Normalizador

En teoría de grupos, el normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el mayor subgrupo de G para el cual la acción de conjugación deja invariante a S. Cuando el conjunto consta de un sólo elemento, se habla entonces de un centralizador.

Definición

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, el normalizador de S está definido por $N(S)=\{g\in G:gSg^{-1}=S\}$

En donde $gSg^{-1}$ es el conjunto definido como $\{gsg^{-1}:s\in S\}$.

En particular, si S es un subgrupo de G, entonces N(S) es el mayor subgrupo de G en el cual S es un subgrupo normal.

Propiedades

El resultado más importante es que el normalizador de un subconjunto siempre es un subgrupo.

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, entonces el normalizador N(S) es un subgrupo de G.

Demostración

Para demostrar que es un subgrupo, basta con tomar dos elementos $a,b\in N(S)$ y verificar que $ab^{-1}$ también lo está, esto es, habría que demostrar que para todo $s\in S$ el elemento $(ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}$ también pertenece a S. Primero demostramos que si $b\in N(S)$ entonces $b^{-1}\in N(S)$ ya que para cualquier $s\in S$ existe un $s_{1}\in S$ que satisfaga $bsb^{-1}=s_{1}$, pero entonces $s=(b^{-1})s_{1}(b)\in S$, es decir, $b^{-1}\in N(S)$ Procedemos ahora a la prueba principal. Desarrollando $(ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}=ab^{-1}s(b^{-1})^{-1}a^{-1}=ab^{-1}sba^{-1}=a(b^{-1}sb)a^{-1}$ observamos que a está conjugando al elemento $b^{-1}sb$, el cual a su vez es la conjugación por $b^{-1}$ de s. Pero como $b\in N(S)$, entonces $b^{-1}\in N(S)$ y por tanto $b^{-1}sb\in S$. Denotemos por $s_{2}$ a $b^{-1}sb$ y entonces la expresión original se reescribe como $as_{2}a^{-1}$ que, al estar a en $N(S)$, también pertenece a S. Concluimos entonces que $(ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}\in S$ y por tanto $N(S)$ es un subgrupo.

Un caso de particular interés es cuando el subconjunto es al mismo tiempo un subgrupo.

Si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de N(H). Además, N(H) es el mayor subgrupo con esta propiedad.

Demostración

Si H es un subgrupo de G, entonces el normalizador es precisamente el conjunto de todos los elementos g del grupo para los cuales $gNg^{-1}=N$, que es precisamente la condición que define a un subgrupo normal.

Como consecuencia del teorema anterior, un subgrupo H de G es normal en G si y sólo si N(H) = G.

Si H es un subgrupo de G entonces el número de clases conjugadas de H en G es igual al índice del normalizador en el grupo: $[G:N(H)]$ y por tanto divide al orden del grupo cuando éste es finito. Además, dos clases de conjugación coinciden, $aHa^{-1}=bHb^{-1}$, si y sólo si $ab^{-1}\in N(H)$

Ejemplos

• El normalizador de cualquier subgrupo normal es el grupo completo. En particular N(<e>) y N(G) son ambos iguales a G.
• El subgrupo H?' de $S_{4}$ generado por el ciclo $(1,2,3,4)\,$ no es normal, por tanto su normalizador no es el grupo completo de permutaciones. En este caso, el normalizador de H es el subgrupo generado por las permutaciones $(1,2,3,4),(2,4),(1,3)(2,4)$.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 1 (2 edición), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 ..
• Fraleigh, John (1987), Álgebra abstracta 1 (1 edición), Addison-Wesley iberoamericana, ISBN 0-201-64052-X ..

Bibliografía extensiva

• Baumslag, B.; Chandler, B.: Teoría de grupos (1972), Mc Graw-Hill de México, impreso en Colombia.
• Zaldívar, Felipe: Introducción a la teoría de grupos(2009), Sociedad Matemática Mexicana-Reverté ediciones.