Espacio cotangente

En geometría diferencial, el espacio cotangente es un espacio vectorial asociado a un punto $x$ en una variedad diferenciable ${\mathcal {M}}$; se puede definir el espacio cotangente para cada punto de una variedad diferenciable. Habitualmente, el espacio cotangente, $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ se define como el espacio dual del espacio tangente en $x$, $T_{x}{\mathcal {M}}$, aunque existen definiciones más directas (ver debajo). Los elementos del espacio cotangente se suelen llamar vectores cotangentes o covectores tangentes.

Propiedades

Todos los espacios cotangentes en puntos de una variedad conexa tienen la misma dimensión, que es la misma dimensión que la de la variedad. Todos los espacios cotangentes de una variedad pueden ser "pegados" (e.d. unidos y dados una topología) para formar una variedad diferenciable de doble dimensión, el fibrado cotangente de la variedad.

El espacio tangente y cotangente en un punto son ambos espacios vectoriales reales de la misma dimensión, y son por lo tanto isomorfos mediante muchos posibles isomorfismos. Si introducimos una métrica Riemanniana o una forma simpléctica da pie a un isomorfismo natural entre el espacio tangente y el cotangente en un punto, asociando a cualquier vector cotangente un vector tangente canónico.

Definiciones formales

Definición como funcionales lineales

Sea ${\mathcal {M}}$ una variedad diferenciable y sea $x$ un punto de ${\mathcal {M}}$. Sea ahora $T_{x}{\mathcal {M}}$ el espacio tangente en $x$. Entonces el espacio cotangente en x se define como el espacio dual de $T_{x}{\mathcal {M}}$:

$T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=(T_{x}{\mathcal {M}})^{*}$

En particular, los elementos del espacio cotangente son funcionales lineales en $T_{x}{\mathcal {M}}$. Esto es, cada elemento $\alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}$ es una aplicación lineal

$\alpha :T_{x}{\mathcal {M}}\to F$

donde $F$ es el cuerpo subyacente de espacio vectorial en cuestión, por ejemplo, el cuerpo de los números reales. Los elementos de $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ se llaman vectores cotangentes.

Definición Alternativa

En algunos casos, es preferible tener un definición directa del espacio cotangente que no depende del espacio tangente. Tal definición se puede dar en términos de clases de equivalencia de funciones suaves en ${\mathcal {M}}$. Informalmente, diremos que dos funciones suaves f y g son equivalentes en un punto $x$ si la derivada de la función f-g se anula en $x$. El espacio cotangente consistirá de todos los posibles comportamientos de la derivada de una función cerca de $x$.

Sea ${\mathcal {M}}$ una variedad diferenciable y x un punto en ${\mathcal {M}}$. Sea $I_{x}$ el ideal de todas las funciones $C^{\infty }\!({\mathcal {M}})$ que se anulan en $x$, y sea $I_{x}^{2}$ el conjunto de funciones de la forma ${\textstyle \sum _{i}f_{i}g_{i}}$, where $f_{i},g_{i}\in I_{x}$. Entonces, $I_{x}$ y $I_{x}^{2}$ son ambos espacios vectoriales reales y el espacio cotangente se puede definir como el Espacio cociente $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ probando que ambos espacios son isomorfos entre ellos.

Esta formulación es análoga a la construcción del espacio cotangente para definir el espacio tangente a una variedad algebraica con la Topología de Zariski en geometría algeraica. Esta construcción también puede generalizarse a espacios de anillos locales.

La diferencial de una función

Sea M una variedad diferenciable y sea f ∈ C^∞(M) una función suave. La diferencial de f en un punto x es la aplicación

df_x(X_x) = X_x(f)

donde X_x es un vector tangente en x, pensado como una forma de derivar. Esto es, $X(f)={\mathcal {L}}_{X}f$ es la Derivada de Lie de f en la dirección de X, y uno tiene df(X) = X(f). Equivalentemente, podemos pensar en los vectores tangentes como tangentes a curvas, y escribir

df_x(γ′(0)) = (f ∘ γ)′(0)

En cualquier caso, df_x es una aplicación lineal en T_xM y por lo tanto es un vector cotangente en x.

Podemos definir la aplicación diferencial d : C^∞(M) → T_x^*M en un punto x como la aplicación que manda f a df_x. Las propiedades de la aplicación diferencial incluyen:

1. d es una aplicación lineal: d(af + bg) = a df + b dg para todas constantes a y b,
2. d(fg)_x = f(x) dg_x + g(x) df_x,

La aplicación diferencial nos da una relación entre las dos definiciones alternativas del espacio cotangente dadas más arriba. Dada una función f ∈ I_x (una función suave que se anula en x) podemos crear el funcional lineal df_x igual que arriba. Como la aplicación d se restringe a 0 en I_x² (el lector interesado puede comprobar esto por su cuenta), d desciende a una aplicación que va desde I_x / I_x² al espacio dual del espacio tangente, (T_xM)^*. Uno puede mostrar que esta aplicación es un isomorfismo, probando la equivalencia de ambas definiciones.

El pullback de una función suave

Al igual que toda función diferenciable f : M → N entre variedades induce una aplicación lineal (llamada el pushwforward o derivada) entre los respectivos espacios tangentes

$f_{*}^{}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N$

cada función de estas características induce una aplicación lineal (llamada el pullback) entre los espacios cotangentes, solo que esta vez en la dirección opuesta:

$f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M.$

El pullback se define naturalmente como el dual (o traspuesta) del pushforward. Analizando la definición, esto significa lo siguiente:

$(f^{*}\theta )(X_{x})=\theta (f_{*}^{}X_{x}),$

donde θ ∈ T_f(x)^*N y X_x ∈ T_xM. Observar detenidamente donde vive cada cosa.

Si definimos los vectores contangentes en términos de clases de equivalencia de funciones suaves que se anulan en un punto entonces la definición de pullback es todavía más directa. Sea g una función suave en N que se anula en f(x). Entonces el pullback del vector cotangente determinado por g (denotado dg) viene dado por

$f^{*}\mathrm {d} g=\mathrm {d} (g\circ f).$

Esto es, es la clase de equivalencia de funciones en M que se anulan en x determinadas por g ∘ f.

Exterior powers

The k-th exterior power of the cotangent space, denoted Λ^k(T_x^*M), is another important object in differential geometry. Vectors in the kth exterior power, or more precisely sections of the k-th exterior power of the cotangent bundle, are called differential k-forms. They can be thought of as alternating, multilinear maps on k tangent vectors. For this reason, tangent covectors are frequently called one-forms.

References

• Abraham, Ralph H.; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1 .
• Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (4th edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-25907-7 .
• Lee, John M. (2003), Introduction to smooth manifolds, Springer Graduate Texts in Mathematics 218, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95448-6 .
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0 .