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Diferencia entre revisiones de «Espacio cotangente»

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En [[geometría diferencial]], el '''espacio cotangente''' es un [[espacio vectorial]] asociado a un punto <math>x</math> en una [[variedad diferenciable]] <math>\mathcal M</math>; se puede definir el espacio cotangente para cada punto de una variedad diferenciable. Habitualmente, el espacio cotangente, <math>T^*_x\!\mathcal M</math> se define como el [[espacio dual]] del [[espacio tangente]] en ''<math>x</math>'', <math>T_x\mathcal M</math>, aunque existen definiciones más directas (ver debajo). Los elementos del espacio cotangente se suelen llamar '''vectores cotangentes''' o '''covectores tangentes'''.
En [[geometría diferencial]], el '''espacio cotangente''' es un [[espacio vectorial]] asociado a un punto <math>x</math> en una [[variedad diferenciable]] <math>\mathcal M</math>; se puede definir el espacio cotangente para cada punto de una variedad diferenciable. Habitualmente, el espacio cotangente, <math>T^*_x\!\mathcal M</math> se define como el [[espacio dual]] del [[espacio tangente]] en ''<math>x</math>'', <math>T_x\mathcal M</math>, aunque existen definiciones más directas (ver debajo). Los elementos del espacio cotangente se suelen llamar '''vectores cotangentes''' o '''covectores tangentes'''.


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La aplicación diferencial nos da una relación entre las dos definiciones alternativas del espacio cotangente dadas más arriba. Dada una función {{nowrap|''f'' ∈ ''I''<sub>''x''</sub>}} (una función suave que se anula en ''x'') podemos crear el funcional lineal d''f''<sub>''x''</sub> igual que arriba. Como la aplicación d se restringe a 0 en ''I''<sub>''x''</sub><sup>2</sup> (el lector interesado puede comprobar esto por su cuenta), d desciende a una aplicación que va desde {{nowrap|''I''<sub>''x''</sub> / ''I''<sub>''x''</sub><sup>2</sup>}} al espacio dual del espacio tangente, (''T''<sub>''x''</sub>''M'')<sup>*</sup>. Uno puede mostrar que esta aplicación es un isomorfismo, probando la equivalencia de ambas definiciones.
La aplicación diferencial nos da una relación entre las dos definiciones alternativas del espacio cotangente dadas más arriba. Dada una función {{nowrap|''f'' ∈ ''I''<sub>''x''</sub>}} (una función suave que se anula en ''x'') podemos crear el funcional lineal d''f''<sub>''x''</sub> igual que arriba. Como la aplicación d se restringe a 0 en ''I''<sub>''x''</sub><sup>2</sup> (el lector interesado puede comprobar esto por su cuenta), d desciende a una aplicación que va desde {{nowrap|''I''<sub>''x''</sub> / ''I''<sub>''x''</sub><sup>2</sup>}} al espacio dual del espacio tangente, (''T''<sub>''x''</sub>''M'')<sup>*</sup>. Uno puede mostrar que esta aplicación es un isomorfismo, probando la equivalencia de ambas definiciones.


==The pullback of a smooth map==
==El ''pullback'' de una función suave==


Just as every differentiable map {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} between manifolds induces a linear map (called the ''pushforward'' or ''derivative'') between the tangent spaces
Al igual que toda función diferenciable {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} entre variedades induce una aplicación lineal (llamada el ''pushwforward'' o ''derivada'') entre los respectivos espacios tangentes
:<math>f_{*}^{}\colon T_x M \to T_{f(x)} N</math>
:<math>f_{*}^{}\colon T_x M \to T_{f(x)} N</math>
every such map induces a linear map (called the ''[[pullback (differential geometry)|pullback]]'') between the cotangent spaces, only this time in the reverse direction:
cada función de estas características induce una aplicación lineal (llamada el ''[[pullback (geometría diferencial)|pullback]]'') entre los espacios cotangentes, solo que esta vez en la dirección opuesta:
:<math>f^{*}\colon T_{f(x)}^{*} N \to T_{x}^{*} M .</math>
:<math>f^{*}\colon T_{f(x)}^{*} N \to T_{x}^{*} M .</math>
The pullback is naturally defined as the dual (or transpose) of the [[pushforward (differential)|pushforward]]. Unraveling the definition, this means the following:
El pullback se define naturalmente como el dual (o traspuesta) del [[pushforward (differential)|pushforward]]. Analizando la definición, esto significa lo siguiente:
:<math>(f^{*}\theta)(X_x) = \theta(f_{*}^{}X_x) ,</math>
:<math>(f^{*}\theta)(X_x) = \theta(f_{*}^{}X_x) ,</math>
where {{nowrap|''θ'' ∈ ''T''<sub>''f''(''x'')</sub><sup>*</sup>''N''}} and {{nowrap|''X''<sub>''x''</sub> ∈ ''T''<sub>''x''</sub>''M''}}. Note carefully where everything lives.
donde {{nowrap|''θ'' ∈ ''T''<sub>''f''(''x'')</sub><sup>*</sup>''N''}} y {{nowrap|''X''<sub>''x''</sub> ∈ ''T''<sub>''x''</sub>''M''}}. Observar detenidamente donde vive cada cosa.


If we define tangent covectors in terms of equivalence classes of smooth maps vanishing at a point then the definition of the pullback is even more straightforward. Let ''g'' be a smooth function on ''N'' vanishing at ''f''(''x''). Then the pullback of the covector determined by ''g'' (denoted d''g'') is given by
Si definimos los vectores contangentes en términos de clases de equivalencia de funciones suaves que se anulan en un punto entonces la definición de pullback es todavía más directa. Sea ''g'' una función suave en ''N'' que se anula en ''f''(''x''). Entonces el pullback del vector cotangente determinado por ''g'' (denotado d''g'') viene dado por
:<math>f^{*}\mathrm dg = \mathrm d(g \circ f).</math>
:<math>f^{*}\mathrm dg = \mathrm d(g \circ f).</math>
That is, it is the equivalence class of functions on ''M'' vanishing at ''x'' determined by {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}}.
Esto es, es la clase de equivalencia de funciones en ''M'' que se anulan en ''x'' determinadas por {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}}.


==Exterior powers==
==Potencias Exteriores==


The ''k''-th [[exterior power]] of the cotangent space, denoted Λ<sup>''k''</sup>(''T''<sub>''x''</sub><sup>*</sup>''M''), is another important object in differential geometry. Vectors in the ''k''th exterior power, or more precisely sections of the ''k''-th exterior power of the [[cotangent bundle]], are called [[differential form|differential ''k''-forms]]. They can be thought of as alternating, [[multilinear map]]s on ''k'' tangent vectors.
La ''k''-ésima [[potencia exterior]] del espacio cotangente, denotada por Λ<sup>''k''</sup>(''T''<sub>''x''</sub><sup>*</sup>''M''), es otro objeto importante en geometría diferencial. Vectores en la ''k''-ésima potencia exterior, o para ser más exactos secciones de la ''k''-ésima potencia del [[fibrado cotangente]], se llaman [[formas diferenciales|''k''-formas diferenciales]]. Pueden pensarse como aplicaciones multilineales alternadas en ''k''-vectores tangentes.
Por esta razón, se suelen llamar a los vectores cotangentes ''1''-formas.
For this reason, tangent covectors are frequently called ''[[one-form]]s''.

== References ==


== Bibliografía ==
* {{Citation | last1=Abraham | first1=Ralph H. | author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E. | author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of mechanics | publisher=Benjamin-Cummings | location=London | isbn=978-0-8053-0102-1 | year=1978}}
* {{Citation | last1=Abraham | first1=Ralph H. | author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E. | author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of mechanics | publisher=Benjamin-Cummings | location=London | isbn=978-0-8053-0102-1 | year=1978}}
* {{Citation | last1=Jost | first1=Jürgen | title=Riemannian Geometry and Geometric Analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=4th | isbn=978-3-540-25907-7 | year=2005}}
* {{Citation | last1=Jost | first1=Jürgen | title=Riemannian Geometry and Geometric Analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=4th | isbn=978-3-540-25907-7 | year=2005}}
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* {{Citation | last1=Misner | first1=Charles W. | author1-link=Charles W. Misner | last2=Thorne | first2=Kip | author2-link=Kip Thorne | last3=Wheeler | first3=John Archibald | author3-link=John Archibald Wheeler | title=[[Gravitation (book)|Gravitation]] | publisher=W. H. Freeman | isbn=978-0-7167-0344-0 | year=1973}}
* {{Citation | last1=Misner | first1=Charles W. | author1-link=Charles W. Misner | last2=Thorne | first2=Kip | author2-link=Kip Thorne | last3=Wheeler | first3=John Archibald | author3-link=John Archibald Wheeler | title=[[Gravitation (book)|Gravitation]] | publisher=W. H. Freeman | isbn=978-0-7167-0344-0 | year=1973}}


[[Categoría:Topología diferencial]]
{{Manifolds}}
[[Categoría:Cálculo tensorial]]

{{DEFAULTSORT:Cotangent Space}}
[[Category:Differential topology]]
[[Category:Tensors]]

Revisión actual - 10:07 30 may 2024

En geometría diferencial, el espacio cotangente es un espacio vectorial asociado a un punto en una variedad diferenciable ; se puede definir el espacio cotangente para cada punto de una variedad diferenciable. Habitualmente, el espacio cotangente, se define como el espacio dual del espacio tangente en , , aunque existen definiciones más directas (ver debajo). Los elementos del espacio cotangente se suelen llamar vectores cotangentes o covectores tangentes.

Propiedades

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Todos los espacios cotangentes en puntos de una variedad conexa tienen la misma dimensión, que es la misma dimensión que la de la variedad. Todos los espacios cotangentes de una variedad pueden ser "pegados" (e.d. unidos y dados una topología) para formar una variedad diferenciable de doble dimensión, el fibrado cotangente de la variedad.

El espacio tangente y cotangente en un punto son ambos espacios vectoriales reales de la misma dimensión, y son por lo tanto isomorfos mediante muchos posibles isomorfismos. Si introducimos una métrica Riemanniana o una forma simpléctica da pie a un isomorfismo natural entre el espacio tangente y el cotangente en un punto, asociando a cualquier vector cotangente un vector tangente canónico.

Definiciones formales

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Definición como funcionales lineales

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Sea una variedad diferenciable y sea un punto de . Sea ahora el espacio tangente en . Entonces el espacio cotangente en x se define como el espacio dual de :

En particular, los elementos del espacio cotangente son funcionales lineales en . Esto es, cada elemento es una aplicación lineal

donde es el cuerpo subyacente de espacio vectorial en cuestión, por ejemplo, el cuerpo de los números reales. Los elementos de se llaman vectores cotangentes.

Definición Alternativa

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En algunos casos, es preferible tener un definición directa del espacio cotangente que no depende del espacio tangente. Tal definición se puede dar en términos de clases de equivalencia de funciones suaves en . Informalmente, diremos que dos funciones suaves f y g son equivalentes en un punto si la derivada de la función f-g se anula en . El espacio cotangente consistirá de todos los posibles comportamientos de la derivada de una función cerca de .


Sea una variedad diferenciable y x un punto en . Sea el ideal de todas las funciones que se anulan en , y sea el conjunto de funciones de la forma , where . Entonces, y son ambos espacios vectoriales reales y el espacio cotangente se puede definir como el Espacio cociente probando que ambos espacios son isomorfos entre ellos.

Esta formulación es análoga a la construcción del espacio cotangente para definir el espacio tangente a una variedad algebraica con la Topología de Zariski en geometría algeraica. Esta construcción también puede generalizarse a espacios de anillos locales.

La diferencial de una función

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Sea M una variedad diferenciable y sea fC(M) una función suave. La diferencial de f en un punto x es la aplicación

dfx(Xx) = Xx(f)

donde Xx es un vector tangente en x, pensado como una forma de derivar. Esto es, es la Derivada de Lie de f en la dirección de X, y uno tiene df(X) = X(f). Equivalentemente, podemos pensar en los vectores tangentes como tangentes a curvas, y escribir

dfx(γ′(0)) = (fγ)′(0)

En cualquier caso, dfx es una aplicación lineal en TxM y por lo tanto es un vector cotangente en x.

Podemos definir la aplicación diferencial d : C(M) → Tx*M en un punto x como la aplicación que manda f a dfx. Las propiedades de la aplicación diferencial incluyen:

  1. d es una aplicación lineal: d(af + bg) = a df + b dg para todas constantes a y b,
  2. d(fg)x = f(x) dgx + g(x) dfx,

La aplicación diferencial nos da una relación entre las dos definiciones alternativas del espacio cotangente dadas más arriba. Dada una función fIx (una función suave que se anula en x) podemos crear el funcional lineal dfx igual que arriba. Como la aplicación d se restringe a 0 en Ix2 (el lector interesado puede comprobar esto por su cuenta), d desciende a una aplicación que va desde Ix / Ix2 al espacio dual del espacio tangente, (TxM)*. Uno puede mostrar que esta aplicación es un isomorfismo, probando la equivalencia de ambas definiciones.

El pullback de una función suave

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Al igual que toda función diferenciable f : MN entre variedades induce una aplicación lineal (llamada el pushwforward o derivada) entre los respectivos espacios tangentes

cada función de estas características induce una aplicación lineal (llamada el pullback) entre los espacios cotangentes, solo que esta vez en la dirección opuesta:

El pullback se define naturalmente como el dual (o traspuesta) del pushforward. Analizando la definición, esto significa lo siguiente:

donde θTf(x)*N y XxTxM. Observar detenidamente donde vive cada cosa.

Si definimos los vectores contangentes en términos de clases de equivalencia de funciones suaves que se anulan en un punto entonces la definición de pullback es todavía más directa. Sea g una función suave en N que se anula en f(x). Entonces el pullback del vector cotangente determinado por g (denotado dg) viene dado por

Esto es, es la clase de equivalencia de funciones en M que se anulan en x determinadas por gf.

Potencias Exteriores

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La k-ésima potencia exterior del espacio cotangente, denotada por Λk(Tx*M), es otro objeto importante en geometría diferencial. Vectores en la k-ésima potencia exterior, o para ser más exactos secciones de la k-ésima potencia del fibrado cotangente, se llaman k-formas diferenciales. Pueden pensarse como aplicaciones multilineales alternadas en k-vectores tangentes. Por esta razón, se suelen llamar a los vectores cotangentes 1-formas.

Bibliografía

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