Estrofoide

Construcción de la estrofoide recta de polo X y de punto fijo O, tomando por curva base el eje Oy

En matemáticas, y más precisamente en geometría, una curva estrofoide, o simplemente una estrofoide, es una curva engendrada a partir de una curva dada $C$ y de dos puntos $A$ (el punto fijo) y $O$ (el polo).​

En el caso particular en el que $C$ es una recta, $A$ pertenece a $C$, y $O$ no pertenece a $C$, la curva se denomina una estrofoide oblicua. Si, además, $OA$ es perpendicular a $C$, la curva es denominada una estrofoide recta, o simplemente una estrofoide por ciertos autores. La estrofoide recta a veces también se denomina curva logocíclica.

Construcción

Construcción de una estrofoide en el caso general

La curva estrofoidal que corresponde a la curva C, con el punto fijo A y el polo O se construye de la manera siguiente: sea L una recta móvil que pasa por O y que corta C en K. Sean entonces P₁ y P₂ los dos puntos de L tales que P₁K = P₂K = AK. El lugar geométrico de los puntos P₁ y P₂ se denomina la estrofoide de C relativa al polo O y con el punto fijo A. Se observa que AP₁ y AP₂ son ortogonales.

Ecuaciones

Coordenadas polares

Sea la curva $C$ dada por $r=f(\theta ),$, donde el origen se toma en $O$; y sea $A$ el punto de coordenadas cartesianas $(a,b)$. Si $K=(r\cos \theta ,\ r\operatorname {sen} \theta )$ es un punto de la curva, la distancia de $K$ a $A$ es

$d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\operatorname {sen} \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\operatorname {sen} \theta -b)^{2}}}$

Los puntos de la recta $OK$ tienen por ángulo polar $\theta$, y los puntos a distancia $d$ de $K$ sobre esta recta están a una distancia $f(\theta )\pm d$ del origen. Por lo tanto, la ecuación de la estrofoide viene dada por

$r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\operatorname {sen} \theta -b)^{2}}}$

Coordenadas cartesianas

Sea $C$ de ecuaciones paramétricas $(x=x(t),y=y(t))$. Sea $A$ el punto $(a,b)$ y $O$ el punto $(p,q)$. Entonces, las fórmulas polares precedentes muestran que la representación paramétrica de la estrofoide es:

$x=u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ y=v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t))$

donde

$n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}$

Otra fórmula polar

La complejidad de las fórmulas precedentes limita su utilidad a la práctica. Existe por eso una forma alternativa a veces más sencilla, que es particularmente útil cuando $C$ es una sectriz de Maclaurin con polos $O$ y $A$.

Sea $O$ el origen y $A$ el punto $(a,0)$. Sea $K$ un punto de la curva, $\theta$ el ángulo entre $OK$ y el eje $OX$, y $\vartheta$ el ángulo entre $AK$ y el eje $OX$. Se supone que $\vartheta$ se da en función de $\theta$, bajo la forma $\vartheta =l(\theta )$. Sea el ángulo $\psi$ en $K$ tal que $\psi =\vartheta -\theta$. Entonces, se puede determinar $r$ en función de $l$ usando el teorema de los senos:

${r \over \operatorname {sen} \vartheta }={a \over \operatorname {sen} \psi },\ r=a{\frac {\operatorname {sen} \vartheta }{\operatorname {sen} \psi }}=a{\frac {\operatorname {sen} l(\theta )}{\operatorname {sen}(l(\theta )-\theta )}}$

Sean $P_{1}$ y $P_{2}$ los puntos de la recta $OK$ a la distancia $AK$ de $K$, numerados de forma que $\psi ={\widehat {P_{1}Ka}}$ y $\pi -\psi ={\widehat {Akp_{2}}}$. El triángulo $P_{1}KA$ es isósceles de ángulo $\psi$ en el vértice, y por lo tanto los ángulos de la base ${\widehat {AP_{1}K}}$, y ${\widehat {KAP_{1}}}$ valen $(\pi -\psi )/2$. El ángulo entre $AP_{1}$ y el eje $OX$ es entonces

$l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2$

Empleando el hecho de que $AP_{1}$ y $AP_{2}$ son perpendiculares (puesto que el triángulo $AP_{1}P_{2}$ está inscrito en una semicircunferencia), el ángulo entre $AP_{2}$ y el eje $OX$ vale

$l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2$

La ecuación polar de la estrofoide se deduce entonces de $l_{1}$ y $l_{2}$ según las fórmulas precedentes:

$r_{1}=a{\frac {\operatorname {sen} l_{1}(\theta )}{\operatorname {sen}(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}$

$r_{2}=a{\frac {\operatorname {sen} l_{2}(\theta )}{\operatorname {sen}(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta )/2)}{\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta )/2)}{\operatorname {sen}((l(\theta )-\theta )/2)}}$

$C$ es una sectriz de Maclaurin de polos $O$ y $A$ cuando $l$ es de la forma $q\theta +\theta _{0}$. En este caso, $l_{1}$ y $l_{2}$ tienen la misma forma, y la estrofoide es o bien otra sectriz de Maclaurin, o bien una pareja de sectrices. Se puede encontrar una ecuación polar sencilla si se toma el origen en el punto simétrico de $A$ respecto de $O$.

Casos particulares

Estrofoides oblicuas

Sea $C$ una recta que pasa por $A$. Entonces, en las notaciones precedentes, $l(\theta )=\alpha$ (donde $\alpha$ es una constante); y $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ y $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2$. Las ecuaciones polares de la estrofoide correspondiente con el origen en $O$, denominada estrofoide oblicua, toman la forma

$r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}$

y

$r=a{\frac {\operatorname {sen}((\alpha +\theta )/2)}{\operatorname {sen}((\alpha -\theta )/2)}}$

Se verifica fácilmente que estas dos ecuaciones describen de hecho la misma curva.

Tomando el origen en $A$ (véase el artículo sobre la sectriz de Maclaurin) y reemplazando $-a$ por $a$, se obtiene

$r=a{\frac {\operatorname {sen}(2\theta -\alpha )}{\operatorname {sen}(\theta -\alpha )}}$

Una rotación de valor $\alpha$ transforma esta ecuación en

$r=a{\frac {\operatorname {sen}(2\theta +\alpha )}{\operatorname {sen}(\theta )}}$

En coordenadas cartesianas (y cambiando las constantes), se obtiene

$y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy$

El resultado es una cúbica unicursal según su ecuación polar. Posee una singularidad en $(0,0)$, y la recta $y=b$ es una asíntota.

La estrofoide recta

Estrofoide recta

Poniendo $\alpha =\pi /2$ en

$r=a{\frac {\operatorname {sen}(2\theta -\alpha )}{\operatorname {sen}(\theta -\alpha )}}$

se obtiene

$r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )$

Esta curva se denomina estrofoide recta, y corresponde al caso donde $C$ es el eje $OY$, $O$ es el origen, y $A$ es el punto $(a,0)$.

Su ecuación cartesiana es

$y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)$

y su representación paramétrica unicursal es:

$x=-a{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

$y=-at{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

La curva se asemeja al folium de Descartes, y la recta $x=-a$ es asíntota de las dos ramas infinitas. La curva posee dos asíntotasimaginarías más en el plano complejo, dadas por

$x\pm iy=-a$

Estrofoides de circunferencias que pasan por puntos fijos

Sea $C$ una circunferencia que pasa por $O$ y por $A$. Tomando $O$ por origen y $A$ en $(a,0)$, con las notaciones precedentes $l(\theta )=\alpha +\theta$ (donde $\alpha$ es una constante), se tiene que $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ y que $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2$. Entonces, las ecuaciones polares de las estrofoides correspondientes son

$r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}$

y

$r=a{\frac {\operatorname {sen}(\theta +\alpha /2)}{\operatorname {sen}(\alpha /2)}}$

Son las ecuaciones de dos circunferencias que pasan también por $O$ y $A$, y forman ángulos de $\pi /4$ con $C$ en estos puntos.

Véase también

• Cisoide de Diocles
• Concoide de Durero
• Curvas
• Trisectriz de Maclaurin

Referencias externas

• Al sitio web de Robert Ferreol, a su enciclopedia de las formas matemáticas destacables:
  • "Courbe Strophoïdale"
  • "estrofoide"
  • "estrofoide Droite", donde también se encuentran muchas propiedades geométricas de esta curva.

• Al sitio web de Mathworld
  • Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. , Eric W., Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  (Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. ).
  • Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. , Eric W., Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  (Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. ).

• Datos: Q1050391
• Multimedia: Strophoid / Q1050391