Movimiento armónico simple

Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilará.

Cinemática de una partícula sometida a movimiento armónico simple

La ecuación general de cualquier movimiento armónico simple es:

$x(t)=A\sin(\omega t+\phi )\qquad$

donde:

$x\,$: es la elongación, es decir, la posición en cualquier instante, respecto de la posición de equilibrio, de la partícula que vibra.

$A\,$: es la amplitud del movimiento (alejamiento máximo del punto de equilibrio).

$\omega \,$: es la frecuencia angular; se mide en radianes / segundo.

$t\,$: Es el tiempo, en segundos, que determina el movimiento.

$\phi \,$: recibe el nombre de fase inicial e indica el estado de vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión anterior.

Posición de la partícula

La pelota azul describe un movimiento armónico simple.

La posición de una partícula que describe un movimiento armónico simple puede ser determinada por su ecuación del movimiento: En física, una ecuación de movimiento es una ecuación diferencial que explicita como es la evolución temporal de un sistema físico. Esta ecuación relaciona la derivada temporal de una o varias variables que caracterizan el estado físico del sistema, con otras magnitudes físicas que provocan el cambio en el sistema.

(1)$x(t)=A\,\sin(\omega t+\phi )\,$

Las características de un M.A.S. son:

• Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.
• La función seno es periódica y se repite cada $2\pi$, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en $2\pi$, es decir, cuando transcurre un tiempo $P=2\pi /\omega \,$.

Velocidad

La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición respecto al tiempo.

1. $x=A\sin(\omega t+\phi )\,$
2. $v={\frac {dx}{dt}}$

Substituyendo la primera de estas expresiones en la segunda se tiene que:

(2)$v={\frac {dx(t)}{dt}}=\omega A\cos(\omega t+\phi )\qquad$

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo y se obtiene derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo y de la definición de aceleración:

1. $v=\omega A\cos(\omega t+\phi )\,$
2. $a={\frac {dv}{dt}}$

Nuevamente, substituyendo la primera expresión en la segunda se tiene:

(3)$a={\frac {dv(t)}{dt}}=-\omega ^{2}A\,\sin(\omega t+\phi )=-\omega ^{2}x$

Ecuación del movimiento armónico simple y conservatividad de fuerzas

Comparando la ecuación (1) y (3) que la aceleración tiene una relación opuesta a la posición y se podría poner:

(4)$a(t)=-\omega ^{2}x(t)\Rightarrow {\frac {F(x)}{m}}=-\omega ^{2}x$

La aceleración depende de $\omega$ y de la posición de la partícula $x\,$, dado que $\omega$ es constante, la aceleración y, por tanto, también la velocidad centripeta, varían únicamente con la posición de la partícula, lo cual lleva a la conclusión de que la que lo provoca es una fuerza conservativa. La ecuación del movimiento se suele escribir como:

(5)$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-F(x)=0\quad \Rightarrow \quad m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+m\omega ^{2}x(t)=0$

Fuerza que genera un movimiento armónico simple

La base de un movimiento armónico simple consiste en que la única fuerza ejercida sobre la partícula en movimiento lineal y que únicamente depende de la posición de ésta. Si se llama x a la posición de dicha partícula, la fuerza ejercida sobre ella es:

1. ${F}=ma\,$
2. $a=-\omega ^{2}x\,$ [ecu.: 4]

Luego

${F}=-m\omega ^{2}x\,$

Dado que la masa de la partícula y la velocidad angular son fijos, se podría reducir la ecuación a:

${F}=-kx\,$

donde k toma un valor fijo que depende de la masa y la velocidad angular. El signo negativo indica que en todo momento la partícula experimenta una fuerza contraria a su posición (le "empuja" hacia el centro).

En un movimiento armónico simple, la oscilación es regular y la partícula invierte su trayectoria siempre en puntos equidistantes respecto al centro.

Energía de una partícula en movimiento armónico simple

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son fuerzas conservativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (E_p) asociado a la fuerza, que sumado con la energía cinética (E_c) permanece invariable al moverse es una constante del movimiento:

$E=E_{p}+E_{c}\,$

Esta última magnitud recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar la expresión de la energía mecánica, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(6)$E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}$

La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento.

Véase también

• Oscilador armónico
• Cinemática
• Derivada
• Integral y función primitiva
• Movimiento armónico complejo