Ir al contenido

Diferencia entre revisiones de «Teorema del seno»

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Explorar historial interactivamente
← Ir a diferencia anterior
Contenido eliminado Contenido añadido
VisualWikitexto
Sin resumen de edición
Johan045 (discusión · contribs.)
27 ediciones
 
(No se muestran 23 ediciones intermedias de 16 usuarios)
Línea 1: Línea 1:
[[Archivo:Ley de los senos.svg|thumb|Teorema del seno.]]En [[trigonometría]] plana, el '''teorema de los senos'''<ref>Pogorélov. ''Geometría elemental''. Editorial Mir, Moscú(1977)</ref> o también conocido como '''ley de los senos'''<ref>Larson. ''Trigonometría''. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)</ref> es una proporción entre las longitudes de los lados de un [[triángulo]] y los [[seno (matemáticas)|senos]] de sus correspondientes [[ángulo]]s opuestos.
[[Archivo:Ley de los senos.svg|thumb|Teorema del seno.]]En [[trigonometría]] plana, el '''teorema del seno''' o '''teorema de los senos'''<ref>Pogorélov. ''Geometría elemental''. Editorial Mir, Moscú(1977)</ref>, es una proporción entre las longitudes de los lados de un [[triángulo]] y los [[seno (matemáticas)|senos]] de sus correspondientes [[ángulo]]s opuestos.


Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
{{Teorema|Si en un triángulo ''ABC'', las medidas de los lados opuestos a los ángulos ''A'', ''B'' y ''C'' son respectivamente ''a'', ''b'', ''c'', entonces:
{{Teorema|Si en un triángulo ''ABC'', con respectivos ángulos internos ''α'', ''β'' y ''γ'', cuyas medidas de los lados opuestos son ''a'', ''b'', ''c'', entonces:
{{Ecuación|<math>\frac{a}{\sin\,A} =\frac{b}{\sin\,B} =\frac{c}{\sin\,C} </math>}}|título= Teorema de los senos }}
{{Ecuación|<math>\frac{a}{\sen\alpha} =\frac{b}{\sen\beta} =\frac{c}{\sen\gamma} </math>}}|título= Teorema de los senos }}


== Historia ==
== Historia ==


Según [[Ubiratàn D'Ambrosio]] y [[Helaine Selin]], la ley esférica del seno fue descubierta en el siglo X. Ha sido indistintamente atribuido a [[Abu-Mahmud Khojandi]], [[Abu al-Wafa' Buzjani]], [[Nasir al-Din al-Tusi]] y [[Abu Nasr Mansur]].<ref name=Sesiano>Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|first1=Helaine|last1=Selin|first2=Ubiratan|last2=D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=1-4020-0260-2}}</ref>
Según [[Ubiratàn D'Ambrosio]] y [[Helaine Selin]], la ley esférica de los senos fue descubierta en el {{siglo|X||s}}. Ha sido indistintamente atribuido a [[Abu-Mahmud Khojandi]], [[Abu al-Wafa' Buzjani]], [[Nasir al-Din al-Tusi]] y [[Abu Nasr Mansur]].<ref name=Sesiano>Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|first1=Helaine|last1=Selin|first2=Ubiratan|last2=D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=1-4020-0260-2}}</ref>


El libro de [[Ibn Muʿādh al-Jayyānī]] del siglo XI, ''El libro de los arcos desconocidos de una esfera'' introdujo la ley general de los senos.<ref name="MacTutor Al-Jayyani">{{MacTutor|id=Al-Jayyani|title=Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani}}</ref> La ley plana de los senos fue descrita más tarde en el siglo XIII por [[Nasīr al-Dīn al-Tūsī]]. En su ''Sobre la figura del sector'', declaró la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó las pruebas de esta ley.<ref>{{cita libro | nombre=J. Lennart | apellido=Berggren | título=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | capítulo=Mathematics in Medieval Islam | editorial=[[Princeton University Press]] | año=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | página=518 }}</ref>
El libro de [[Ibn Muʿādh al-Jayyānī]] del {{siglo|XI||s}}, ''El libro de los arcos desconocidos de una esfera'' introdujo la ley general de los senos.<ref name="MacTutor Al-Jayyani">{{MacTutor|id=Al-Jayyani|title=Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani}}</ref> La ley plana de los senos fue descrita más tarde en el {{siglo|XIII||s}} por [[Nasīr al-Dīn al-Tūsī]]. En su ''Sobre la figura del sector'', declaró la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó las pruebas de esta ley.<ref>{{cita libro | nombre=J. Lennart | apellido=Berggren | título=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | url=https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse | capítulo=Mathematics in Medieval Islam | editorial=[[Princeton University Press]] | año=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | página=[https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse/page/518 518] }}</ref>


Según [[Glen Van Brummelen]], «La ley de los senos está en realidad basada en [[Regiomontanus]], en sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones fueron a su vez las bases de sus soluciones de los triángulos generales.»<ref>"The Law of Sines is really [[Regiomontanus]]'s foundation for his solutions of right-angled triangles in Book IV, and these solutions are in turn the bases for his solutions of general triangles." Glen Van Brummelen (2009). "''[https://books.google.com/books?id=bHD8IBaYN-oC&pg=&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry]''". Princeton University Press. p.259. ISBN 0-691-12973-8</ref> Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.
Según [[Glen Van Brummelen]], «La ley de los senos está en realidad basada en [[Johann Regiomontanus]], en sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones fueron a su vez las bases de sus soluciones de los triángulos generales.»<ref>"The Law of Sines is really [[Regiomontanus]]'s foundation for his solutions of right-angled triangles in Book IV, and these solutions are in turn the bases for his solutions of general triangles." Glen Van Brummelen (2009). "''[https://books.google.com/books?id=bHD8IBaYN-oC&pg=&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry]''". Princeton University Press. p.259. ISBN 0-691-12973-8</ref> Regiomontanus fue un matemático alemán del {{siglo|XV||s}}.


== Demostración ==
== Demostración ==
A pesar de ser de los [[teorema]]s trigonométricos más usados y de tener una [[demostración matemática|demostración]] particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida.
A pesar de ser de los [[teorema]]s trigonométricos más usados y de tener una [[demostración matemática|demostración]] particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida.


[[Archivo:Ley de los senos-prueba.svg|thumb|263px|right|El teorema de los senos establece que ''a/sin(A)'' es constante.]]
[[Archivo:Ley de los senos-prueba.svg|thumb|263px|right|El teorema de los senos establece que ''a/sen(A)'' es constante.]]
Dado el triángulo ''ABC'', denotamos por ''O'' su circuncentro y dibujamos su [[circunferencia]] circunscrita. Prolongando el segmento ''BO'' hasta cortar la [[circunferencia]], se obtiene un [[diámetro]] ''BP''.
Dado el triángulo ''ABC'', denotamos por ''O'' su circuncentro y dibujamos su [[circunferencia]] circunscrita. Prolongando el segmento ''BO'' hasta cortar la [[circunferencia]], se obtiene un [[diámetro]] ''BP''.


Línea 33: Línea 33:
{{teorema|En un triángulo la razón, entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto, es constante e igual al diámetro de la [[circunferencia]] circunscrita.}}''
{{teorema|En un triángulo la razón, entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto, es constante e igual al diámetro de la [[circunferencia]] circunscrita.}}''


Nótese que hay un caso ambiguo para los triángulos rectángulos isósceles, puesto que si '''l''' y '''m''' son los catetos opuesto y adyacente respectivamente entonces
{{Ecuación|<math>\frac{l}{\sen\,45°} = \frac{m}{\sen\,45°}}.
== Aplicación ==
== Aplicación ==
El teorema de los senos es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.
El teorema de los senos es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y cualquiera de los tres lados. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.


Puede ser empleado la ley de los senos, con reajustes circunstanciales, en:
Puede ser empleado la ley de los senos, con reajustes circunstanciales, en:
Línea 46: Línea 44:
* Ubicación de un foco de incendio
* Ubicación de un foco de incendio
* Situación de un transmisor de radio clandestino
* Situación de un transmisor de radio clandestino
*Resolución de problemas vectoriales
* La altitud de una montaña y otros casos.<ref>Larson. Op. cit</ref>
* La altitud de una montaña y otros casos.<ref>Larson. Op. cit</ref>


Línea 54: Línea 53:
:<math>Area = \frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\sen\,C}{2}</math>.
:<math>Area = \frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\sen\,C}{2}</math>.


Sin embargo, el teorema de los senos implica que ''c'' = 2''R'' sen ''C'', por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:
Sin embargo, el teorema de los senos implica que ''c'' = 2''R'' sen ''C'', por lo que al sustituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:
{{teorema|<math>Area=\frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\sen\,C}{2}=\frac{a\;b\;c}{4\;R}</math>.|3=left}}
{{teorema|<math>Area=\frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\sen\,C}{2}=\frac{a\;b\;c}{4\;R}</math>.|3=left}}



==Referencias==
==Referencias==

Revisión actual - 17:20 20 jul 2024

Teorema del seno.

En trigonometría plana, el teorema del seno o teorema de los senos[1]​, es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Teorema de los senos

Si en un triángulo ABC, con respectivos ángulos internos α, β y γ, cuyas medidas de los lados opuestos son a, b, c, entonces:

Historia

[editar]

Según Ubiratàn D'Ambrosio y Helaine Selin, la ley esférica de los senos fue descubierta en el siglo X. Ha sido indistintamente atribuido a Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa' Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur.[2]​

El libro de Ibn Muʿādh al-Jayyānī del siglo XI, El libro de los arcos desconocidos de una esfera introdujo la ley general de los senos.[3]​ La ley plana de los senos fue descrita más tarde en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī. En su Sobre la figura del sector, declaró la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó las pruebas de esta ley.[4]​

Según Glen Van Brummelen, «La ley de los senos está en realidad basada en Johann Regiomontanus, en sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones fueron a su vez las bases de sus soluciones de los triángulos generales.»[5]​ Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.

Demostración

[editar]

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida.

El teorema de los senos establece que a/sen(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son congruentes, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo la razón, entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto, es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

Aplicación

[editar]

El teorema de los senos es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y cualquiera de los tres lados. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Puede ser empleado la ley de los senos, con reajustes circunstanciales, en:

  • Cálculo de la altura de un árbol
  • Hallar el ángulo de elevación del suelo
  • Plano para construcción de puentes
  • Estudio y dibujo de carriles de una autopista
  • Itinerario de un planeo
  • Ubicación de un foco de incendio
  • Situación de un transmisor de radio clandestino
  • Resolución de problemas vectoriales
  • La altitud de una montaña y otros casos.[6]​

Relación con el área del triángulo

[editar]
Dos fórmulas para calcular el área de un triángulo

Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple:

.

Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al sustituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:

.


Referencias

[editar]
  1. ↑ Pogorélov. Geometría elemental. Editorial Mir, Moscú(1977)
  2. ↑ Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1-4020-0260-2 .
  3. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Jayyani/ .
  4. ↑ Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. p. 518. ISBN 978-0-691-11485-9. 
  5. ↑ "The Law of Sines is really Regiomontanus's foundation for his solutions of right-angled triangles in Book IV, and these solutions are in turn the bases for his solutions of general triangles." Glen Van Brummelen (2009). "The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry". Princeton University Press. p.259. ISBN 0-691-12973-8
  6. ↑ Larson. Op. cit

Véase también

[editar]
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/eswiki/w/index.php?title=Teorema_del_seno&oldid=161417779»