Diferencia entre revisiones de «Par ordenado»

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Definición

La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos:

Dos pares ordenados $(a, b)$ y $(c, d)$ son idénticos si y solo si coinciden sus primer y segundo elemento respectivamente:

$(a,b)=(c,d)\ {\text{ si y solo si }}\ a=c\ {\text{ y }}\ b=d\!$

Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.

Producto cartesiano

Artículo principal: Producto cartesiano

Dados dos conjuntos $X$ e $Y$ , la colección de todos los pares ordenados $(x, y)$ , formados con un primer elemento en $X$ y un segundo elemento en $Y$ , se denomina el producto cartesiano de $X$ e $Y$ , y se denota $X \times Y$ . El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.

Generalizaciones

Artículo principal: N-tupla

Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:

$(a_{1},a_{2},a_{3})=(b_{1},b_{2},b_{3}){\text{ si y solo si }}a_{1}=b_{1},\ a_{2}=b_{2}{\text{ y }}a_{3}=b_{3}$

En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos $n$ , dando lugar así a una n-tupla.

Definición conjuntista

La condición de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad matemática relevante.^[1] Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se define par ordenado como un conjunto particular de tal manera que su relación de igualdad sea la correcta.

La definición conjuntista habitual, debida a Kuratowski, es:^[2]

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\!$

Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado .^[3]

Esquemas sustitutivos

La definición conjuntista de Kuratowski no es la única existente en la literatura matemática:

$(a,b)={ {a, 1}, {b, 2} }$ (Hausdorff, 1914).^[2]
$(a,b)= { {{a}, \emptyset}, {{b}} }$ (Wiener, 1914).^[4]

Referencias

↑ Véase por ejemplo Moschovakis, 2006, p. 35, donde se afirma que

Adoptamos ahora una operación $(x, y)$ concreta específica [...] quizás el par de Kuratowski [...] quizá alguna otra: a partir de aquí podemos olvidarnos de la definición concreta elegida, lo único que importa es que la operación "par" satisface [las propiedades básicas de los pares ordenados].
↑ ^a ^b Introducción de Wiener, 1967
↑ Moschovakis, 2006, p. 35.
↑ Wiener, 1967

Moschovakis, Yiannis N. (2006). Notes on set theory (en inglés). Birkhäuser. ISBN 9780387287225.
Wiener, Norbert (1967) [1914]. «A simplification of the logic of relations». En Jean van Heijenoort, ed. From Frege to Gödel (en inglés). Cambridge University Press. LCCN 67010905.
Enderton, Herbert (1977) [1977]. «3 Relations And Functions». En Elsevier Science, ed. Elements of ser theory (en inglés). Academic Press. Plantilla:0122384407.

Bibliografía

Kuratowski, Kazimierz (1921). «Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles» (PDF). Fundamenta Mathematicae (en francés) 2 (1): 161-171. Archivado desde el original el 21 de octubre de 2013. Consultado el 23 de noviembre de 2014. El artículo con la definición original del par de Kuratowski.

Datos: Q191290

[1] Véase por ejemplo Moschovakis, 2006, p. 35, donde se afirma que

Adoptamos ahora una operación $(x, y)$ concreta específica [...] quizás el par de Kuratowski [...] quizá alguna otra: a partir de aquí podemos olvidarnos de la definición concreta elegida, lo único que importa es que la operación "par" satisface [las propiedades básicas de los pares ordenados].

[wiener-intro-2] Introducción de Wiener, 1967

[3] Moschovakis, 2006, p. 35.

[4] Wiener, 1967

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-[[Archivo:FuncionLineal00.svg|right|250px|thumb|Ejemplos de ocho [[punto (geometría)|puntos]] localizados en el [[plano (geometría)|plano cartesiano]] mediante pares ordenados]]
-En [[matemáticas]], un '''par ordenado''' es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es {{math|''a''}} y cuyo segundo elemento es {{math|''b''}} se denota como {{math|(''a'', ''b'')}}.
-Un par ordenado {{math|(''a'', ''b'')}} no es el [[conjunto]] que contiene a los elementos {{math|''a''}} y {{math|''b''}}, denotado por {{math|{''a'', ''b''}|}}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el [[relación de orden|orden]] de estos es también parte de su [[definición (matemática)|definición]]. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.
-Los pares ordenados también se denominan tuplas o vectores dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de [[n-tupla|''n''-tupla]].
-El [[producto cartesiano]] de conjuntos, las [[relación binaria|relaciones binarias]], las [[coordenadas cartesianas]], las [[fracción|fracciones]] y las [[función matemática|funciones]] se definen en términos de pares ordenados.
 == Definición ==