Diferencia entre revisiones de «Distribución estable»

Distribuciones estables
	; Distribución α-estable simétrica con factor de escala unitario; ; Distribuciones estables asimétricas centradas con factor de escala unitario; Función de densidad de probabilidad
	; Función de distribución para las distribuciones α-estables simétricas; ; Función de distribución para distribuciones estables asimétricas; Función de distribución de probabilidad
Parámetros	α ∈ (0, 2] — parámetro de estabilidad ; β ∈ [−1, 1] — parámetro de asimetría (nótese que la asimetría no está definida); c ∈ (0, ∞) — parámetro de escala ; μ ∈ (−∞, ∞) — parámetro de localización
Dominio	x ∈ R, o x ∈ [μ, +∞) si α < 1 y β = 1, o x ∈ (-∞, μ] si α < 1 y β = −1
Función de densidad (pdf)	no hay forma analítica explícita, excepto para algunos valores de los parámetros
Función de distribución (cdf)	no hay forma analítica explícita, excepto para algunos valores de los parámetros
Media	μ cuando α > 1 y no definida en el resto de casos
Mediana	μ cuando β = 0 y no definida en el resto de casos
Moda	μ cuando β = 0 y no definida en el resto de casos
Varianza	2c2 cuando α = 2, para otros casos no es finita
Coeficiente de simetría	0 cuando α = 2, para otros casos no es finita
Curtosis	0 when α = 2, para otros casos no es finita
Entropía	no hay forma analítica explícita, excepto para algunos valores de los parámetros
Función generadora de momentos (mgf)	no definida
Función característica	; donde
	[editar datos en Wikidata]

Explorar historial interactivamente

← Ir a diferencia anterior

Contenido eliminado Contenido añadido

VisualWikitexto

En renglón

Revisión actual - 00:38 3 nov 2024

En teoría de la probabilidad, una distribución se denomina estable (o una variable aleatoria se denomina estable) si es una combinación lineal de dos o más copias independientes de una muestra aleatoria que tiene la misma distribución de probabilidad, salvo por quizá algún parámetro de localización o escala.

La familia de distribuciones estables a veces se denomina también distribución α-estable de Lévy, en honor a Paul Lévy, el primero en estudiar este tipo de distribuciones.^[1]^[2]

De los cuatro parámetros que definen una distribución estable, el más significativo es el parámetro de estabilidad, α (ver ficha lateral). Las distribuciones estables satisfacen que 0 < α ≤ 2, correspondiendo el valor máximo con una distribución normal (que es el caso más sencillo de distribución estable). El valor α = 1 corresponde a la distribución de Cauchy. Las distribuciones estables no tienen una varianza finita si α < 2, más aún si α ≤ 1 ni siquiera tienen media finita. La importancia práctica de las distribuciones estables es que son "atractores" para la distribución de sumas de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (que además pertenecen a espacios Lp). La distribución normal define una subfamilia de distribuciones estables. Por el clásico teorema del límite central la suma de un conjunto de variables con idéntica distribución e independientes y que además tenga varianza finita, tenderá a una distribución normal a medida que el número de variables que interviene en la suma crece. Sin la restricción de varianza finita, el teorema del límite central no será aplicable, pero la suma de esas variables tenderá hacia una distribución estable (α < 2).

Mandelbrot denominó a las distribuciones estables con α < 2 como "distribuciones estables paretianas",^[3]^[4]^[5] por Vilfredo Pareto. Mandelbrot usó el término para distribuciones estables "positivas" (es decir, máximamente asimétricas hacia la dirección positiva) con 1<α<2 como "distribuciones de Pareto-Lévy".^[1] Además consideró que estas últimas eran relevantes para describir los precios de acciones y productos de consumo.

Definición

Una distribución no degenerada es estable si satisface la siguiente propiedad:

Sean X₁ y X₂ dos copias de una variable aleatoria X (es decir, dos instancias de variables aleatorias independientes, de variables que tienen la misma distribución que X). Entonces X se denomina estable si existen dos constantes a > 0 y b > 0 tales que la nueva variable aleatoria aX₁ + bX₂ tenga la misma distribución que cX + d para otras dos constantes c > 0 y d. La distribución se llama estictamente estable si esto sigue siendo cierto aún con d = 0.^[6]

Puesto que la distribución normal, la distribución de Cauchy y la distribución de Lévy satisfacen esta propiedad, son casos particulares de distribuciones estables. Más aún, Lévy demostró que el conjunto de todas las distribuciones estables puede representarse como una familia dada por cuatro parámetros de distribuciones continuas. Dos de los parámetros representan el parámetro de localización μ y el factor de escala c, mientras que los otros dos β y α, se corresponden con el grado de asimetría y concentración (ver gráficas de la ficha lateral).

Aunque la densidad de probabilidad de estas distribuciones estables no admite una fórmula analítica cerrada (expresable en términos de funciones elementales), sin embargo, su función característica si admite una fórmula analítica cerrada. Cualquier distribución de probaiblidad dada por la transformada de Fourier de una función característica φ(t) del tipo:

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt$

Una variable aleatoria X es estable si su función característica puede escribirse como^[6]^[7]

$\varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \,{\textrm {sgn}}(t)\Phi )~\right]$

donde sgn(t) es simplemente la función signo de t y Φ viene dada por

$\Phi =\tan(\pi \alpha /2)\,$

para todo α, excepto α = 1, en cuyo caso:

$\Phi =-{\frac {2}{\pi }}\log |t|.\,$

μ ∈ R es un parámetro de localización y β ∈ [−1, 1] se denomina parámetro de asimetría. Nótese que en este contexto la asimetría "usual" no está bien definida, cuando α < 2 ya que la distribución no admite moments de segundo orden ni superiores (pero la asimetría usual usa en su definición el tercer momento central).

La razón de que una distribución que satisface las condiciones anteriores sea estable es que la función característica para la suma de dos variables aleatorias es igual al producto de las correspondientes funciones características. Al sumar dos variables aleatorias que tienen una distribución estable se obtiene otra variable con los mismos valores de α y β, pero posiblemente valores diferentes de μ y c (cambia la localización y la escala, pero no la el parámetro de estabilidad ni el parámetro de asimetría).

No cualquier función es la función característica de una distribución de probabilidad legítima, ya que una función de distribución real varía entre 0 y 1 son decrecer, pero la función caractecterística dada anteriormente podría no ser adecuada si los pámetros no están dentro del rango adecuado. El valor de la función característica para cierto valor t es el complejo conjugado de su valor en −t como debería ser para que una función de distribución sea real. En el caso más sencillo β = 0, la función característica es simplemente una función exponencial estirada, la distribución es simétrica alrededor de μ y en ese caso se denomina distribución α-estable simétrica de Lévy, frecuentemente abreviada como SαS. Cuando α < 1 y β = 1, la distribución tiene un soporte en [μ, ∞). El parámetro c > 0 es un factor de escala que mide el ancho típico de la distribución mientras que α es el exponente o índice de la distribución que especifica el comportamiento asintótico de dicha distribución.

Referencias

↑ ^a ^b B. Mandelbrot, "The Pareto-Lévy Law and the Distribution of Income", International Economic Review 1960
↑ Paul Lévy, Calcul des probabilités, 1925.
↑ B.Mandelbrot, Stable Paretian Random Functions and the Multiplicative Variation of Income, Econometrica 1961 http://www.jstor.org/stable/pdfplus/1911802.pdf
↑ B. Mandelbrot, The variation of certain Speculative Prices, The Journal of Business 1963 [1]
↑ Eugene F. Fama, Mandelbrot and the Stable Paretian Hypothesis, The Journal of Business 1963
↑ ^a ^b Nolan, John P. «Stable Distributions - Models for Heavy Tailed Data». Archivado desde el original el 17 de julio de 2011. Consultado el 21 de febrero de 2009.
↑ Voit, Johannes (2005). The Statistical Mechanics of Financial Markets - Springer. Springer. doi:10.1007/b137351.

Enlaces externos

The STABLE program for Windows is available from John Nolan's stable webpage: http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html Archivado el 30 de octubre de 2006 en Wayback Machine.. It calculates the density (pdf), cumulative distribution function (cdf) and quantiles for a general stable distribution, and performs maximum likelihood estimation of stable parameters and some exploratory data analysis techniques for assessing the fit of a data set.
Matlab codes for simulation of stable variables and estimation of stable parameters are available from RePEc: https://ideas.repec.org/e/pwe42.html#software

Datos: Q1934245

[BM_1960-1] B. Mandelbrot, "The Pareto-Lévy Law and the Distribution of Income", International Economic Review 1960

[2] Paul Lévy, Calcul des probabilités, 1925.

[3] B.Mandelbrot, Stable Paretian Random Functions and the Multiplicative Variation of Income, Econometrica 1961 http://www.jstor.org/stable/pdfplus/1911802.pdf

[4] B. Mandelbrot, The variation of certain Speculative Prices, The Journal of Business 1963 [1]

[5] Eugene F. Fama, Mandelbrot and the Stable Paretian Hypothesis, The Journal of Business 1963

[:0-6] Nolan, John P. «Stable Distributions - Models for Heavy Tailed Data». Archivado desde el original el 17 de julio de 2011. Consultado el 21 de febrero de 2009.

[:1-7] Voit, Johannes (2005). The Statistical Mechanics of Financial Markets - Springer. Springer. doi:10.1007/b137351.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Línea 20: / Línea 20: @@
 |car = <math>\exp\!\Big[\; it\mu - |c\,t|^\alpha\,(1-i \beta\,\mbox{sgn}(t)\Phi) \;\Big],</math><br> donde <math>\Phi = \begin{cases} \tan\tfrac{\pi\alpha}{2} & \text{if }\alpha \ne 1 \\ -\tfrac{2}{\pi}\log|t| & \text{if }\alpha = 1 \end{cases}</math>
 }}
-En [[teoría de la probabilidad]], una [[distribución de probabilidad|distribución]] se denomina '''estable''' (o una [[variable aleatoria]] se denomina '''estable''') si es una [[combinación lineal]] de dos o más copias [[independencia (probabilidad)|independientes]] de una muestra aleatoria que tiene la misma distribución de probabilidad, salvo por quizá algún [[parámetro de localización]] o [[factor de escala]].
+En [[teoría de la probabilidad]], una [[distribución de probabilidad|distribución]] se denomina '''estable''' (o una [[variable aleatoria]] se denomina '''estable''') si es una [[combinación lineal]] de dos o más copias [[independencia (probabilidad)|independientes]] de una muestra aleatoria que tiene la misma distribución de probabilidad, salvo por quizá algún [[Parámetro_de_ubicación|parámetro de localización]] o [[Parámetro_de_escala| escala]].
-La familia de distribuciones estables a veces se denomina también '''distribución α-estable de Lévy''', en honor a [[Paul Lévy]], el primer en estudiar este tipo de distribuciones.<ref name="BM 1960">B. Mandelbrot, [http://www.jstor.org/stable/2525289 "The Pareto-Lévy Law and the Distribution of Income"], ''International Economic Review'' 1960</ref><ref>Paul Lévy, ''Calcul des probabilités'', 1925.</ref>
+La familia de distribuciones estables a veces se denomina también '''distribución α-estable de Lévy''', en honor a [[Paul Lévy]], el primero en estudiar este tipo de distribuciones.<ref name="BM 1960">B. Mandelbrot, [http://www.jstor.org/stable/2525289 "The Pareto-Lévy Law and the Distribution of Income"], ''International Economic Review'' 1960</ref><ref>Paul Lévy, ''Calcul des probabilités'', 1925.</ref>
-De los cuatro parámetros que definen una distribución estable, el más significativo es el parámetro de estabilidad, α (ver ficha lateral). Las distribuciones estables satisfacen que 0 < α ≤ 2, correspondiendo el valor máximo con una [[distribución normal]] (que es el caso más sencillo de distribución estable). El valor α = 1 corresponde a la [[distribución de Cauchy]]. Las distribuciones estables no tienen una varianza finita si α < 2, más aún si α ≤ 1 ni siquiera tienen [[valor esperado|media]] finita. La importancia práctica de las distribuciones estables es que son "atractores" para la distribución de sumas de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (que además pertenecen a [[espacios Lp]]). La distribución normal define una subfamilia de distribuciones estables. Por el clásico [[teorema del límite central]] la suma de un conjunto de variables con idéntica distribución e independientes y que además tenga varianza finita, tenderá a una distribución normal a medida que el número de variables que interviene en la suma crece. Sin la restricción de varianza finita, el teorema del límite central no será aplicable, pero la suma de esas variables tenderá hacia una distribución estable (α < 2).
+De los cuatro parámetros que definen una distribución estable, el más significativo es el parámetro de estabilidad, α (ver ficha lateral). Las distribuciones estables satisfacen que 0 < α ≤ 2, correspondiendo el valor máximo con una [[distribución normal]] (que es el caso más sencillo de distribución estable). El valor α = 1 corresponde a la [[distribución de Cauchy]]. Las distribuciones estables no tienen una [[varianza]] finita si α < 2, más aún si α ≤ 1 ni siquiera tienen [[valor esperado|media]] finita. La importancia práctica de las distribuciones estables es que son "atractores" para la distribución de sumas de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (que además pertenecen a [[espacios Lp]]). La distribución normal define una subfamilia de distribuciones estables. Por el clásico [[teorema del límite central]] la suma de un conjunto de variables con idéntica distribución e independientes y que además tenga varianza finita, tenderá a una distribución normal a medida que el número de variables que interviene en la suma crece. Sin la restricción de varianza finita, el teorema del límite central no será aplicable, pero la suma de esas variables tenderá hacia una distribución estable (α < 2).
 [[Benoit Mandelbrot|Mandelbrot]] denominó a las distribuciones estables con α < 2 como "distribuciones estables paretianas",<ref>B.Mandelbrot, Stable Paretian Random Functions and the Multiplicative Variation of Income, Econometrica 1961 http://www.jstor.org/stable/pdfplus/1911802.pdf</ref><ref>B. Mandelbrot, The variation of certain Speculative Prices, The Journal of Business 1963 [http://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/341Fa09/econ/Mandelbroit_VariationCertainSpeculativePrices.pdf]</ref><ref>Eugene F. Fama, Mandelbrot and the Stable Paretian Hypothesis, The Journal of Business 1963</ref> por [[Vilfredo Pareto]]. Mandelbrot usó el término para distribuciones estables "positivas" (es decir, máximamente asimétricas hacia la dirección positiva) con 1<α<2 como "distribuciones de Pareto-Lévy".<ref name="BM 1960"/> Además consideró que estas últimas eran relevantes para describir los precios de acciones y productos de consumo.
@@ Línea 31: / Línea 31: @@
 Una [[distribución degenerada|distribución no degenerada]] es estable si satisface la siguiente propiedad:
-:Sean ''X''<sub>1</sub> y ''X''<sub>2</sub> dos copias de una [[variable aleatoria]] ''X'' (es decir, dos instancias de variables aleatorias independientes, de variables que tienen la misma distribución que ''X''). Entonces ''X'' se denomina '''estable''' si existen dos constantes ''a'' > 0 y ''b'' > 0 tales que la nueva variable aleatoria ''aX''<sub>1</sub> + ''bX''<sub>2</sub> tenga la misma distribución que ''cX'' + ''d'' para otras dos constantes ''c'' > 0 y ''d''. La distribución se llama ''estictamente estable'' si esto sigue siendo cierto aún con ''d'' = 0.<ref name=":0">{{Cite web|url = http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf|title = Stable Distributions - Models for Heavy Tailed Data|date = |accessdate = 21 de febrero de 2009|website = |publisher = |last = Nolan|first = John P.}}</ref>
+:Sean ''X''<sub>1</sub> y ''X''<sub>2</sub> dos copias de una [[variable aleatoria]] ''X'' (es decir, dos instancias de variables aleatorias independientes, de variables que tienen la misma distribución que ''X''). Entonces ''X'' se denomina '''estable''' si existen dos constantes ''a'' > 0 y ''b'' > 0 tales que la nueva variable aleatoria ''aX''<sub>1</sub> + ''bX''<sub>2</sub> tenga la misma distribución que ''cX'' + ''d'' para otras dos constantes ''c'' > 0 y ''d''. La distribución se llama ''estictamente estable'' si esto sigue siendo cierto aún con ''d'' = 0.<ref name=":0">{{cita web|url = http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf|título = Stable Distributions - Models for Heavy Tailed Data|fecha = |fechaacceso = 21 de febrero de 2009|website = |editorial = |apellido = Nolan|nombre = John P.|fechaarchivo = 17 de julio de 2011|urlarchivo = https://web.archive.org/web/20110717003439/http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf|deadurl = yes}}</ref>
 Puesto que la [[distribución normal]], la [[distribución de Cauchy]] y la [[distribución de Lévy]] satisfacen esta propiedad, son casos particulares de distribuciones estables. Más aún, Lévy demostró que el conjunto de todas las distribuciones estables puede representarse como una familia dada por cuatro parámetros de distribuciones continuas. Dos de los parámetros representan el parámetro de localización μ y el factor de escala ''c'', mientras que los otros dos β y α, se corresponden con el grado de asimetría y concentración (ver gráficas de la ficha lateral).
@@ Línea 39: / Línea 39: @@
 <math> f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \varphi(t)e^{-ixt}\,dt </math>
 ||left}}
-Una variable aleatoria ''X'' es estable si su función característica puede escribirse como<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cite book|title = The Statistical Mechanics of Financial Markets - Springer|url = http://link.springer.com/10.1007/b137351|doi = 10.1007/b137351|last = Voit|first = Johannes|publisher = Springer|year = 2005}}</ref>
+Una variable aleatoria ''X'' es estable si su función característica puede escribirse como<ref name=":0" /><ref name=":1">{{cita libro|título = The Statistical Mechanics of Financial Markets - Springer|url = http://link.springer.com/10.1007/b137351|doi = 10.1007/b137351|apellido = Voit|nombre = Johannes|editorial = Springer|año = 2005}}</ref>
 {{ecuación|
 <math> \varphi(t;\alpha,\beta,c,\mu) =  \exp\left[~it\mu\!-\!|c t|^\alpha\,(1\!-\!i \beta\,\textrm{sgn}(t)\Phi)~\right] </math>
@@ Línea 51: / Línea 51: @@
 <math>\Phi=-\frac{2}{\pi}\log|t|.\,</math>
 ||left}}
-μ ∈ '''R''' es un parámetro de localización y β ∈ [−1, 1] se denomina ''parámetro de asimetría''. Nótese que en este contexto la [[Asimetría estadística|asimetría "usual"]] no está bien definida, cuando α < 2 ya que la distribución no admite moments de segundo orden ni superiores (pero la asimetría usual usa en su definición el tercer momento central).
+μ ∈ '''R''' es un parámetro de localización y β ∈ [−1, 1] se denomina ''parámetro de asimetría''. Nótese que en este contexto la [[Asimetría estadística|asimetría "usual"]] no está bien definida, cuando α < 2 ya que la distribución no admite moments de segundo orden ni superiores (pero la asimetría usual usa en su definición el tercer [[momento central]]).
 La razón de que una distribución que satisface las condiciones anteriores sea estable es que la función característica para la suma de dos variables aleatorias es igual al producto de las correspondientes funciones características. Al sumar dos variables aleatorias que tienen una distribución estable se obtiene otra variable con los mismos valores de α y β, pero posiblemente valores diferentes de μ y ''c'' (cambia la localización y la escala, pero no la el parámetro de estabilidad ni el parámetro de asimetría).
@@ Línea 183: / Línea 183: @@
 * For α = 1/2 and β = 1 the distribution reduces to a [[Lévy distribution]] with scale parameter ''c'' and shift parameter μ.
-Note that the above three distributions are also connected, in the following way: A standard Cauchy random variable can be viewed as a [[Compound probability distribution|mixture]] of Gaussian random variables (all with mean zero), with the variance being drawn from a standard Lévy distribution. And in fact this is a special case of a more general theorem <ref name=":2">{{Cite book|title = Continuous and discrete properties of stochastic processes|last = Lee|first = Wai Ha|publisher = PhD thesis, University of Nottingham|year = 2010|isbn = |location = |pages = |url = http://eprints.nottingham.ac.uk/11194/}}</ref> which allows any symmetric alpha-stable distribution to be viewed in this way (with the alpha parameter of the mixture distribution equal to twice the alpha parameter of the mixing distribution—and the beta parameter of the mixing distribution always equal to one).
+Note that the above three distributions are also connected, in the following way: A standard Cauchy random variable can be viewed as a [[Compound probability distribution|mixture]] of Gaussian random variables (all with mean zero), with the variance being drawn from a standard Lévy distribution. And in fact this is a special case of a more general theorem<ref name=":2">{{Cite book|title = Continuous and discrete properties of stochastic processes|last = Lee|first = Wai Ha|publisher = PhD thesis, University of Nottingham|year = 2010|isbn = |location = |pages = |url = http://eprints.nottingham.ac.uk/11194/}}</ref> which allows any symmetric alpha-stable distribution to be viewed in this way (with the alpha parameter of the mixture distribution equal to twice the alpha parameter of the mixing distribution—and the beta parameter of the mixing distribution always equal to one).
 A general closed form expression for stable PDF's with rational values of α is available in terms of [[Meijer G-function]]s.<ref>{{Cite journal|title = On Representation of Densities of Stable Laws by Special Functions|url = http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/1139025|journal = Theory of Probability & Its Applications|date = 1995|issn = 0040-585X|pages = 354–362|volume = 39|issue = 2|doi = 10.1137/1139025|first = V.|last = Zolotarev}}</ref> Fox H-Functions can also be used to express the stable probability density functions. For simple rational numbers, the closed form expression is often in terms of less complicated [[special functions]]. Several closed form expressions having rather simple expressions in terms of special functions are available. In the table below, PDF's expressible by elementary functions are indicated by an ''E'' and those that are expressible by special functions are indicated by an ''s''.<ref name=":2" />
@@ Línea 223: / Línea 223: @@
 == Simulation of stable variables ==
-Simulating sequences of stable random variables is not straightforward, since there are no analytic expressions for the inverse <math>F^{-1}(x)</math> nor the CDF <math>F(x)</math> itself.<ref>{{Cite journal|title = Numerical calculation of stable densities and distribution functions|url = http://dx.doi.org/10.1080/15326349708807450|journal = Communications in Statistics. Stochastic Models|date = 1997|issn = 0882-0287|pages = 759–774|volume = 13|issue = 4|doi = 10.1080/15326349708807450|first = John P.|last = Nolan}}</ref><ref>{{Cite journal|title = Some Improvements in Numerical Evaluation of Symmetric Stable Density and Its Derivatives|url = http://dx.doi.org/10.1080/03610920500439729|journal = Communications in Statistics - Theory and Methods|date = 2006|issn = 0361-0926|pages = 149–172|volume = 35|issue = 1|doi = 10.1080/03610920500439729|first = Muneya|last = Matsui|first2 = Akimichi|last2 = Takemura}}</ref> All standard approaches like the rejection or the inversion methods would require tedious computations. A much more elegant and efficient solution was proposed by Chambers, Mallows and Stuck (CMS),<ref>{{Cite journal|title = A Method for Simulating Stable Random Variables|url = http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.1976.10480344|journal = Journal of the American Statistical Association|date = 1976|issn = 0162-1459|pages = 340–344|volume = 71|issue = 354|doi = 10.1080/01621459.1976.10480344|first = J. M.|last = Chambers|first2 = C. L.|last2 = Mallows|first3 = B. W.|last3 = Stuck}}</ref> who noticed that a certain integral formula<ref>{{Cite book|title = One-Dimensional Stable Distributions|last = Zolotarev|first = V. M.|publisher = American Mathematical Society|year = 1986|isbn = 978-0-8218-4519-6|location = |pages = }}</ref> yielded the following algorithm:<ref>{{Cite book|title = Heavy-Tailed Distributions in VaR Calculations|url = http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-21551-3_34|publisher = Springer Berlin Heidelberg|date = 2012|isbn = 978-3-642-21550-6|pages = 1025–1059|series = Springer Handbooks of Computational Statistics|doi = 10.1007/978-3-642-21551-3_34|first = Adam|last = Misiorek|first2 = Rafał|last2 = Weron|editor-first = James E.|editor-last = Gentle|editor-first2 = Wolfgang Karl|editor-last2 = Härdle|editor-first3 = Yuichi|editor-last3 = Mori}}</ref>
+Simulating sequences of stable random variables is not straightforward, since there are no analytic expressions for the inverse <math>F^{-1}(x)</math> nor the CDF <math>F(x)</math> itself.<ref>{{Cite journal|title = Numerical calculation of stable densities and distribution functions|url = http://dx.doi.org/10.1080/15326349708807450|journal = Communications in Statistics. Stochastic Models|date = 1997|issn = 0882-0287|pages = 759–774|volume = 13|issue = 4|doi = 10.1080/15326349708807450|first = John P.|last = Nolan}}</ref><ref>{{Cite journal|title = Some Improvements in Numerical Evaluation of Symmetric Stable Density and Its Derivatives|url = http://dx.doi.org/10.1080/03610920500439729|journal = Communications in Statistics - Theory and Methods|date = 2006|issn = 0361-0926|pages = 149–172|volume = 35|issue = 1|doi = 10.1080/03610920500439729|first = Muneya|last = Matsui|first2 = Akimichi|last2 = Takemura}}</ref> All standard approaches like the rejection or the inversion methods would require tedious computations. A much more elegant and efficient solution was proposed by Chambers, Mallows and Stuck (CMS),<ref>{{Cite journal|title = A Method for Simulating Stable Random Variables|url = http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.1976.10480344|journal = Journal of the American Statistical Association|date = 1976|issn = 0162-1459|pages = 340–344|volume = 71|issue = 354|doi = 10.1080/01621459.1976.10480344|first = J. M.|last = Chambers|first2 = C. L.|last2 = Mallows|first3 = B. W.|last3 = Stuck}}</ref> who noticed that a certain integral formula<ref>{{Cite book|title = One-Dimensional Stable Distributions|url = https://archive.org/details/onedimensionalst00zolo_0|last = Zolotarev|first = V. M.|publisher = American Mathematical Society|year = 1986|isbn = 978-0-8218-4519-6|location = |pages = }}</ref> yielded the following algorithm:<ref>{{Cite book|title = Heavy-Tailed Distributions in VaR Calculations|url = http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-21551-3_34|publisher = Springer Berlin Heidelberg|date = 2012|isbn = 978-3-642-21550-6|pages = 1025–1059|series = Springer Handbooks of Computational Statistics|doi = 10.1007/978-3-642-21551-3_34|first = Adam|last = Misiorek|first2 = Rafał|last2 = Weron|editor-first = James E.|editor-last = Gentle|editor-first2 = Wolfgang Karl|editor-last2 = Härdle|editor-first3 = Yuichi|editor-last3 = Mori}}</ref>
 * generate a random variable <math>U</math> uniformly distributed on <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> and an independent exponential random variable <math>W</math> with mean 1;
 * for <math>\alpha\ne 1</math> compute:
@@ Línea 260: / Línea 260: @@
 \end{cases}</math>
-is <math>S_\alpha(\beta,c,\mu)</math>. It is interesting to note that for <math>\alpha=2</math> (and <math>\beta=0</math>) the CMS method reduces to the well known [[Box–Muller transform|Box-Muller transform]] for generating [[Normal distribution|Gaussian]] random variables.<ref>{{Cite book|title = Simulation and Chaotic Behavior of Alpha-stable Stochastic Processes|last = Janicki|first = Aleksander|publisher = CRC Press|year = 1994|isbn = 9780824788827|location = |pages = |url = https://www.crcpress.com/Simulation-and-Chaotic-Behavior-of-Alpha-stable-Stochastic-Processes/Janicki-Weron/9780824788827|last2 = Weron|first2 = Aleksander}}</ref> Many other approaches have been proposed in the literature, including application of Bergström and LePage series expansions, see <ref>{{Cite journal|title = Fast, accurate algorithm for numerical simulation of L\'evy stable stochastic processes|url = http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.49.4677|journal = Physical Review E|date = 1994|pages = 4677–4683|volume = 49|issue = 5|doi = 10.1103/PhysRevE.49.4677|first = Rosario Nunzio|last = Mantegna}}</ref> and,<ref>{{Cite journal|title = Computer investigation of the Rate of Convergence of Lepage Type Series to α-Stable Random Variables|url = http://dx.doi.org/10.1080/02331889208802383|journal = Statistics|date = 1992|issn = 0233-1888|pages = 365–373|volume = 23|issue = 4|doi = 10.1080/02331889208802383|first = Aleksander|last = Janicki|first2 = Piotr|last2 = Kokoszka}}</ref> respectively. However, the CMS method is regarded as the fastest and the most accurate.
+is <math>S_\alpha(\beta,c,\mu)</math>. It is interesting to note that for <math>\alpha=2</math> (and <math>\beta=0</math>) the CMS method reduces to the well known [[Box–Muller transform|Box-Muller transform]] for generating [[Normal distribution|Gaussian]] random variables.<ref>{{Cite book|title = Simulation and Chaotic Behavior of Alpha-stable Stochastic Processes|last = Janicki|first = Aleksander|publisher = CRC Press|year = 1994|isbn = 9780824788827|location = |pages = |url = https://www.crcpress.com/Simulation-and-Chaotic-Behavior-of-Alpha-stable-Stochastic-Processes/Janicki-Weron/9780824788827|last2 = Weron|first2 = Aleksander}}</ref> Many other approaches have been proposed in the literature, including application of Bergström and LePage series expansions, see<ref>{{Cite journal|title = Fast, accurate algorithm for numerical simulation of L\'evy stable stochastic processes|url = http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.49.4677|journal = Physical Review E|date = 1994|pages = 4677–4683|volume = 49|issue = 5|doi = 10.1103/PhysRevE.49.4677|first = Rosario Nunzio|last = Mantegna}}</ref> and,<ref>{{Cite journal|title = Computer investigation of the Rate of Convergence of Lepage Type Series to α-Stable Random Variables|url = http://dx.doi.org/10.1080/02331889208802383|journal = Statistics|date = 1992|issn = 0233-1888|pages = 365–373|volume = 23|issue = 4|doi = 10.1080/02331889208802383|first = Aleksander|last = Janicki|first2 = Piotr|last2 = Kokoszka}}</ref> respectively. However, the CMS method is regarded as the fastest and the most accurate.
 == Applications ==
@@ Línea 294: / Línea 294: @@
 :<math>f\biggl(x;\frac{1}{2},0,1,0\biggr) = \frac{\vert x \vert^{-3/2}}{{\sqrt{2\pi}}}\Biggl(\sin\left(\frac{1}{4\vert x \vert}\right)\Biggl[\frac{1}{2}-S\biggl(\sqrt{\frac{1}{2\pi\vert x \vert}}\biggr)\Biggr]+\cos\left(\frac{1}{4\vert x \vert}\right)\Biggl[\frac{1}{2}-C\biggl(\sqrt{\frac{1}{2\pi\vert x \vert}}\biggr)\Biggr]\Biggr)</math>
-where <math>S(x)</math> and <math>C(x)</math> are [[Fresnel Integrals]]. <ref name="Hopcraft1999">{{cite journal |last=Hopcraft |first=K. I.  |last2=Jakeman |first2=E.|last3=Tanner|first3=R. M. J. |date=1999 |title=Lévy random walks with fluctuating step number and multiscale behavior |url= |journal=Physical Review E |publisher= |volume=60 |issue=5 |pages=5327-5343 |doi= }}</ref>
+where <math>S(x)</math> and <math>C(x)</math> are [[Fresnel Integrals]].<ref name="Hopcraft1999">{{cite journal |last=Hopcraft |first=K. I.  |last2=Jakeman |first2=E.|last3=Tanner|first3=R. M. J. |date=1999 |title=Lévy random walks with fluctuating step number and multiscale behavior |url= |journal=Physical Review E |publisher= |volume=60 |issue=5 |pages=5327-5343 |doi= }}</ref>
 :<math>f\biggl(x;\frac{2}{3},0,1,0\biggr) = \frac{1}{2\sqrt{3\pi}}\vert x \vert ^ {-1} \exp\biggl(\frac{2}{27}x^{-2}\biggr) W_{-1/2,1/6}\biggl(\frac{4}{27}x^{-2}\biggr)</math>
+where <math>W_{k,\mu}(z)</math> is a [[Whittaker function]].<ref name="Zolotarev1999">{{cite journal |last=Uchaikin |first=V. V.  |last2=Zolotarev |first2=V. M. |date=1999 |title=Chance And Stability - Stable Distributions And Their Applications |url= |journal=VSP |publisher= |volume= |issue= |pages= |doi= |location=Utrecht, Netherlands}}</ref>
-where <math>W_{k,\mu}(z)</math> is a [[Whittaker function]].
-<ref name="Zolotarev1999">{{cite journal |last=Uchaikin |first=V. V.  |last2=Zolotarev |first2=V. M. |date=1999 |title=Chance And Stability - Stable Distributions And Their Applications |url= |journal=VSP |publisher= |volume= |issue= |pages= |doi= |location=Utrecht, Netherlands}}</ref>
 :<math>
@@ Línea 362: / Línea 361: @@
 {{listaref|2}}
 ===Enlaces externos ===
-* The STABLE program for Windows is available from John Nolan's stable webpage: http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html. It calculates the density (pdf), cumulative distribution function (cdf) and quantiles for a general stable distribution, and performs maximum likelihood estimation of stable parameters and some exploratory data analysis techniques for assessing the fit of a data set.
+* The STABLE program for Windows is available from John Nolan's stable webpage: http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html {{Wayback|url=http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html |date=20061030061441 }}. It calculates the density (pdf), cumulative distribution function (cdf) and quantiles for a general stable distribution, and performs maximum likelihood estimation of stable parameters and some exploratory data analysis techniques for assessing the fit of a data set.
 * [[MATLAB|Matlab]] codes for simulation of stable variables and estimation of stable parameters are available from RePEc: https://ideas.repec.org/e/pwe42.html#software
 {{ORDENAR:Estables}}
+{{Control de autoridades}}
 [[Categoría:Distribuciones continuas]]
+[[Categoría:Paul Pierre Lévy]]