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Cero a la potencia de cero o cero a la cero, es igual a 0 denotado por $0^{0}$ , es una expresión matemática sin, a priori, un consenso matemático sobre su valor. Las posibilidades más comunes es darle el valor $1$ o decir que su valor es indefinido, dependiendo del contexto donde se esté utilizando. En álgebra y combinatoria, generalmente el valor de $0^{0}$ es considerado como 1, mientras que en análisis matemático la expresión es a veces dejada indefinida. Los lenguajes de programación de alto nivel también tienen distintas maneras de manejar esta expresión.

Exponentes discretos

Hay muchas fórmulas que involucran exponentes de números naturales que requieren que $0^{0}$ tome el valor $1$ . Por ejemplo, al producto vacío se le asigna el valor 1 y de acuerdo a esto ${\displaystyle b^{0}}$ valdría $1$ , incluso cuándo $b=0$ . Alternativamente, la interpretación combinatoria de ${\displaystyle b^{0}}$ es el número de tuplas vacías de elementos de un conjunto con $b$ elementos: hay exactamente una tupla vacía, incluso si $b=0$ . Equivalentemente, la interpretación conjuntista de $0^{0}$ es el número de funciones del conjunto vacío al conjunto vacío y hay exactamente una función que satisface esto, la función vacía.^[1]

Polinomios y series de potencias

Así mismo, cuándo se trabaja con polinomios, es conveniente definir $0^{0}$ como $1$ . Un polinomio es una expresión $a_{0}x^{0}+\cdots +a_{n}x^{n}$ , donde $x$ es una indeterminada, y los coeficientes son números reales (o, más generalmente, elementos de algún anillo). El conjunto de todos los polinomios reales en $x$ es denotado por $\mathbb {R} [x]$ . La suma de polinomios es término a término y el producto se deduce de la propiedad distributiva y las reglas habituales para e $x$ ponentes en la indeterminada $x$ (ver producto de Cauchy). Con estas reglas algebraicas, los polinomios forman un anillo de polinomios. El polinomio $x^{0}$ es el elemento de identidad del anillo de polinomios, es decir, es el (único) elemento tal que el producto de $x^{0}$ con cualquier polinomio $p(x)$ es $p(x)$ .^[2] Los polinomios pueden ser evaluados reemplazando la indeterminada $x$ por un número real. Más precisamente, para cualquier número real dado $x_{0}$ hay un único homomorfismo de anillos que preserva el 1, $ev_{x_{0}}:\mathbb {R} [x]\to \mathbb {R}$ y tal que $ev_{x_{0}}(x^{1})=x_{0}$ .^[3] Esta aplicación se denomina el homomorfismo de evaluación. Debido a que es un homomorfismo que preserva el 1, tenemos que $ev_{x_{0}}(x^{0})=1$ . Esto es, $x^{0}=1$ para todas las especializaciones de $x$ (incluyendo el valor cero).

Esta perspectiva es relevante para muchas de las identidades polinómicas que aparecen en combinatoria. Por ejemplo, el teorema binomial $(1+x)^{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}x^{i}$ no es válido para $x=0$ a no ser que $0^{0}=1$ ^[4] . De forma parecida, los anillos de series de potencias requieren que $x^{0}=1$ para todas las especializaciones de $x$ . Identidades como ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ y $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ son verdaderas como identidades funcionales (incluyendo $x=0$ ) solo cuando $0^{0}=1$

En cálculo diferencial, la regla de la potencia ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$ no es válida para $n=1$ en $x=0$ a no ser que $0^{0}=1$ .

Exponentes continuos

Dibujo de $z=x^{y}$ . Las curvas rojas (con $z$ constante) tienen diferentes límites cuando $(x,y)$ se aproxima a $(0,0)$ . En cambio las curvas verdes (de pendiente constante finita, $y=ax$ ) tienden todas a $1$ cuando nos aproximamos al origen.

Los límites que involucran operaciones algebraicas a menudo pueden ser evaluadas reemplazando las variables por sus límites. Si la expresión resultante no determina el límite, la expresión es conocida como una forma indeterminada.^[5] De hecho, cuándo $f(t)$ y $g(t)$ son funciones reales ambas con límite 0 cuando $t$ tiende a infinito y $f(t)>0$ , la función $f(t)^{g(t)}$ no necesariamente se acerca a $1$ cuando $f(t)$ y $g(t)$ tienden a 0. En ese caso, el límite de $f(t)^{g(t)}$ puede ser cualquier número real o puede divergir. Por ejemplo, las funciones de más abajo son de la forma $f(t)^{g(t)}$ con $f(t)\to 0$ y $g(t)\to 0$ cuando $t\to 0^{+}$ pero los límites son diferentes:

\lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,

\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t^{2}}}}\right)^{t}=0,

\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t^{2}}}}\right)^{-t}=+\infty ,

\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-{\frac {1}{t}}}\right)^{at}=e^{-a}.

Así, la función de dos variable $x^{y}$ es continua en el dominio $\{(x,y):x>0\}$ pero no se puede extender como función continua el dominio $\{(x,y):x>0\}\cup \{(0,0)\}$ ,^[6]. Aun así, bajo ciertas condiciones, como cuándo $f$ y $g$ son ambas $f$ unciones analíticas en cero y $f$ es positiva en el intervalo abierto $(0,b)$ para algún positivo $b$ , el límite por la derecha en 0 siempre es $1$ .^[7]^[8]^[9]

Exponentes complejos

En los números complejos, la función $z^{w}$ puede ser definida para $z$ no nulo eligiendo una rama de $\operatorname {log} \,z$ y definiendo $z^{w}$ como $e^{w\operatorname {log} \,z}$ . Esto no define $0^{w}$ puesto que no hay ninguna rama de $\operatorname {log} \,z$ definida en 0.^[10]^[11]^[12]

La historia de $0^{0}$ desde diferentes puntos de vista

El debate sobre la definición de $0^{0}$ viene desde al menos desde comienzos del siglo XIX. En aquel tiempo, la mayoría de los matemáticos estaba de acuerdo en que $0^{0}=1$ , hasta que en 1821 Cauchy^[13] listó $0^{0}$ junto con las expresiones del tipo ${\frac {0}{0}}$ en la tabla de formas indeterminadas. En el los 1830's Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja^[14]^[15] publicó un argumento poco convincente de que $0^{0}=1$ , y Möbius^[16] a la par, erróneamente afirmó que $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1$ siempre y cuando $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0$ . Un comentarista quién firmó su nombre sencillamente tan solo con "S" proporcionó un contraejemplo con la función $(e^{-1/t})^{t}$ , y esto calmó el debate para algún tiempo. Detalles más históricos pueden ser encontrados en Knuth (1992).^[17]

Autores más recientes interpretan la situación de diferentes maneras:

Algunos argumentan que el valor más adecuado para $0^{0}$ depende de contexto. Según Benson (1999), "La elección de como definir $0^{0}$ está basada en la conveniencia, no en la correctitud. [...] El consenso es utilizar la definición $0^{0}=1$ , a pesar de que hay libros de texto que creen que es conveniente no establecer una definición."^[18]
Otros argumentan que $0^{0}$ debería ser definido como 1. Knuth (1992) afirma fuertemente que $0^{0}$ "tiene que ser 1", resaltando una distinción entre el valor $0^{0}$ , el cual tiene que ser igual a 1, de acuerdo a lo dicho por Libri, y la forma limite $0^{0}$ (una abreviatura para un límite de $f(x)^{g(x)}$ cuando $f(x),g(x)\to 0$ ), la cual es necesariamente una forma indeterminada como fue dicho por Cauchy: "Ambos Cauchy y Libri dijeron lo correcto, pero Libri y sus defensores no entendieron por qué la verdad estaba de su lado."^[17] Vaughn da muchos ejemplos de teoremas cuyos enunciados requieren que $0^{0}=1$ para ser expresados en forma sencilla.^[19]

Referencias

↑ N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.
↑ Nicolas Bourbaki (1970). Algèbre. Springer.
↑ Nicolas Bourbaki (1970). Algèbre. Springer. , §IV.1 No. 3.
↑ "Some textbooks leave the quantity $00$ undefined, because the functions $x 0$ and $0 x$ have different limiting values when $x$ decreases to 0. But this is a mistake. We must define $x 0 = 1$ , for all $x$ , if the binomial theorem is to be valid when $x = 0$ , $y = 0$ , and/or $x = - y$ . The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function $0 x$ is quite unimportant". Ronald Graham; Donald Knuth; Oren Patashnik (5 de enero de 1989). «Binomial coefficients». Concrete Mathematics (1st edición). Addison Wesley Longman Publishing Co. p. 162. ISBN 0-201-14236-8.
↑ Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis. New York: Wiley. p. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. «In general the limit of $φ (x)/ ψ (x)$ when $x = a$ in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division ( $0/0$ ) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are $\infty/\infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty - \infty$ , $00$ , $1 \infty$ and $\infty 0$ .»
↑ L. J. Paige (March 1954). «A note on indeterminate forms». American Mathematical Monthly 61 (3): 189-190. doi:10.2307/2307224.
↑ «sci.math FAQ: What is 0^0?». www.faqs.org.
↑ Rotando, Louis M.; Korn, Henry (1977). «The Indeterminate Form $00$ ». Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 50 (1): 41-42. doi:10.2307/2689754.
↑ Lipkin, Leonard J. (2003). «On the Indeterminate Form $00$ ». The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 34 (1): 55-56. doi:10.2307/3595845.
↑ "Since $log(0)$ does not exist, $0 z$ is undefined. For $Re(z) > 0$ , we define it arbitrarily as $0$ ." George F. Carrier, Max Krook and Carl E. Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, p. 15 ISBN 0-89871-595-4
↑ "For $z = 0$ , $w \neq 0$ , we define $0 w = 0$ , while $00$ is not defined." Mario Gonzalez, Classical Complex Analysis, Chapman & Hall, 1991, p. 56. ISBN 0-8247-8415-4
↑ "... Let's start at $x = 0$ . Here $x x$ is undefined." Mark D. Meyerson, The $x x$ Spindle, Mathematics Magazine 69, no. 3 (June 1996), 198-206. doi 10.1080/0025570X.1996.11996428
↑ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
↑ Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction $0 0 x$ , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.
↑ Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.
↑ A. F. Möbius (1834). «Beweis der Gleichung $00 = 1$ , nach J. F. Pfaff» [Proof of the equation $00 = 1$ , according to J. F. Pfaff]. Journal für die reine und angewandte Mathematik 12: 134-136.
↑ ^a ^b Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422 (arΧiv:math/9205211).
↑ Examples include Edwards and Penny (1994). Calculus, 4th ed, Prentice-Hall, p. 466, and Keedy, Bittinger, and Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, p. 32.
↑ «What is 0^0?». www.maa.org. Consultado el 26 de julio de 2019.

Enlaces externos

sci.Matemática FAQ: Qué es 00?
Qué 00 (cero al zeroth poder) igual? En Askamathematician.com

Datos: Q6139783

[Bourbaki-1] N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.

[2] Nicolas Bourbaki (1970). Algèbre. Springer.

[3] Nicolas Bourbaki (1970). Algèbre. Springer. , §IV.1 No. 3.

[4] "Some textbooks leave the quantity $00$ undefined, because the functions $x 0$ and $0 x$ have different limiting values when $x$ decreases to 0. But this is a mistake. We must define $x 0 = 1$ , for all $x$ , if the binomial theorem is to be valid when $x = 0$ , $y = 0$ , and/or $x = - y$ . The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function $0 x$ is quite unimportant". Ronald Graham; Donald Knuth; Oren Patashnik (5 de enero de 1989). «Binomial coefficients». Concrete Mathematics (1st edición). Addison Wesley Longman Publishing Co. p. 162. ISBN 0-201-14236-8.

[5] Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis. New York: Wiley. p. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. «In general the limit of $φ (x)/ ψ (x)$ when $x = a$ in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division ( $0/0$ ) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are $\infty/\infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty - \infty$ , $00$ , $1 \infty$ and $\infty 0$ .»

[6] L. J. Paige (March 1954). «A note on indeterminate forms». American Mathematical Monthly 61 (3): 189-190. doi:10.2307/2307224.

[7] «sci.math FAQ: What is 0^0?». www.faqs.org.

[8] Rotando, Louis M.; Korn, Henry (1977). «The Indeterminate Form $00$ ». Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 50 (1): 41-42. doi:10.2307/2689754.

[9] Lipkin, Leonard J. (2003). «On the Indeterminate Form $00$ ». The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 34 (1): 55-56. doi:10.2307/3595845.

[10] "Since $log(0)$ does not exist, $0 z$ is undefined. For $Re(z) > 0$ , we define it arbitrarily as $0$ ." George F. Carrier, Max Krook and Carl E. Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, p. 15 ISBN 0-89871-595-4

[11] "For $z = 0$ , $w \neq 0$ , we define $0 w = 0$ , while $00$ is not defined." Mario Gonzalez, Classical Complex Analysis, Chapman & Hall, 1991, p. 56. ISBN 0-8247-8415-4

[12] "... Let's start at $x = 0$ . Here $x x$ is undefined." Mark D. Meyerson, The $x x$ Spindle, Mathematics Magazine 69, no. 3 (June 1996), 198-206. doi 10.1080/0025570X.1996.11996428

[13] Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.

[14] Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction $0 0 x$ , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.

[15] Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.

[Möbius1834-16] A. F. Möbius (1834). «Beweis der Gleichung $00 = 1$ , nach J. F. Pfaff» [Proof of the equation $00 = 1$ , according to J. F. Pfaff]. Journal für die reine und angewandte Mathematik 12: 134-136.

[Knuth1992-17] Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422 (arΧiv:math/9205211).

[18] Examples include Edwards and Penny (1994). Calculus, 4th ed, Prentice-Hall, p. 466, and Keedy, Bittinger, and Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, p. 32.

[19] «What is 0^0?». www.maa.org. Consultado el 26 de julio de 2019.

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	'''Cero a la potencia de cero''' o '''cero a la cero''', denotado por <math>0^0</math>, es una [[expresión matemática]] sin, a priori, un consenso matemático sobre su valor. Las posibilidades más comunes es darle el valor [[Uno\|{{Math\|1}}]] o decir que su valor es indefinido, dependiendo del contexto donde se esté utilizando. En [[álgebra]] y [[combinatoria]], generalmente el valor de <math>0^0</math> es considerado como 1, mientras que en [[análisis matemático]] la expresión es a veces dejada indefinida. Los lenguajes de programación de alto nivel también tienen distintas maneras de manejar esta expresión.		'''Cero a la potencia de cero''' o '''cero a la cero''', es igual a 0 denotado por <math>0^0</math>, es una [[expresión matemática]] sin, a priori, un consenso matemático sobre su valor. Las posibilidades más comunes es darle el valor [[Uno\|{{Math\|1}}]] o decir que su valor es indefinido, dependiendo del contexto donde se esté utilizando. En [[álgebra]] y [[combinatoria]], generalmente el valor de <math>0^0</math> es considerado como 1, mientras que en [[análisis matemático]] la expresión es a veces dejada indefinida. Los lenguajes de programación de alto nivel también tienen distintas maneras de manejar esta expresión.

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