Sistema criptográfico Paillier

El sistema criptográfico Paillier es un algoritmo asimétrico probabilístico utilizado en criptografía de clave pública, inventado por Pascal Paillier en 1999. Se cree que el problema de calcular las clases del enésimo residuo es computacionalmente difícil. Esto se conoce como Residuad Compuesta y es la base de este sistema criptográfico.

Esquema

El esquema es un homomorfismo aditivo, es decir, dada la clave publica y los valores $m_{1}$ y $m_{2}$, es posible calcular $m_{1}+m_{2}$

El esquema funciona como sigue:

Generación de Clave

1. Se escogen 2 numeros primos p y q aleatorios e independientes.
2. Se calcula $n=pq$ y $\lambda =mcm(p-1,q-1)$
3. Se escoge un entero al azar g tal que $g\in \mathbb {Z} _{n^{2}}^{*}$
4. Se asegura que n divide a g revisando la existencia del siguiente inverso multiplicativo: $\mu =(L(g^{\lambda }\mod {n^{2}}))^{-1}{\pmod {n}}$ donde la función L se define como $L(u)={\frac {u-1}{n}}$

• La clave pública es $(n,g)$
• La clave privada es $(\lambda ,\mu )$

Cifrado

1. Sea m el mensaje a cifrar, tal que $m\in \mathbb {Z} _{n}$
2. Se escoge un un número aleatorio r, tal que $r\in \mathbb {Z} _{n}^{*}$
3. El mensaje cifrado es: $c=g^{m}\cdot r^{n}{\pmod {n^{2}}}$

Descifrado

1. Dado el texto cifrado $c\in \mathbb {Z} _{n^{2}}^{*}$
2. El mensaje descifrado es: $m=L(c^{\lambda }{\pmod {n^{2}}})\cdot \mu {\pmod {n}}$