Variedad de Kähler

En matemáticas, una variedad de Kähler es una variedad compleja que también lleva una métrica de Riemann y una forma simpléctica en la variedad real subyacente de modo tal que las tres estructuras (compleja, de Riemann y simpléctica) sean todas mutuamente compatibles. Las variedades de Kähler se pueden pensar así como variedades de Riemann y variedades simplécticas de un modo natural.

Los variedades de Kähler se llama así por el matemático Erich Kähler y son importantes en geometría algebraica.

Definición

Una métrica de Kähler en una variedad compleja M es una métrica hermitiana en el fibrado tangente complexificado$TM\otimes \mathbf {C}$ que satisface una condición que tenga varias caracterizaciones equivalentes (la más geométrica es que transporte paralelo da lugar a funciones complejo-lineales en los espacios tangente). En términos de coordenadas locales se especifica de este modo: si

$h=\sum h_{i{\bar {j}}}\;dz^{i}\otimes d{\bar {z}}^{j}$

es métrica hermitiana, entonces la forma de Kähler asociada (definida salvo un factor de i/2) por

$\omega =\sum h_{i{\bar {j}}}\;dz^{i}\wedge d{\bar {z}}^{j}$

es cerrada: es decir, dω = 0. Si M lleva tal métrica se llama una variedad de Kähler.

Ejemplos

• El espacio euclidiano complejo C ⁿ con la métrica hermitiana estándar es una variedad de Kähler.

• Un toro complejo, dado por Cⁿ/Λ para una cierta red Λ, forma una variedad compacta de Kähler con la métrica natural.

• Cada superficie de Riemann es una variedad de Kähler, puesto que la condición para que ω sea cerrado es trivial en 2 dimensiones (reales).

• El espacio proyectivo complejo CPⁿ tiene un métrica de Kähler natural llamada métrica de Fubini-Study. Esencialmente está determinada por la condición que sea invariante bajo la acción del grupo unitario (de una dimensión más grande, actuando en el espacio vectorial complejo que da lugar al espacio proyectivo).

• Cualquier subvariedad compleja de una variedad de Kähler es Kähler. En particular, cualquier variedad compleja que se pueda encajar en Cⁿ o CPⁿ es Kähler.

• Las propiedades de la restricción de la métrica de Fubini-Study significa que las variedades algebraicas complejas proyectivas no singulares llevan métricas de Kähler. Esto es fundamental en su teoría analítica.

Una subclase importante de las variedades de Kähler son las variedades de Calabi-Yau.