Congruencia (geometría)

Un ejemplo de congruencia. Los dos triángulos de la izquierda son congruentes, mientras que el tercero es similar a ellos. El último triángulo no es ni congruente ni semejante a ninguno de los otros. La congruencia permite modificar algunas propiedades, como la posición y la orientación, pero no modifica otras, como la distancia y el ángulo. Las propiedades que no cambian se llaman invariantes.

En geometría, dos figuras u objetos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, o si una tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular de la otra.​

Más formalmente, dos conjuntos de puntos se denominan congruentes si, y solo si, uno puede transformarse en el otro mediante una isometría, es decir, una combinación de movimientos rígidos, a saber, una traslación, una rotación y una reflexión. Esto significa que cualquiera de los objetos puede reposicionarse y reflejarse (pero no redimensionarse) de modo que coincida exactamente con el otro objeto. Por lo tanto, dos figuras planas distintas en un trozo de papel son congruentes si se pueden recortar y luego hacer coincidir completamente. Se permite dar la vuelta al papel.

Este diagrama ilustra el principio geométrico de congruencia ángulo-ángulo-lado triángulo: dados el triángulo ABC y el triángulo A'B'C', el triángulo ABC es congruente con el triángulo A'B'C' si y sólo si: el ángulo CAB es congruente con el ángulo C'A'B', y el ángulo ABC es congruente con el ángulo A'B'C', y BC es congruente con B'C'. Nota hatch marks se usan aquí para mostrar igualdades de ángulos y lados.

En geometría elemental la palabra congruente se usa a menudo de la siguiente manera.​ La palabra igual se usa a menudo en lugar de congruente para estos objetos.

• Dos segmento de líneas son congruentes si tienen la misma longitud.
• Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
• Dos círculos son congruentes si tienen el mismo diámetro.

En este sentido, dos figuras planas son congruentes implica que sus correspondientes características son congruentes o iguales incluyendo no sólo sus correspondientes lados y ángulos, sino también sus correspondientes diagonales, perímetros y áreas.

El concepto relacionado de semejanza se aplica si los objetos tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. (La mayoría de las definiciones consideran que la congruencia es una forma de semejanza, aunque una minoría exige que los objetos tengan tamaños diferentes para calificarlos de semejantes).

Concepto

Dos o más figuras son congruentes si se cumple que son equivalentes tanto en forma como en tamaño, es decir si sus lados y sus ángulos respectivos tienen la correspondiencia en la medida, aunque su posición y orientación sean distintas.

El símbolo de congruencia es ( ≅ ).

Las partes coincidentes de las figuras congruentes​ se llaman homólogas o correspondientes.

Figuras congruentes relacionadas mediante traslación.

Figuras congruentes relacionadas mediante reflexión y rotación.

En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen las mismas dimensiones y la misma forma sin importar su posición u orientación,​ es decir, si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación o reflexión. Las partes relacionadas entre las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Determinación de la congruencia de polígonos

Los cuadriláteros naranja y verde son congruentes; el azul no lo es con ellos. Los tres tienen el mismo perímetro y área. (La ordenación de los lados del cuadrilátero azul es "mixta", lo que hace que dos de los ángulos interiores y una de las diagonales no sean congruentes).

Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por tanto, el mismo número de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y sólo si cada uno tiene secuencias numéricamente idénticas (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo-... para n lados y n ángulos.

La congruencia de polígonos puede establecerse gráficamente de la siguiente manera:

• Primero, emparejar y etiquetar los vértices correspondientes de las dos figuras.
• En segundo lugar, dibuja un vector desde uno de los vértices de una de las figuras hasta el vértice correspondiente de la otra figura. Traslada la primera figura mediante este vector para que estos dos vértices coincidan.
• Tercero, gira la figura trasladada alrededor del vértice correspondiente hasta que un par de lados correspondientes coincidan.
• Cuarto, reflejar la figura rotada sobre este lado coincidente hasta que las figuras coincidan.

Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes.

Definición de congruencia en geometría analítica

En la geometría euclidiana, la congruencia es equivalente a igualdad matemática en aritmética y álgebra. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema y por de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, la distancia euclidiana entre cualquier par de puntos de la primera figura es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes de la segunda figura

Definición formal: Dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ son llamados congruentes si existe una isometría $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ con $f(A)=B$.

Ángulos congruentes

Los ángulos opuestos son congruentes debido a que una rotación de 180° sobre su vértice hace coincidir uno y el otro.

• 
  Los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son congruentes y opuestos por el vértice.
• 
  Una recta que corta dos paralelas generan ángulos congruentes.
• 
  Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes cuando sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Notación: Si dos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son congruentes, esto se notará como:

$\triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF}$

Criterios de congruencia de triángulos

Criterios para establecer que dos triángulos sean congruentes con un mínimo de condiciones, a veces llamado de forma genérica postulados o teoremas de congruencia ya que aunque triviales se tienen que demostrar.​​​ En principio se busca construir triángulos congruentes con el mínimo de información sobre este.

1. Caso AAL o ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos. En un triángulo si conocemos dos de sus ángulos el tercer ángulo queda unívocamente determinado.

• 
  ALA
• 
  AAL

2. Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el mismo ángulo comprendido entre ellos.

• 
  LAL

3. Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales.

4. Caso LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo sobre uno de ellos iguales. Este caso no es de congruencia si no damos más información sobre el triángulo, como la de ser triángulo rectángulo o si tiene o no ángulos obtusos.

Determinación de la congruencia de polígonos

Los cuadriláteros naranja y verde son congruentes; el azul no lo es con ellos. Los tres tienen el mismo perímetro y área. (La ordenación de los lados del cuadrilátero azul es "mixta", lo que hace que dos de los ángulos interiores y una de las diagonales no sean congruentes).

Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por tanto, el mismo número de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y sólo si cada uno tiene secuencias numéricamente idénticas (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo-... para n lados y n ángulos.

La congruencia de polígonos puede establecerse gráficamente de la siguiente manera:

• Primero, emparejar y etiquetar los vértices correspondientes de las dos figuras.
• En segundo lugar, dibuja un vector desde uno de los vértices de una de las figuras hasta el vértice correspondiente de la otra figura. Traslada la primera figura mediante este vector para que estos dos vértices coincidan.
• Tercero, gira la figura trasladada alrededor del vértice correspondiente hasta que un par de lados correspondientes coincidan.
• Cuarto, reflejar la figura rotada sobre este lado coincidente hasta que las figuras coincidan.

Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes.

Definición de congruencia en geometría analítica

En sistema euclidiano, la congruencia es fundamental; es la contrapartida de la igualdad para los números. En geometría analítica, la congruencia puede definirse intuitivamente así: dos mapeados de figuras sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y sólo si, para dos puntos cualesquiera del primer mapeado, la distancia euclídea entre ellos es igual a la distancia euclídea entre los puntos correspondientes del segundo mapeado.

Una definición más formal establece que dos subconjuntos A y B del espacio euclídeo Rⁿ se llaman congruentes si existe una isometría f: Rⁿ → Rⁿ (un elemento del grupo euclídeo E(n)) con f(A) = B. La congruencia es una relación de equivalencia.

Véase también

Relaciones aritméticas entre ángulos:

• Ángulos complementarios
• Ángulos suplementarios
• Ángulos conjugados

Relaciones posicionales entre ángulos:

• Ángulos adyacentes
• Ángulos consecutivos
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos interiores y exteriores

Determinados por dos paralelas y una transversal

• Ángulos correspondientes
• Ángulos alternos

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Congruencia.
• https://web.archive.org/web/20110905041903/http://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria.pdf
• The SSA en Cut-the-Knot.

• Datos: Q154210
• Multimedia: Congruence / Q154210