6|5}}||O<sub>h</sub>||C67||W093||U20||K25||48||72||26||2||Sí||1||12{4}+8{6}+6{{{sfrac|8|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran dodecaedro truncado|Gran<br />dodecaedro<br />truncado]]||[[Image:Great truncated dodecahedron.png|60px]]||2 {{sfrac|5|2}} | 5||[[Image:Truncated great dodecahedron vertfig.png|50px]]<br />10.10.{{sfrac|5|2}}||I<sub>h</sub>||C47||W075||U37||K42||60||90||24||−6||Sí||3||12{{{sfrac|5|2}}}+12{10} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Pequeño dodecaedro truncado estrellado|Pequeño dodecaedro<br />truncado<br />estrellado]]||[[Image:Small stellated truncated dodecahedron.png|60px]]||2 5 | {{sfrac|5|3}}||[[Image:Small stellated truncated dodecahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|10|3}}.{{sfrac|10|3}}.5||I<sub>h</sub>||C74||W097||U58||K63||60||90||24||−6||Sí||9||12{5}+12{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran dodecaedro truncado estrellado|Gran dodecaedro<br />truncado<br />estrellado]]||[[Image:Great stellated truncated dodecahedron.png|60px]]||2 3 | {{sfrac|5|3}}||[[Image:Great stellated truncated dodecahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|10|3}}.{{sfrac|10|3}}.3||I<sub>h</sub>||C83||W104||U66||K71||60||90||32||2||Sí||13||20{3}+12{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran icosaedro truncado|Gran<br />icosaedro<br />truncado]]||[[Image:Great truncated icosahedron.png|60px]]||2 {{sfrac|5|2}} | 3||[[Image:Great truncated icosahedron vertfig.png|50px]]<br />6.6.{{sfrac|5|2}}||I<sub>h</sub>||C71||W095||U55||K60||60||90||32||2||Sí||7||12{{{sfrac|5|2}}}+20{6} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran dodecicosaedro|Gran<br />dodecicosaedro]]||[[Image:Great dodecicosahedron.png|60px]]||3 {{sfrac|5|3}}({{sfrac|3|2}} {{sfrac|5|2}}) |||[[Image:Great dodecicosahedron vertfig.png|50px]]<br />6.{{sfrac|10|3}}.{{sfrac|6|5}}.{{sfrac|10|7}}||I<sub>h</sub>||C79||W101||U63||K68||60||120||32||−28||No|| ||20{6}+12{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran rombidodecaedro|Gran<br />rombidodecaedro]]||[[Image:Great rhombidodecahedron.png|60px]]||2 {{sfrac|5|3}} ({{sfrac|3|2}} {{sfrac|5|4}}) |||[[Image:Great rhombidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />4.{{sfrac|10|3}}.{{sfrac|4|3}}.{{sfrac|10|7}}||I<sub>h</sub>||C89||W109||U73||K78||60||120||42||−18||No|| ||30{4}+12{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Icosidodecadodecaedro|Icosidodeca-<br />dodecaedro]]||[[Image:Icosidodecadodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|3}} 5 | 3||[[Image:Icosidodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<br />6.{{sfrac|5|3}}.6.5||I<sub>h</sub>||C56||W083||U44||K49||60||120||44||−16||Sí||4||12{5}+12{{{sfrac|5|2}}}+20{6} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Pequeño dodecicosidodecaedro ditrigonal|Pequeño dodecicosi-<br />dodecaedro<br />ditrigonal]]||[[Image:Small ditrigonal dodecicosidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|3}} 3 | 5||[[Image:Small ditrigonal dodecicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />10.{{sfrac|5|3}}.10.3||I<sub>h</sub>||C55||W082||U43||K48||60||120||44||−16||Sí||4||20{3}+12{{{sfrac|5|2}}}+12{10} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran dodecicosidodecaedro ditrigonal|Gran dodecicosi-<br />dodecaedro<br />ditrigonal]]||[[Image:Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png|60px]]||3 5 | {{sfrac|5|3}}||[[Image:Great ditrigonal dodecicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|10|3}}.3.{{sfrac|10|3}}.5||I<sub>h</sub>||C54||W081||U42||K47||60||120||44||−16||Sí||4||20{3}+12{5}+12{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran dodecicosidodecaedro|Gran<br />dodecicosi-<br />dodecaedro]]||[[Image:Great dodecicosidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|2}} 3 | {{sfrac|5|3}}||[[Image:Great dodecicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|10|3}}.{{sfrac|5|2}}.{{sfrac|10|3}}.3||I<sub>h</sub>||C77||W099||U61||K66||60||120||44||−16||Sí||10||20{3}+12{{{sfrac|5|2}}}+12{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Pequeño icosicosidodecaedro|Pequeño icosicosi-<br />dodecaedro]]||[[Image:Small icosicosidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|2}} 3 | 3||[[Image:Small icosicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />6.{{sfrac|5|2}}.6.3||I<sub>h</sub>||C40||W071||U31||K36||60||120||52||−8||Sí||2||20{3}+12{{{sfrac|5|2}}}+20{6} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Rombidodecadodecaedro|Rombidodeca-<br />dodecaedro]]||[[Image:Rhombidodecadodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|2}} 5 | 2||[[Image:Rhombidodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<br />4.{{sfrac|5|2}}.4.5||I<sub>h</sub>||C48||W076||U38||K43||60||120||54||−6||Sí||3||30{4}+12{5}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran rombicosidodecaedro no convexo|Gran<br />rombicosi-<br />dodecaedro]]||[[Image:Uniform great rhombicosidodecahedron.png|60px]]||{{sfrac|5|3}} 3 | 2||[[Image:Uniform great rhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />4.{{sfrac|5|3}}.4.3||I<sub>h</sub>||C84||W105||U67||K72||60||120||62||2||Sí||13||20{3}+30{4}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[Dodecadodecaedro icositruncado| |
||[[Dodecadodecaedro icositruncado|Dodeca-<br />dodecaedro<br />icositruncado]]||[[Image:Icositruncated dodecadodecahedron.png|60px]]||3 5 {{sfrac|5|3}} |||[[Image:Icositruncated dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|10|3}}.6.10||I<sub>h</sub>||C57||W084||U45||K50||120||180||44||−16||Sí||4||20{6}+12{10}+12{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Dodecadodecaedro truncado|Dodeca-<br />dodecaedro<br />truncado]]||[[Image:Truncated dodecadodecahedron.png|60px]]||2 5 {{sfrac|5|3}} |||[[Image:Truncated dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|10|3}}.4.{{sfrac|10|9}}||I<sub>h</sub>||C75||W098||U59||K64||120||180||54||−6||Sí||3||30{4}+12{10}+12{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran icosidodecaedro truncado|Gran<br />icosidodecaedro<br />truncado]]||[[Image:Great truncated icosidodecahedron.png|60px]]||2 3 {{sfrac|5|3}} |||[[Image:Great truncated icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />{{sfrac|10|3}}.4.6||I<sub>h</sub>||C87||W108||U68||K73||120||180||62||2||Sí||13||30{4}+20{6}+12{{{sfrac|10|3}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Dodecadodecaedro romo|Dodeca-<br />dodecaedro<br />romo]]||[[Image:Snub dodecadodecahedron.png|60px]]||| 2 {{sfrac|5|2}} 5||[[Image:Snub dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<br />3.3.{{sfrac|5|2}}.3.5||I||C49||W111||U40||K45||60||150||84||−6||Sí||3||60{3}+12{5}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Dodecadodecaedro romo invertido|Dodeca-<br />dodecaedro<br />romo invertido]]||[[Image:Inverted snub dodecadodecahedron.png|60px]]||| {{sfrac|5|3}} 2 5||[[Image:Inverted snub dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<br />3.{{sfrac|5|3}}.3.3.5||I||C76||W114||U60||K65||60||150||84||−6||Sí||9||60{3}+12{5}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[Gran icosidodecaedro romo| |
||[[Gran icosidodecaedro romo|Gran<br />icosidodecaedro<br />romo]]||[[Image:Great snub icosidodecahedron.png|60px]]||| 2 {{sfrac|5|2}} 3||[[Image:Great snub icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />3<sup>4</sup>.{{sfrac|5|2}}||I||C73||W113||U57||K62||60||150||92||2||Sí||7||(20+60){3}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran icosidodecaedro romo invertido|Gran<br />icosidodecaedro<br />romo invertido]]||[[Image:Great inverted snub icosidodecahedron.png|60px]]||| {{sfrac|5|3}} 2 3||[[Image:Great inverted snub icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />3<sup>4</sup>.{{sfrac|5|3}}||I||C88||W116||U69||K74||60||150||92||2||Sí||13||(20+60){3}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[Gran icosidodecaedro retrorromo| |
||[[Gran icosidodecaedro retrorromo|Gran<br />icosidodecaedro<br />retrorromo]]||[[Image:Great retrosnub icosidodecahedron.png|60px]]||| 2 {{sfrac|3|2}} {{sfrac|5|3}}||[[Image:Great retrosnub icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />(3<sup>4</sup>.{{sfrac|5|2}})/2||I||C90||W117||U74||K79||60||150||92||2||Sí||37||(20+60){3}+12{{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Gran dodecicosidodecaedro romo|Gran<br />dodecicosi-<br />dodecaedro<br />romo]]||[[Image:Great snub dodecicosidodecahedron.png|60px]]||| {{sfrac|5|3}} {{sfrac|5|2}} 3||[[Image:Great snub dodecicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />3<sup>3</sup>.{{sfrac|5|3}}.3.{{sfrac|5|2}}||I||C80||W115||U64||K69||60||180||104||−16||Sí||10||(20+60){3}+(12+12){{{sfrac|5|2}}} |
||
|- |
|- |
||
||[[ |
||[[Icosidodecadodecaedro|Icosidodeca-<br />dodecaedro<br />romo]]||[[Image:Snub icosidodecadodecahedron.png|60px]]||| {{sfrac|5|3}} 3 5||[[Image:Snub icosidodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<br />3<sup>3</sup>.5.3.{{sfrac|5|3}}||I||C58||W112||U46||K51||60||180||104||−16||Sí||4||(20+60){3}+12{5}+12{{{sfrac|5|2}}} |
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||[[Pequeño icosicosidodecaedro retrorromo|Pequeño icosicosi-<br />dodecaedro<br />retrorromo]]||[[Image:Small retrosnub icosicosidodecahedron.png|60px]]||| {{sfrac|3|2}} {{sfrac|3|2}} {{sfrac|5|2}}||[[Image:Small retrosnub icosicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />(3<sup>5</sup>.{{sfrac|5|2}})/2||I<sub>h</sub>||C91||W118||U72||K77||60||180||112||−8||Sí||38||(40+60){3}+12{{{sfrac|5|2}}} |
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||[[Gran dirrombicosidodecaedro|Gran<br />dirrombicosi-<br />dodecaedro]]||[[Image:Great dirhombicosidodecahedron.png|60px]]||nowrap|| {{sfrac|3|2}} {{sfrac|5|3}} 3 {{sfrac|5|2}} |
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||[[Image:Great dirhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />(4.{{sfrac|5|3}}.4.3.<br /> 4.{{sfrac|5|2}}.4.{{sfrac|3|2}})/2||I<sub>h</sub>||C92||W119||U75||K80||60||240||124||−56||No|| ||40{3}+60{4}+24{{{sfrac|5|2}}} |
||[[Image:Great dirhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<br />(4.{{sfrac|5|3}}.4.3.<br /> 4.{{sfrac|5|2}}.4.{{sfrac|3|2}})/2||I<sub>h</sub>||C92||W119||U75||K80||60||240||124||−56||No|| ||40{3}+60{4}+24{{{sfrac|5|2}}} |
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====Caso especial==== |
====Caso especial==== |
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{|class="wikitable sortable" style="text-align:center;font-size:small;" width=100% |
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!Nombre||Imagen||[[Símbolo de Wythoff|Símbolo<br />Wythoff]]||[[Configuración de vértices|Figura<br />vértices]]||Simetría||C#||W#||U#||K#||Vért.||Aristas||Caras||Chi||[[Orientabilidad|¿Orien-<br />table?]]||Dens.||Tipo caras |
!Nombre||Imagen||[[Símbolo de Wythoff|Símbolo<br />Wythoff]]||[[Configuración de vértices|Figura<br />vértices]]||Simetría||C#||W#||U#||K#||Vért.||Aristas||Caras||Chi||[[Orientabilidad|¿Orien-<br />table?]]||Dens.||Tipo caras |
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==Clave de las columnas== |
==Clave de las columnas== |
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* Indexación uniforme: U01–U80 ( |
* Indexación uniforme: U01–U80 (el tetraedro con el ídice 1, prismas en 76+) |
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* Indexación del software Kaleido: K01–K80 (K<sub>''n''</sub> = U<sub>''n''–5</sub> para ''n'' = 6 to 80) (prismas 1–5, tetraedro, etc. 6+) |
* Indexación del software Kaleido: K01–K80 (K<sub>''n''</sub> = U<sub>''n''–5</sub> para ''n'' = 6 to 80) (prismas 1–5, tetraedro, etc. 6+) |
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* Modelos de poliedro [[Anexo:Modelos de poliedros de Wenninger|Magnus Wenninger]]: W001-W119 |
* Modelos de poliedro de [[Anexo:Modelos de poliedros de Wenninger|Magnus Wenninger]]: W001-W119 |
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** 1–18: 5 regulares convexos y 13 semirregulares convexos |
** 1–18: 5 regulares convexos y 13 semirregulares convexos |
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** 20–22, 41: 4 regulares no convexos |
** 20–22, 41: 4 regulares no convexos |
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** 19–66: 48 estelaciones/compuestos especiales (no regulares no incluidos en esta lista) |
** 19–66: 48 estelaciones/compuestos especiales (los no regulares no incluidos en esta lista) |
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** 67–109: 43 |
** 67–109: 43 uniformes no convexos no romos |
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** 110–119: 10 |
** 110–119: 10 uniformes romos no convexos |
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* Chi: |
* Chi: la [[característica de Euler]], {{mvar|χ}}. Los teselados uniformes en el plano corresponden a la topología de un toro, con característica de Euler cero. |
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* Densidad: |
* Densidad: la [[Densidad (politopo)|densidad]] representa el número de vueltas de un poliedro alrededor de su centro. Esto se deja en blanco para poliedros que no son [[orientabilidad|orientables]] y [[hemipoliedro]]s (poliedros con caras que pasan por sus centros), para los cuales la densidad no está bien definida. |
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* Nota sobre las imágenes de figuras de |
* Nota sobre las imágenes de figuras de vértices: |
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** Las líneas blancas del polígono representan el polígono "figura de vértice". Las caras coloreadas que se incluyen en los vértices de las figuras ayudan a ver sus relaciones. Algunas de las caras que se cruzan se dibujan visualmente de forma incorrecta porque no se intersecan visualmente correctamente para mostrar qué partes están |
** Las líneas blancas del polígono representan el polígono de la "figura de vértice". Las caras coloreadas que se incluyen en los vértices de las figuras ayudan a ver sus relaciones. Algunas de las caras que se cruzan se dibujan visualmente de forma incorrecta porque no se intersecan visualmente correctamente para mostrar qué partes están por delante. |
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==Véase también== |
==Véase también== |
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* [[Anexo:Poliedros uniformes por figura de vértice]] |
* [[Anexo:Poliedros uniformes por figura de vértice]] |
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* [[Anexo:Poliedros uniformes por símbolo de Wythoff]] |
* [[Anexo:Poliedros uniformes por símbolo de Wythoff]] |
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* [[Anexo:Poliedros uniformes por el |
* [[Anexo:Poliedros uniformes por el triángulo de Schwarz]] |
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* [[Anexo:Modelos de poliedros de Wenninger]] |
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==Referencias== |
==Referencias== |
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* [http://www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator] – Software capaz de generar e imprimir redes para todos los poliedros uniformes. Se utiliza para crear la mayoría de las imágenes de esta página. |
* [http://www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator] – Software capaz de generar e imprimir redes para todos los poliedros uniformes. Se utiliza para crear la mayoría de las imágenes de esta página. |
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* [http://www.software3d.com/Uniform.php Modelos de papel] |
* [http://www.software3d.com/Uniform.php Modelos de papel] |
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* Uniform indexing: U1-U80 |
* Uniform indexing: U1-U80 (el tetraedro con el índice 1) |
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** [https://web.archive.org/web/20060911064351/http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/polyhedra/ Poliedros uniformes (80), Paul Bourke] |
** [https://web.archive.org/web/20060911064351/http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/polyhedra/ Poliedros uniformes (80), Paul Bourke] |
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** {{MathWorld|UniformPolyhedron|Uniform Polyhedron}} |
** {{MathWorld|UniformPolyhedron|Uniform Polyhedron}} |
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| Línea 304: | Línea 304: | ||
** http://www.it-c.dk/edu/documentation/mathworks/math/math/u/u034.htm |
** http://www.it-c.dk/edu/documentation/mathworks/math/math/u/u034.htm |
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** http://www.buddenbooks.com/jb/uniform/ |
** http://www.buddenbooks.com/jb/uniform/ |
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* Kaleido Indexing: K1-K80 ( |
* Kaleido Indexing: K1-K80 (el prisma pentagonal con el índice 1) |
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** https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido |
** https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido |
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*** https://web.archive.org/web/20110927223146/http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf Solución uniforme para poliedros uniformes |
*** https://web.archive.org/web/20110927223146/http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf Solución uniforme para poliedros uniformes |
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Revisión actual - 11:59 6 nov 2023
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En geometría, un poliedro uniforme es un poliedro que tiene polígonos regulares como caras y es una figura isogonal (es decir, que es transitiva respecto a sus vértices, de forma que existe una isometría que permite aplicar un vértice cualquiera sobre cualquier otro). De ello se deduce que todos los vértices son congruentes y el poliedro tiene un alto grado de simetría rotacional y especular.[1]
Los poliedros uniformes se pueden dividir entre formas convexas con caras formadas por polígonos regurales convexos y aquellos cuyas caras tienen forma de estrella. Los poliedros estrellados tienen caras con forma de estrella o figras de vértice regulares o ambos tipos de elementos.
El listado incluye los siguientes poliedros:
- Los 75 poliedros uniformes no prismáticos
- Algunos representantes de los conjuntos infinitos de prisma y antiprismas
- Un poliedro degenerado, la figura de Skilling con aristas superpuestas
Se comprobó en Sopov (1970) que solo existen 75 poliedros uniformes además de las infinitas familias de prismas y antiprismas. John Skilling descubrió un ejemplo degenerado pasado por alto, al relajar la condición de que solo dos caras pueden encontrarse solamente en una arista. Este es un poliedro uniforme degenerado en lugar de un poliedro uniforme, porque algunos pares de aristas coinciden.
No se incluyen:
- Los compuestos poliédricos uniformes
- Los 40 poliedros uniformes degenerados con figuras de vértice potenciales que tienen aristas superpuestas (no contabilizados por Harold Scott MacDonald Coxeter)
- Las teselaciones uniformes (poliedros infinitos)
- 11 teselados uniformes convexos euclídeos
- 28 teselados uniformes no convexos o apeirogonales
- Un número infinito de teselados uniformes en el plano hiperbólico
- Cualquier polígono o polícoro
Indexación
[editar]Son de uso común cuatro esquemas de numeración para los poliedros uniformes, que se distinguen por letras:
- ['C] Coxeter et al., 1954, mostró las formas convexas como figuras 15 a 32; tres formas prismáticas, figuras 33–35; y las formas no convexas, figuras 36–92.
- [W] Wenninger, 1974, tiene 119 figuras: 1–5 para los sólidos platónicos, 6–18 para los sólidos de Arquímedes, 19–66 para las formas estrelladas, incluidos los 4 poliedros regulares no convexos, y terminó con 67–119 para los poliedros uniformes no convexos.
- [K] Kaleido, 1993: Las 80 figuras se agruparon por simetría: 1–5 como representantes de las infinitas familias de formas prismáticas con simetría diedral, 6–9 con simetría tetraédrica, 10–26 con simetría octaédrica, 27–80 con simetría icosaédrica.
- [U] Mathematica, 1993, sigue la serie Kaleido con las 5 formas prismáticas movidas al final, de modo que las formas no prismáticas se convierten en 1–75.
Nombres de poliedros por el número de lados
[editar]Hay nombres geométricos genéricos para los poliedros más comunes. Por ejemplo, los cinco sólidos platónicos se denominan tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, con 4, 6, 8, 12 y 20 lados respectivamente.
Tabla de poliedros
[editar]Las formas convexas se enumeran en orden de grado de configuración de vértices desde 3 caras/vértice en adelante, y en lados crecientes por cara. Este ordenamiento permite mostrar similitudes topológicas.
Poliedros uniformes convexos
[editar]| Nombre | Imagen | Tipo de Vértices |
Símbolo Wythoff |
Simetría | C# | W# | U# | K# | Vértices | Aristas | Caras | Tipo de caras |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro |  |
 3.3.3 |
3 | 2 3 | Td | C15 | W001 | U01 | K06 | 4 | 6 | 4 | 4{3} |
| Prisma triangular |  |
 3.4.4 |
2 3 | 2 | D3h | C33a | — | U76a | K01a | 6 | 9 | 5 | 2{3} +3{4} |
| Tetraedro truncado |  |
 3.6.6 |
2 3 | 3 | Td | C16 | W006 | U02 | K07 | 12 | 18 | 8 | 4{3} +4{6} |
| Cubo truncado |  |
 3.8.8 |
2 3 | 4 | Oh | C21 | W008 | U09 | K14 | 24 | 36 | 14 | 8{3} +6{8} |
| Dodecaedro truncado |  |
 3.10.10 |
2 3 | 5 | Ih | C29 | W010 | U26 | K31 | 60 | 90 | 32 | 20{3} +12{10} |
| Cubo |  |
 4.4.4 |
3 | 2 4 | Oh | C18 | W003 | U06 | K11 | 8 | 12 | 6 | 6{4} |
| Prisma pentagonal |  |
 4.4.5 |
2 5 | 2 | D5h | C33b | — | U76b | K01b | 10 | 15 | 7 | 5{4} +2{5} |
| Prisma hexagonal |  |
 4.4.6 |
2 6 | 2 | D6h | C33c | — | U76c | K01c | 12 | 18 | 8 | 6{4} +2{6} |
| Prisma octogonal |  |
 4.4.8 |
2 8 | 2 | D8h | C33e | — | U76e | K01e | 16 | 24 | 10 | 8{4} +2{8} |
| Prisma decagonal |  |
 4.4.10 |
2 10 | 2 | D10h | C33g | — | U76g | K01g | 20 | 30 | 12 | 10{4} +2{10} |
| Prisma dodecagonal |  |
 4.4.12 |
2 12 | 2 | D12h | C33i | — | U76i | K01i | 24 | 36 | 14 | 12{4} +2{12} |
| Octaedro truncado |  |
 4.6.6 |
2 4 | 3 | Oh | C20 | W007 | U08 | K13 | 24 | 36 | 14 | 6{4} +8{6} |
| Cuboctaedro truncado |  |
 4.6.8 |
2 3 4 | | Oh | C23 | W015 | U11 | K16 | 48 | 72 | 26 | 12{4} +8{6} +6{8} |
| Icosidodecaedro truncado |  |
 4.6.10 |
2 3 5 | | Ih | C31 | W016 | U28 | K33 | 120 | 180 | 62 | 30{4} +20{6} +12{10} |
| Dodecaedro |  |
 5.5.5 |
3 | 2 5 | Ih | C26 | W005 | U23 | K28 | 20 | 30 | 12 | 12{5} |
| Icosaedro truncado |  |
 5.6.6 |
2 5 | 3 | Ih | C27 | W009 | U25 | K30 | 60 | 90 | 32 | 12{5} +20{6} |
| Octaedro |  |
 3.3.3.3 |
4 | 2 3 | Oh | C17 | W002 | U05 | K10 | 6 | 12 | 8 | 8{3} |
| Antiprisma cuadrado |  |
 3.3.3.4 |
| 2 2 4 | D4d | C34a | — | U77a | K02a | 8 | 16 | 10 | 8{3} +2{4} |
| Antiprisma pentagonal |  |
 3.3.3.5 |
| 2 2 5 | D5d | C34b | — | U77b | K02b | 10 | 20 | 12 | 10{3} +2{5} |
| Antiprisma hexagonal |  |
 3.3.3.6 |
| 2 2 6 | D6d | C34c | — | U77c | K02c | 12 | 24 | 14 | 12{3} +2{6} |
| Antiprisma octogonal |  |
 3.3.3.8 |
| 2 2 8 | D8d | C34e | — | U77e | K02e | 16 | 32 | 18 | 16{3} +2{8} |
| Antiprisma decagonal |  |
 3.3.3.10 |
| 2 2 10 | D10d | C34g | — | U77g | K02g | 20 | 40 | 22 | 20{3} +2{10} |
| Antiprisma dodecagonal |  |
 3.3.3.12 |
| 2 2 12 | D12d | C34i | — | U77i | K02i | 24 | 48 | 26 | 24{3} +2{12} |
| Cuboctaedro |  |
 3.4.3.4 |
2 | 3 4 | Oh | C19 | W011 | U07 | K12 | 12 | 24 | 14 | 8{3} +6{4} |
| Rombicuboctaedro |  |
 3.4.4.4 |
3 4 | 2 | Oh | C22 | W013 | U10 | K15 | 24 | 48 | 26 | 8{3} +(6+12){4} |
| Rombicosidodecaedro |  |
 3.4.5.4 |
3 5 | 2 | Ih | C30 | W014 | U27 | K32 | 60 | 120 | 62 | 20{3} +30{4} +12{5} |
| Icosidodecaedro |  |
 3.5.3.5 |
2 | 3 5 | Ih | C28 | W012 | U24 | K29 | 30 | 60 | 32 | 20{3} +12{5} |
| Icosaedro |  |
 3.3.3.3.3 |
5 | 2 3 | Ih | C25 | W004 | U22 | K27 | 12 | 30 | 20 | 20{3} |
| Cubo romo |  |
 3.3.3.3.4 |
| 2 3 4 | O | C24 | W017 | U12 | K17 | 24 | 60 | 38 | (8+24){3} +6{4} |
| Dodecaedro romo |  |
 3.3.3.3.5 |
| 2 3 5 | I | C32 | W018 | U29 | K34 | 60 | 150 | 92 | (20+60){3} +12{5} |
Poliedros uniformes estrellados
[editar]Las formas que contienen solo caras convexas se enumeran en primer lugar, seguidas de las figuras con caras en forma de estrella.
Los poliedros uniformes | 52 3 3, | 52 32 32, | 53 52 3, | 32 53 3 52 y | (32) 53 (3) 52 tienen algunas caras que forman pares coplanarios. (Coxeter et al. 1954, págs. 423, 425, 426; Skilling 1975, pág. 123)
| Nombre | Imagen | Símbolo Wythoff |
Figura vértices |
Simetría | C# | W# | U# | K# | Vért. | Aristas | Caras | Chi | ¿Orien- table? |
Dens. | Tipo caras |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Octahemioctaedro |  |
32 3 | 3 |  6.32.6.3 |
Oh | C37 | W068 | U03 | K08 | 12 | 24 | 12 | 0 | Sí | 8{3}+4{6} | |
| Tetrahemihexaedro |  |
32 3 | 2 |  4.32.4.3 |
Td | C36 | W067 | U04 | K09 | 6 | 12 | 7 | 1 | No | 4{3}+3{4} | |
| Cubohemioctaedro |  |
43 4 | 3 |  6.43.6.4 |
Oh | C51 | W078 | U15 | K20 | 12 | 24 | 10 | −2 | No | 6{4}+4{6} | |
| Gran dodecaedro |
 |
52 | 2 5 |  (5.5.5.5.5)/2 |
Ih | C44 | W021 | U35 | K40 | 12 | 30 | 12 | −6 | Sí | 3 | 12{5} |
| Gran icosaedro |
 |
52 | 2 3 |  (3.3.3.3.3)/2 |
Ih | C69 | W041 | U53 | K58 | 12 | 30 | 20 | 2 | Sí | 7 | 20{3} |
| Gran icosidodecaedro ditrigonal |
 |
32 | 3 5 |  (5.3.5.3.5.3)/2 |
Ih | C61 | W087 | U47 | K52 | 20 | 60 | 32 | −8 | Sí | 6 | 20{3}+12{5} |
| Pequeño rombihexaedro |
 |
2 4 (32 42) | |  4.8.43.87 |
Oh | C60 | W086 | U18 | K23 | 24 | 48 | 18 | −6 | No | 12{4}+6{8} | |
| Pequeño cubicuboctaedro |
 |
32 4 | 4 |  8.32.8.4 |
Oh | C38 | W069 | U13 | K18 | 24 | 48 | 20 | −4 | Sí | 2 | 8{3}+6{4}+6{8} |
| Gran rombicuboctaedro |
 |
32 4 | 2 |  4.32.4.4 |
Oh | C59 | W085 | U17 | K22 | 24 | 48 | 26 | 2 | Sí | 5 | 8{3}+(6+12){4} |
| Pequeño dodecahemi- dodecaedro |
 |
54 5 | 5 |  10.54.10.5 |
Ih | C65 | W091 | U51 | K56 | 30 | 60 | 18 | −12 | No | 12{5}+6{10} | |
| Gran dodecahemi- cosaedro |
 |
54 5 | 3 |  6.54.6.5 |
Ih | C81 | W102 | U65 | K70 | 30 | 60 | 22 | −8 | No | 12{5}+10{6} | |
| Pequeño icosihemi- dodecaedro |
 |
32 3 | 5 |  10.32.10.3 |
Ih | C63 | W089 | U49 | K54 | 30 | 60 | 26 | −4 | No | 20{3}+6{10} | |
| Pequeño dodecicosaedro |
 |
3 5 (32 54) | |  10.6.109.65 |
Ih | C64 | W090 | U50 | K55 | 60 | 120 | 32 | −28 | No | 20{6}+12{10} | |
| Pequeño rombidodecaedro |
 |
2 5 (32 52) | |  10.4.109.43 |
Ih | C46 | W074 | U39 | K44 | 60 | 120 | 42 | −18 | No | 30{4}+12{10} | |
| Pequeño dodecicosi- dodecaedro |
 |
32 5 | 5 |  10.32.10.5 |
Ih | C42 | W072 | U33 | K38 | 60 | 120 | 44 | −16 | Sí | 2 | 20{3}+12{5}+12{10} |
| Rombicosaedro |  |
2 3 (54 52) | |  6.4.65.43 |
Ih | C72 | W096 | U56 | K61 | 60 | 120 | 50 | −10 | No | 30{4}+20{6} | |
| Gran icosicosi- dodecaedro |
 |
32 5 | 3 |  6.32.6.5 |
Ih | C62 | W088 | U48 | K53 | 60 | 120 | 52 | −8 | Sí | 6 | 20{3}+12{5}+20{6} |
| Prisma pentagrámico |
 |
2 52 | 2 |  52.4.4 |
D5h | C33b | — | U78a | K03a | 10 | 15 | 7 | 2 | Sí | 2 | 5{4}+2{52} |
| Prisma heptagrámico (7/2) |
 |
2 72 | 2 |  72.4.4 |
D7h | C33d | — | U78b | K03b | 14 | 21 | 9 | 2 | Sí | 2 | 7{4}+2{72} |
| Prisma heptagrámico (7/3) |
 |
2 73 | 2 |  73.4.4 |
D7h | C33d | — | U78c | K03c | 14 | 21 | 9 | 2 | Sí | 3 | 7{4}+2{73} |
| Prisma octagrámico |
 |
2 83 | 2 |  83.4.4 |
D8h | C33e | — | U78d | K03d | 16 | 24 | 10 | 2 | Sí | 3 | 8{4}+2{83} |
| Antiprisma pentagrámico |  |
| 2 2 52 |  52.3.3.3 |
D5h | C34b | — | U79a | K04a | 10 | 20 | 12 | 2 | Sí | 2 | 10{3}+2{52} |
| Antiprisma pentagrámico cruzado |
 |
| 2 2 53 |  53.3.3.3 |
D5d | C35a | — | U80a | K05a | 10 | 20 | 12 | 2 | Sí | 3 | 10{3}+2{52} |
| Antiprisma heptagrámico (7/2) |
 |
| 2 2 72 |  72.3.3.3 |
D7h | C34d | — | U79b | K04b | 14 | 28 | 16 | 2 | Sí | 3 | 14{3}+2{72} |
| Antiprisma heptagrámico (7/3) |
 |
| 2 2 73 |  73.3.3.3 |
D7d | C34d | — | U79c | K04c | 14 | 28 | 16 | 2 | Sí | 3 | 14{3}+2{73} |
| Antiprisma heptagrámico cruzado |
 |
| 2 2 74 |  74.3.3.3 |
D7h | C35b | — | U80b | K05b | 14 | 28 | 16 | 2 | Sí | 4 | 14{3}+2{73} |
| Antiprisma octagrámico |
 |
| 2 2 83 |  83.3.3.3 |
D8d | C34e | — | U79d | K04d | 16 | 32 | 18 | 2 | Sí | 3 | 16{3}+2{83} |
| Antiprisma octagrámico cruzado |
 |
| 2 2 85 |  85.3.3.3 |
D8d | C35c | — | U80c | K05c | 16 | 32 | 18 | 2 | Sí | 5 | 16{3}+2{83} |
| Pequeño dodecaedro estrellado |
 |
5 | 2 52 |  (52)5 |
Ih | C43 | W020 | U34 | K39 | 12 | 30 | 12 | −6 | Sí | 3 | 12{52} |
| Gran dodecaedro estrellado |
 |
3 | 2 52 |  (52)3 |
Ih | C68 | W022 | U52 | K57 | 20 | 30 | 12 | 2 | Sí | 7 | 12{52} |
| Dodeca- dodecaedro ditrigonal |
 |
3 | 53 5 |  (53.5)3 |
Ih | C53 | W080 | U41 | K46 | 20 | 60 | 24 | −16 | Sí | 4 | 12{5}+12{52} |
| Pequeño icosidodecaedro ditrigonal |
 |
3 | 52 3 |  (52.3)3 |
Ih | C39 | W070 | U30 | K35 | 20 | 60 | 32 | −8 | Sí | 2 | 20{3}+12{52} |
| Hexaedro truncado estrellado |
 |
2 3 | 43 |  83.83.3 |
Oh | C66 | W092 | U19 | K24 | 24 | 36 | 14 | 2 | Sí | 7 | 8{3}+6{83} |
| Gran rombihexaedro |
 |
2 43 (32 42) | |  4.83.43.85 |
Oh | C82 | W103 | U21 | K26 | 24 | 48 | 18 | −6 | No | 12{4}+6{83} | |
| Gran cubicuboctaedro |
 |
3 4 | 43 |  83.3.83.4 |
Oh | C50 | W077 | U14 | K19 | 24 | 48 | 20 | −4 | Sí | 4 | 8{3}+6{4}+6{83} |
| Gran dodecahemi- dodecaedro |
 |
53 52 | 53 |  103.53.103.52 |
Ih | C86 | W107 | U70 | K75 | 30 | 60 | 18 | −12 | No | 12{52}+6{103} | |
| Pequeño dodecahemi- cosaedro |
 |
53 52 | 3 |  6.53.6.52 |
Ih | C78 | W100 | U62 | K67 | 30 | 60 | 22 | −8 | No | 12{52}+10{6} | |
| Dodeca- dodecaedro |
 |
2 | 5 52 |  (52.5)2 |
Ih | C45 | W073 | U36 | K41 | 30 | 60 | 24 | −6 | Sí | 3 | 12{5}+12{52} |
| Gran icosihemi- dodecaedro |
 |
32 3 | 53 |  103.32.103.3 |
Ih | C85 | W106 | U71 | K76 | 30 | 60 | 26 | −4 | No | 20{3}+6{103} | |
| Gran icosidodecaedro |
 |
2 | 3 52 |  (52.3)2 |
Ih | C70 | W094 | U54 | K59 | 30 | 60 | 32 | 2 | Sí | 7 | 20{3}+12{52} |
| Cuboctaedro cubitruncado |
 |
43 3 4 | |  83.6.8 |
Oh | C52 | W079 | U16 | K21 | 48 | 72 | 20 | −4 | Sí | 4 | 8{6}+6{8}+6{83} |
| Gran cuboctaedro truncado |
 |
43 2 3 | |  83.4.65 |
Oh | C67 | W093 | U20 | K25 | 48 | 72 | 26 | 2 | Sí | 1 | 12{4}+8{6}+6{83} |
| Gran dodecaedro truncado |
 |
2 52 | 5 |  10.10.52 |
Ih | C47 | W075 | U37 | K42 | 60 | 90 | 24 | −6 | Sí | 3 | 12{52}+12{10} |
| Pequeño dodecaedro truncado estrellado |
 |
2 5 | 53 |  103.103.5 |
Ih | C74 | W097 | U58 | K63 | 60 | 90 | 24 | −6 | Sí | 9 | 12{5}+12{103} |
| Gran dodecaedro truncado estrellado |
 |
2 3 | 53 |  103.103.3 |
Ih | C83 | W104 | U66 | K71 | 60 | 90 | 32 | 2 | Sí | 13 | 20{3}+12{103} |
| Gran icosaedro truncado |
 |
2 52 | 3 |  6.6.52 |
Ih | C71 | W095 | U55 | K60 | 60 | 90 | 32 | 2 | Sí | 7 | 12{52}+20{6} |
| Gran dodecicosaedro |
 |
3 53(32 52) | |  6.103.65.107 |
Ih | C79 | W101 | U63 | K68 | 60 | 120 | 32 | −28 | No | 20{6}+12{103} | |
| Gran rombidodecaedro |
 |
2 53 (32 54) | |  4.103.43.107 |
Ih | C89 | W109 | U73 | K78 | 60 | 120 | 42 | −18 | No | 30{4}+12{103} | |
| Icosidodeca- dodecaedro |
 |
53 5 | 3 |  6.53.6.5 |
Ih | C56 | W083 | U44 | K49 | 60 | 120 | 44 | −16 | Sí | 4 | 12{5}+12{52}+20{6} |
| Pequeño dodecicosi- dodecaedro ditrigonal |
 |
53 3 | 5 |  10.53.10.3 |
Ih | C55 | W082 | U43 | K48 | 60 | 120 | 44 | −16 | Sí | 4 | 20{3}+12{52}+12{10} |
| Gran dodecicosi- dodecaedro ditrigonal |
 |
3 5 | 53 |  103.3.103.5 |
Ih | C54 | W081 | U42 | K47 | 60 | 120 | 44 | −16 | Sí | 4 | 20{3}+12{5}+12{103} |
| Gran dodecicosi- dodecaedro |
 |
52 3 | 53 |  103.52.103.3 |
Ih | C77 | W099 | U61 | K66 | 60 | 120 | 44 | −16 | Sí | 10 | 20{3}+12{52}+12{103} |
| Pequeño icosicosi- dodecaedro |
 |
52 3 | 3 |  6.52.6.3 |
Ih | C40 | W071 | U31 | K36 | 60 | 120 | 52 | −8 | Sí | 2 | 20{3}+12{52}+20{6} |
| Rombidodeca- dodecaedro |
 |
52 5 | 2 |  4.52.4.5 |
Ih | C48 | W076 | U38 | K43 | 60 | 120 | 54 | −6 | Sí | 3 | 30{4}+12{5}+12{52} |
| Gran rombicosi- dodecaedro |
 |
53 3 | 2 |  4.53.4.3 |
Ih | C84 | W105 | U67 | K72 | 60 | 120 | 62 | 2 | Sí | 13 | 20{3}+30{4}+12{52} |
| Dodeca- dodecaedro icositruncado |
 |
3 5 53 | |  103.6.10 |
Ih | C57 | W084 | U45 | K50 | 120 | 180 | 44 | −16 | Sí | 4 | 20{6}+12{10}+12{103} |
| Dodeca- dodecaedro truncado |
 |
2 5 53 | |  103.4.109 |
Ih | C75 | W098 | U59 | K64 | 120 | 180 | 54 | −6 | Sí | 3 | 30{4}+12{10}+12{103} |
| Gran icosidodecaedro truncado |
 |
2 3 53 | |  103.4.6 |
Ih | C87 | W108 | U68 | K73 | 120 | 180 | 62 | 2 | Sí | 13 | 30{4}+20{6}+12{103} |
| Dodeca- dodecaedro romo |
|
| 2 52 5 |  3.3.52.3.5 |
I | C49 | W111 | U40 | K45 | 60 | 150 | 84 | −6 | Sí | 3 | 60{3}+12{5}+12{52} |
| Dodeca- dodecaedro romo invertido |
 |
| 53 2 5 |  3.53.3.3.5 |
I | C76 | W114 | U60 | K65 | 60 | 150 | 84 | −6 | Sí | 9 | 60{3}+12{5}+12{52} |
| Gran icosidodecaedro romo |
 |
| 2 52 3 |  34.52 |
I | C73 | W113 | U57 | K62 | 60 | 150 | 92 | 2 | Sí | 7 | (20+60){3}+12{52} |
| Gran icosidodecaedro romo invertido |
 |
| 53 2 3 |  34.53 |
I | C88 | W116 | U69 | K74 | 60 | 150 | 92 | 2 | Sí | 13 | (20+60){3}+12{52} |
| Gran icosidodecaedro retrorromo |
 |
| 2 32 53 |  (34.52)/2 |
I | C90 | W117 | U74 | K79 | 60 | 150 | 92 | 2 | Sí | 37 | (20+60){3}+12{52} |
| Gran dodecicosi- dodecaedro romo |
 |
| 53 52 3 |  33.53.3.52 |
I | C80 | W115 | U64 | K69 | 60 | 180 | 104 | −16 | Sí | 10 | (20+60){3}+(12+12){52} |
| Icosidodeca- dodecaedro romo |
 |
| 53 3 5 |  33.5.3.53 |
I | C58 | W112 | U46 | K51 | 60 | 180 | 104 | −16 | Sí | 4 | (20+60){3}+12{5}+12{52} |
| Pequeño icosicosi- dodecaedro romo |
 |
| 52 3 3 |  35.52 |
Ih | C41 | W110 | U32 | K37 | 60 | 180 | 112 | −8 | Sí | 2 | (40+60){3}+12{52} |
| Pequeño icosicosi- dodecaedro retrorromo |
 |
| 32 32 52 |  (35.52)/2 |
Ih | C91 | W118 | U72 | K77 | 60 | 180 | 112 | −8 | Sí | 38 | (40+60){3}+12{52} |
| Gran dirrombicosi- dodecaedro |
 |
| 32 53 3 52 |  (4.53.4.3. 4.52.4.32)/2 |
Ih | C92 | W119 | U75 | K80 | 60 | 240 | 124 | −56 | No | 40{3}+60{4}+24{52} |
Caso especial
[editar]| Nombre | Imagen | Símbolo Wythoff |
Figura vértices |
Simetría | C# | W# | U# | K# | Vért. | Aristas | Caras | Chi | ¿Orien- table? |
Dens. | Tipo caras |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Gran dirrombi- dodecaedro |
 |
| (32) 53 (3) 52 |  (52.4.3.3.3.4. 53. 4.32.32.32.4)/3 |
Ih | — | — | — | — | 60 | 360 (*) | 204 | −96 | No | 120{3}+60{4}+24{52} |
El gran dirrombidodecaedro birromo tiene 240 de sus 360 aristas coincidiendo en el espacio en 120 pares. Debido a esta degeneración de aristas, no siempre se considera un poliedro uniforme.
Clave de las columnas
[editar]- Indexación uniforme: U01–U80 (el tetraedro con el ídice 1, prismas en 76+)
- Indexación del software Kaleido: K01–K80 (Kn = Un–5 para n = 6 to 80) (prismas 1–5, tetraedro, etc. 6+)
- Modelos de poliedro de Magnus Wenninger: W001-W119
- 1–18: 5 regulares convexos y 13 semirregulares convexos
- 20–22, 41: 4 regulares no convexos
- 19–66: 48 estelaciones/compuestos especiales (los no regulares no incluidos en esta lista)
- 67–109: 43 uniformes no convexos no romos
- 110–119: 10 uniformes romos no convexos
- Chi: la característica de Euler, χ. Los teselados uniformes en el plano corresponden a la topología de un toro, con característica de Euler cero.
- Densidad: la densidad representa el número de vueltas de un poliedro alrededor de su centro. Esto se deja en blanco para poliedros que no son orientables y hemipoliedros (poliedros con caras que pasan por sus centros), para los cuales la densidad no está bien definida.
- Nota sobre las imágenes de figuras de vértices:
- Las líneas blancas del polígono representan el polígono de la "figura de vértice". Las caras coloreadas que se incluyen en los vértices de las figuras ayudan a ver sus relaciones. Algunas de las caras que se cruzan se dibujan visualmente de forma incorrecta porque no se intersecan visualmente correctamente para mostrar qué partes están por delante.
Véase también
[editar]- Anexo:Poliedros uniformes por figura de vértice
- Anexo:Poliedros uniformes por símbolo de Wythoff
- Anexo:Poliedros uniformes por el triángulo de Schwarz
- Anexo:Modelos de poliedros de Wenninger
Referencias
[editar]- ↑ Proceedings Of The Conference In Honour Of The 90th Birthday Of Freeman Dyson. World Scientific. 2014. pp. 343 de 500. ISBN 9789814590129. Consultado el 15 de agosto de 2022.
Bibliografía
[editar]- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). «Uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 246 (916): 401-450. Bibcode:1954RSPTA.246..401C. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183. doi:10.1098/rsta.1954.0003.
- Skilling, J. (1975). «The complete set of uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 278 (1278): 111-135. Bibcode:1975RSPTA.278..111S. ISSN 0080-4614. JSTOR 74475. MR 0365333. S2CID 122634260. doi:10.1098/rsta.1975.0022.
- Sopov, S. P. (1970). «A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra». Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139-156. MR 0326550.
- Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
- Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54325-8.
Enlaces externos
[editar]- Stella: Polyhedron Navigator – Software capaz de generar e imprimir redes para todos los poliedros uniformes. Se utiliza para crear la mayoría de las imágenes de esta página.
- Modelos de papel
- Uniform indexing: U1-U80 (el tetraedro con el índice 1)
- Poliedros uniformes (80), Paul Bourke
- Weisstein, Eric W. «Uniform Polyhedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly
- https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/
- http://www.it-c.dk/edu/documentation/mathworks/math/math/u/u034.htm
- http://www.buddenbooks.com/jb/uniform/
- Kaleido Indexing: K1-K80 (el prisma pentagonal con el índice 1)
- También
| Control de autoridades |
|
|---|
Datos: Q3253325