Teorema de Larmor

Visualización clásica del fenómeno de la precesión de Larmor.

El teorema de Larmor, creado por Joseph Larmor, dice que «siempre que tengamos una partícula cargada en una órbita limitada en una región finita del espacio en la que actúa un campo de fuerzas centrales, la adición de un pequeño campo magnético produce un movimiento adicional de precesión superpuesto al movimiento no perturbado de la partícula cargada (${\vec {B}}=0$)».

La precesión de Larmor es la precesión de los momentos magnéticos de los electrones, núcleos atómicos y átomos bajo la acción de un campo magnético externo. El campo magnético ejerce una torca o momento de fuerza en el momento magnético,

${\vec {\Gamma }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}=\gamma {\vec {J}}\times {\vec {B}}$

donde ${\vec {\Gamma }}$ es la torca, ${\vec {\mu }}$ es el momento dipolar magnético, ${\vec {J}}$ es el vector momento angular, ${\vec {B}}$ es el campo magnético externo y $\gamma$ es la razón giromagnética, que es la constante de proporcionalidad entre ${\vec {\mu }}$ y ${\vec {J}}$. $\times$ representa el producto vectorial.

Demostración

Se demuestra el teorema de Larmor considerando la descripción del movimiento de una partícula cargada en un campo central y otro magnético con respecto a un sistema de coordenadas que gire con la velocidad angular constante. La transformación de la descripción de la velocidad y de la aceleración a un sistema rotativo nos lleva a

${\mathbf {v} }={\mathbf {v'} }+{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {r} }$

${\mathbf {a} }={\mathbf {a'} }+2{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {v'} }+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {r} })$

donde v' y a' son, respectivamente, la velocidad y la aceleración e la partícula con respecto al sistema de coordenadas giratorio (cantidades vectoriales) y la x hace referencia al producto cruz o vectorial; haciendo algunas manipulaciones algebraicas llegamos a

$m{\mathbf {a'} }=f({\mathbf {r} })e{\mathbf {r} }-{\frac {e^{2}}{4m}}({\mathbf {B} }\times {\mathbf {r} })\times {\mathbf {B} }$

Con campos magnéticos pequeños, en los que el término B^2 es despreciable, encontramos asi la ecuación de movimiento aproximada:

$m{\mathbf {a} }=f({\mathbf {r} })e{\mathbf {r} }$

Por consiguiente, en una primera aproximación, el movimiento de una partícula en presencia de un campo magnético se observará que es la misma orbita que sin existir el campo magnético, pero con una precesión adicional de velocidad angular -wLk.

Nota: wL es la frecuencia angular de Larmor. er es el vector unitario que representa la dirección de un radio usado en las coordenadas cilíndricas, esféricas, etc. "e" es la carga de la particula. k es el vector unitario en la dirección de Z.

Referencias

Bibliografía

• Hauser, Walter (1966). Introducción a los Principio de Mecánica. Hispano Americana. 

Enlaces externos

• Explicación del teorema (en inglés)