Punto singular de una curva

En geometría, un punto singular de una curva es aquel en el cual la curva no queda expresada por una función continuamente diferenciable de un parámetro. La definición precisa de un punto singular depende del tipo de curva en consideración.

Curvas algebraicas en el plano

Las curvas algebraicas en el plano pueden quedar definidas por un conjunto de puntos (x, y) que obedecen a una ecuación del tipo f(x, y)=0, donde f es una función polinómica f:R²→R. Si f se desarrolla como

$f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots \,$

Si el origen (0, 0) se encuentra en la curva entonces a₀=0. Si b₁≠0 entonces el teorema de la función implícita garantiza que existe una función continuamente diferenciable h es tal que la curva toma la forma y=h(x) cerca del origen. De manera similar, si b₀≠0 entonces existe una función continuamente diferenciable k tal que la curva posee la forma x=k(y) cerca del origen. En cualquiera de los dos casos, existe un mapeo continuamente diferenciable desde R al plano que define la curva en las proximidades del origen. Notar que en el origen

$b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},$

por lo que la curva no es singular o regular en el origen si por lo menos una de las derivadas parciales de f no es nula. Los puntos singulares son aquellos puntos de la curva donde ambas derivadas parciales se anulan,

$f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.$

Puntos regulares

Supongamos que la curva pasa por el origen y escribamos y=mx. Entonces f se puede expresar como

$f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,$

Si b₀+mb₁ no es 0 entonces f=0 posee una solución de multiplicidad 1 en x=0 y el origen es un punto de contacto simple con la línea y=mx. Si b₀+mb₁=0 entonces f=0 posee una solución de multiplicidad 2 o superior y la línea y=mx, o b₀x+b₁y=0, es tangente a la curva. En este caso, si c₀+2mc₁+c₂m² no es 0 entonces la curva posee un punto de doble contacto con y=mx. Si el coeficiente de x², c₀+2mc₁+c₂m², es 0 pero el coeficiente de x³ no lo es entonces el origen es un punto de inflexión de la curva. Si el coeficiente de x² y x³ son ambos 0 entonces el origen se denomina punto de undulación de la curva. Este análisis puede ser aplicado a todo punto de una curva trasladando los ejes coordenados de forma que el origen se encuentre en el punto que se desea estudiar.​

Puntos dobles

Tres caracoles de Pascal ilustran los tipos de puntos dobles. La curva de la izquierda posee un acnode en el origen, el cual es un punto aislado en el plano. La curva central, la cardioide, posee una cúspide en el origen. La curva de la derecha posee un crunode en el origen y la curva se crua a si misma formando un lazo.

Si b₀ y b₁ son ambos 0 en la expansión precedente, pero si por lo menos uno de c₀, c₁, c₂ no es 0 entonces el origen es denominado un punto doble de la curva. Nuevamente haciendo y=mx, f se puede expresar como

$f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,$

Los puntos dobles pueden ser clasificados según las soluciones de c₀+2mc₁+m²c₂=0.

Referencias

• Hilton, Harold (1920). «Chapter II: Singular Points». Plane Algebraic Curves. Oxford.