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Diferencia entre revisiones de «Matriz semejante»

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En [[álgebra lineal]], se dice que dos [[Matriz (matemática)|matrices]] ''A'' y ''B'' de ''n''-por-''n'' sobre el [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] ''K'' son '''semejantes''' si existe una [[auto convertible]] ''P'' de ''n''-por-''n'' sobre ''K'' tal que:
En [[álgebra lineal]], se dice que dos [[Matriz (matemática)|matrices]] <math>A</math> y <math>B</math> de orden <math>n \times n</math> sobre el [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] <math>K</math> son '''semejantes''' si existe una [[matriz invertible]] <math>P</math> de <math>n \times n</math> sobre <math>K</math> tal que:


:<math>P^{-1}AP=B</math>
:''P''<sup>&nbsp;−1</sup>''AP'' = ''B''.


Si <math>T</math> es una [[Transformación (matemática)|transformación]] de <math>M_{n \times n}</math> en <math>M_{n \times n}</math> tal que <math>T(A) = P^{-1}AP</math>, siendo <math>P</math> una matriz fija,
Uno de los significados del término '''''transformación de semejanza''''' es una transformación de la matriz ''A'' en la matriz ''B''.
entonces <math>T</math> recibe el nombre de '''transformación lineal de semejanza'''.


En [[teoría de grupos]], la semejanza se llama [[clase de conjugación]].
En [[teoría de grupos]], la semejanza se llama [[clase de conjugación]].
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# dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de una misma [[Aplicación lineal|transformación lineal]], pero con respecto a [[Base (álgebra)|bases]] distintas;
# dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de una misma [[Aplicación lineal|transformación lineal]], pero con respecto a [[Base (álgebra)|bases]] distintas;
# la transformación ''X'' <math>\mapsto</math> ''P''<sup>−1</sup>''XP'' es un [[automorfismo]] del [[álgebra asociativa]] de todas las matrices de ''n''-por-''n''.
# la transformación ''X'' <math>\mapsto</math> ''P''<sup>−1</sup>''XP'' es un [[automorfismo]] del [[álgebra asociativa]] de todas las matrices de ''n''-por-''n''.
Debido a esto, para una matriz ''A'' dada, estamos interesados en encontrar una "forma normal" sencilla ''B'' que sea semejante a ''A'': el estudio de ''A'' se reduce de esta manera al estudio de la matriz semejante (y más sencilla) ''B''. Por ejemplo, ''A'' se llama [[Matriz diagonalizable|diagonalizable]] si es similar a una [[matriz diagonal]]. No todas las matrices son diagonalizables, pero por lo menos sobre los [[Número complejo|números complejos]] (o cualquier [[cuerpo algebraicamente cerrado]]), toda matriz es semejante a una matriz en [[Forma canónica de Jordan|forma de Jordan]]. Otra forma normal, la [[forma canónica racional]], se aplica en cualquier campo. Observando las formas de Jordan o las formas canónicas racionales de ''A'' y ''B'', puede decidirse inmediatamente si ''A'' y ''B'' son semejantes.
Debido a esto, para una matriz ''A'' dada, estamos interesados en encontrar una "forma normal" sencilla ''B'' que sea semejante a ''A'': el estudio de ''A'' se reduce de esta manera al estudio de la matriz semejante (y más sencilla) ''B''. Por ejemplo, ''A'' se llama [[Matriz diagonalizable|diagonalizable]] si es semejante a una [[matriz diagonal]]. No todas las matrices son diagonalizables, pero por lo menos sobre los [[Número complejo|números complejos]] (o cualquier [[cuerpo algebraicamente cerrado]]), toda matriz es semejante a una matriz en [[Forma canónica de Jordan|forma de Jordan]]. Otra forma normal, la [[forma canónica racional]], se aplica en cualquier campo. Observando las formas de Jordan o las formas canónicas racionales de ''A'' y ''B'', puede decidirse inmediatamente si ''A'' y ''B'' son semejantes.


La semejanza de matrices no depende del cuerpo base: si ''L'' es un cuerpo conteniendo a ''K'' como [[Extensión de cuerpo|subcuerpo]], y ''A'' y ''B'' son dos matrices en ''K'', entonces ''A'' y ''B'' son semejantes como matrices sobre ''K'' si y solo si son semejantes como matrices sobre ''L''. Esto es bastante útil: uno puede agrandar en forma segura el cuerpo ''K'', por ejemplo para obtener un cuerpo algebraicamente cerrado; las formas de Jordan pueden computarse sobre el cuerpo grande y puede usarse para determinar si las matrices dadas son semejantes sobre el cuerpo pequeño. Este método puede usarse, por ejemplo, para mostrar que toda matriz es semajante a su [[Matriz traspuesta|traspuesta]].
La semejanza de matrices no depende del cuerpo base: si ''L'' es un cuerpo conteniendo a ''K'' como [[Extensión de cuerpo|subcuerpo]], y ''A'' y ''B'' son dos matrices en ''K'', entonces ''A'' y ''B'' son semejantes como matrices sobre ''K'' si y solo si son semejantes como matrices sobre ''L''. Esto es bastante útil: uno puede agrandar en forma segura el cuerpo ''K'', por ejemplo para obtener un cuerpo algebraicamente cerrado; las formas de Jordan pueden computarse sobre el cuerpo grande y puede usarse para determinar si las matrices dadas son semejantes sobre el cuerpo pequeño. Este método puede usarse, por ejemplo, para mostrar que toda matriz es semejante a su [[Matriz traspuesta|traspuesta]].


Si en la definición de semejanza, la matriz ''P'' puede elegirse para que sea una [[matriz permutación|matriz de permutación]], entonces ''A'' y ''B'' son '''semejantes en permutación'''; si ''P'' puede elegirse para que sea una [[matriz unitaria]], entonces ''A'' y ''B'' son '''unitariamente equivalentes'''. El [[teorema espectral]] establece que toda [[matriz normal]] es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal.
Si en la definición de semejanza, la matriz ''P'' puede elegirse para que sea una [[matriz permutación|matriz de permutación]], entonces ''A'' y ''B'' son '''semejantes en permutación'''; si ''P'' puede elegirse para que sea una [[matriz unitaria]], entonces ''A'' y ''B'' son '''unitariamente equivalentes'''. El [[teorema espectral]] establece que toda [[matriz normal]] es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal.


== Matrices congruentes ==
== Matrices congruentes ==
Otra relación de equivalencia importante para matrices reales es la [[congruencia]].
Otra [[relación de equivalencia]] importante para matrices reales es la [[congruencia]].


Dos matrices reales ''A'' y '' B'' se llaman '''congruentes''' si hay una matriz regular real ''P'' tal que:
Dos matrices reales ''A'' y '' B'' se llaman '''congruentes''' si hay una matriz regular real ''P'' tal que:


:''P''<sup>T</sup>''AP'' = ''B''.
:''P''<sup>T</sup>''AP'' = ''B''.

== Aplicaciones ==
* En [[bioinformática]], las '''[[matriz de similaridad|matrices de similaridad]]''' se usan para [[alineamiento de secuencias]].


=== Cambios de base ===
=== Cambios de base ===
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\forall\lambda\in K, \forall x,y\in V</math>
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Entre el espacio vectorial de los endomorfismos <math>\scriptstyle End(V)</math> y el [[Anillo (matemáticas)|anillo]] de las matrices cuadradas existe un [[isomorfismo]] que, fijada una base en <math>\scriptstyle V(K)</math>, asigna una única matriz a cada endomorfismo (por supuesto si se cambia de base, la matriz también cambiará).
Entre el [[espacio vectorial]] de los endomorfismos <math>\scriptstyle End(V)</math> y el [[Anillo (matemáticas)|anillo]] de las matrices cuadradas existe un [[isomorfismo]] que, fijada una base en <math>\scriptstyle V(K)</math>, asigna una única matriz a cada endomorfismo (por supuesto si se cambia de base, la matriz también cambiará).


Supóngase que se tienen dos bases de <math>\scriptstyle V(K)</math> llamadas <math>\scriptstyle \hat B_{V}=\{\hat v_{k}\},\ B_{V}=\{v_{i}\}</math> de modo que
Supóngase que se tienen dos bases de <math>\scriptstyle V(K)</math> llamadas <math>\scriptstyle \hat B_{V}=\{\hat v_{k}\},\ B_{V}=\{v_{i}\}</math> de modo que
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\hat v_{k}=\sum_i \Lambda_{ki}^{-1}v_{i}</math>
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En lo que siguen usaremos el [[convenio de sumación de Einstein]] para hacer más ligera la notación. Sean ahora <math>\scriptstyle a_{ij}</math> y <math>\scriptstyle \hat a_{kl}</math> las matrices asociadas al endomorfismo en las respectivas bases de modo que <math>f(v_{i})=a_{ij}v_{j}</math> y <math>f(\hat v_{k})=\hat a_{kl}\hat v_{l}</math>, entonces las matrices se relacionan por:
En lo que sigue usaremos el [[convenio de sumación de Einstein]] para hacer más ligera la notación. Sean ahora <math>\scriptstyle a_{ij}</math> y <math>\scriptstyle \hat a_{kl}</math> las matrices asociadas al endomorfismo en las respectivas bases de modo que <math>f(v_{i})=a_{ij}v_{j}</math> y <math>f(\hat v_{k})=\hat a_{kl}\hat v_{l}</math>, entonces las matrices se relacionan por:


:<math>f(v_{i})=a_{ij}v_{j}\longrightarrow</math>
:<math>f(v_{i})=a_{ij}v_{j}\longrightarrow</math>
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:<math>\hat a_{kl}=\Lambda_{ki}^{-1}a_{ij}\Lambda_{il}</math>
:<math>\hat a_{kl}=\Lambda_{ki}^{-1}a_{ij}\Lambda_{il}</math>


es decir hay una relación de similaridad entre ellas.
es decir hay una relación de similitud entre ellas.


== Véase también ==
[[Categoría:Matrices]]
*[[Relación de congruencia (matrices)|Matriz congruente]]


{{Control de autoridades}}
[[ar:مصفوفة مشابهة]]
[[Categoría:Matrices]]
[[cs:Podobnost matic]]
[[Categoría:Equivalencia (matemáticas)]]
[[de:Ähnlichkeit (Matrix)]]
[[en:Similar matrix]]
[[fr:Matrices semblables]]
[[he:דמיון מטריצות]]
[[hr:Slična matrica]]
[[it:Similitudine fra matrici]]
[[ja:行列の相似]]
[[ko:닮음행렬]]
[[mhr:Келшыше матрице]]
[[nl:Gelijksoortige matrices]]
[[pt:Matrizes semelhantes]]
[[ru:Подобные матрицы]]
[[sl:Podobna matrika]]
[[sr:Сличне матрице]]
[[uk:Подібні матриці]]
[[zh:相似矩陣]]

Revisión actual - 22:28 9 mar 2024

En álgebra lineal, se dice que dos matrices y de orden sobre el cuerpo son semejantes si existe una matriz invertible de sobre tal que:

Si es una transformación de en tal que , siendo una matriz fija, entonces recibe el nombre de transformación lineal de semejanza.

En teoría de grupos, la semejanza se llama clase de conjugación.

Propiedades

[editar]

Las matrices semejantes comparten varias propiedades:

Hay dos razones para estas características:

  1. dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de una misma transformación lineal, pero con respecto a bases distintas;
  2. la transformación X P−1XP es un automorfismo del álgebra asociativa de todas las matrices de n-por-n.

Debido a esto, para una matriz A dada, estamos interesados en encontrar una "forma normal" sencilla B que sea semejante a A: el estudio de A se reduce de esta manera al estudio de la matriz semejante (y más sencilla) B. Por ejemplo, A se llama diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. No todas las matrices son diagonalizables, pero por lo menos sobre los números complejos (o cualquier cuerpo algebraicamente cerrado), toda matriz es semejante a una matriz en forma de Jordan. Otra forma normal, la forma canónica racional, se aplica en cualquier campo. Observando las formas de Jordan o las formas canónicas racionales de A y B, puede decidirse inmediatamente si A y B son semejantes.

La semejanza de matrices no depende del cuerpo base: si L es un cuerpo conteniendo a K como subcuerpo, y A y B son dos matrices en K, entonces A y B son semejantes como matrices sobre K si y solo si son semejantes como matrices sobre L. Esto es bastante útil: uno puede agrandar en forma segura el cuerpo K, por ejemplo para obtener un cuerpo algebraicamente cerrado; las formas de Jordan pueden computarse sobre el cuerpo grande y puede usarse para determinar si las matrices dadas son semejantes sobre el cuerpo pequeño. Este método puede usarse, por ejemplo, para mostrar que toda matriz es semejante a su traspuesta.

Si en la definición de semejanza, la matriz P puede elegirse para que sea una matriz de permutación, entonces A y B son semejantes en permutación; si P puede elegirse para que sea una matriz unitaria, entonces A y B son unitariamente equivalentes. El teorema espectral establece que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal.

Matrices congruentes

[editar]

Otra relación de equivalencia importante para matrices reales es la congruencia.

Dos matrices reales A y B se llaman congruentes si hay una matriz regular real P tal que:

PTAP = B.

Cambios de base

[editar]

Recordemos que un endomorfismo es una aplicación lineal entre un mismo espacio vectorial , es decir, tal que:

Entre el espacio vectorial de los endomorfismos y el anillo de las matrices cuadradas existe un isomorfismo que, fijada una base en , asigna una única matriz a cada endomorfismo (por supuesto si se cambia de base, la matriz también cambiará).

Supóngase que se tienen dos bases de llamadas de modo que

En lo que sigue usaremos el convenio de sumación de Einstein para hacer más ligera la notación. Sean ahora y las matrices asociadas al endomorfismo en las respectivas bases de modo que y , entonces las matrices se relacionan por:

es decir hay una relación de similitud entre ellas.

Véase también

[editar]