Función discontinua

Una función es discontinua si no es continua en ese punto.

Clasificación de la discontinuidad de una función

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

Evitable

Cuando existe el $\lim _{x\to a}f(x)=l$ con $l\in \Re$ pero no coincide con el valor de f(a) ya sea porque son distintos los valores o no existe f(a).

Ejemplo 1:

Dada $f(x)={\frac {x^{2}-4}{x-2}}$ no existe f(2) pero si existe

$\lim _{x\to 2}f(x)={\frac {x^{2}-4}{x-2}}=4$

Ejemplo 2: La función parte entera: g(x) = [sen(x)] en el intervalo $[0,\pi )$

Esencial

Cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

1. Existen los límites laterales pero no coinciden.
2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.

De primera especie o de salto

1. Con salto finito: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \lim _{x\to a^{-}}f(x)$

Ejemplo $f(x)={\frac {|x|}{x}}$ en x = 0

2. Con salto infinito (asintótica): Cuando alguno de los límites laterales o ambos no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

$\lim _{x\to a}f(x)=\infty$

Ejemplo $\lim _{x\to 0}f(x)={\frac {1}{x}}$

Punto de infinito:

$f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$

De segunda especie

Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.

Ejemplo: $f(x)=sen\left({\frac {1}{x}}\right)$ en x = 0

Véase también

• Continuidad (matemáticas)
• Límite matemático
• Asíntota