Diferencia entre revisiones de «Logaritmo»
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En [[Matemática]], el ''logaritmo'' es la función inversa de la [[función]] potencia ''x'' = b<sup>''n''</sup>, que permite obtener ''n''. Esta función se escribe como ''n'' = log<sub>''b''</sub> ''x''. Es el exponente o potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado. Por ejemplo, en la expresión 10<sup>2</sup> = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2. Esto se escribe como log<sub>10</sub> 100 = 2. |
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Por ejemplo: |
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: <math>3^4 = 81</math> <math>\longmapsto</math> <math>\log_3 81 = 4 \,\!</math> |
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El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en ''b''<sup>''n''</sup> = ''x'', ''b'' puede ser encontrado con [[Función raíz|radicales]], ''n'' con '''logaritmos''' y ''x'' con [[exponenciación]]. Se denomina '''logaritmo neperiano''' o '''logaritmo natural (ln)''' al logaritmo en base [[Número e|e]] de un número. |
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==Uso de logaritmos== |
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La función log<sub>''b''</sub>(''x'') está definida dondequiera que ''x'' es un número real positivo y ''b'' es un número real positivo diferente a 1. Véase [[identidades logarítmicas]] para diversas reglas relacionadas a las funciones logarítmicas. También es posible definir logaritmos para argumentos [[número complejo|complejos]]. |
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Para [[número entero|enteros]] ''b'' y ''x'', el número log<sub>''b''</sub>(''x'') es [[número irracional|irracional]] (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si ''b'' o ''x'' tiene un [[factorización|factor primo]] que el otro no tiene. |
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==Bases== |
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Son comunes los logaritmos en base [[Número e|e]] (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 ([[logaritmo binario]]), o en base indefinida ([[logaritmo indefinido]]). |
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===Logaritmos en otras bases=== |
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La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al ''logaritmo de x en base b'' (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1): |
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<math>\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!</math> |
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en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:<br /> |
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<math>\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)} \,\!</math> |
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En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como <math>\log(x)\,\!</math>, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada [[pH]]) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad ([[candela]]), del sonido([[Decibelio|dB]]), de la energía de un terremoto ([[escala de Richter]]), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. |
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Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución. |
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== Logaritmo natural == |
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En [[cálculo]] se llama ''logaritmo natural'' o ''logaritmo neperiano'' a la [[primitiva]] de la función:<br /> |
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<math>f(x) = \frac {1}{x} \,\!</math> |
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que toma el valor 0 cuando la variable x es igual a 1, es decir: |
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<math>\ln (x)=\int_1^x \frac{dt}{t}</math> para x > 0. |
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También se llama así al logaritmo obtenido tomando como base el valor del [[número trascendental]] "[[número e|e]]" (aproximadamente igual a 2,718 281 828...). |
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La función logaritmo natural es la [[función recíproca|inversa]] de la [[función exponencial]]: <math> f(x) = e^x \,\!</math>. |
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==Deducción== |
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[[image:Logaritmo_función1.png||right]] |
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La [[función derivada|derivada]] de la función <math>f(x) = x^n \,\!</math> es <math>f^\prime(x) = nx^{n-1} \,\!</math>. Al dividir ambos lados de la expresión " " y observar el resultado, se puede afirmar que una [[integral y función primitiva|primitiva]] de <math>x^m \,\!</math> es <math>x^{m+1}\frac{1}{m+1} \,\!</math> (con m = n - 1). |
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Este cálculo obviamente no es válido cuando m = - 1, porque no se puede [[División por cero|dividir por cero]]. Por lo tanto, la función inversa 1/x es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia". Pero esta función es continua sobre el rango (0; + ∞) lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre ( - ∞ ; 0). |
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En resumen: <math>\ln^\prime (x) = \frac {1}{x} \,\!</math> , y <math>\ln (1) = 0 \,\!</math>.<,fhdlmfhjm'hhhhhhhhhhhhhhhhhhffffffffffffffffdhp`fdbnk'fvd hfk0dgh¡ dsfhfhjh'nk¡p¡hg m |
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kp`k |
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pxvmk |
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p |
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kp |
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kp |
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kphg |
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kpgp |
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nmp |
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nmkp |
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,kpnkmn+mnl |
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mnplnpn |
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nbr /> |
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La función <math>\ln(x) \,\!</math> es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva, y tiene límites infinitos en 0<sup>+</sup> y en + ∞.<br /> |
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La tangente T<sub>e</sub> que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen. |
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La tangente T<sub>1</sub> que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x - 1.<br /> |
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La derivada de segundo orden es ln"(x) = -1 / x², siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T<sub>1</sub> y T<sub>e</sub>. |
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==Propiedad fundamental== |
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La denominada ''propiedad fundamental'', definida por: |
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<math>\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \,\!</math> (1) (con a>0 y b>0) |
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fue la que permitió construir las primeras tablas de logaritmos, cuyo propósito era hacer que calcular un producto fuese tan rápido como hallar una suma. En efecto, para calcular un producto se buscaban en la tabla los logaritmos de los factores, se sumaban, y se buscaba el número cuyo logaritmo se aproximaba más a la expresión ln a + ln b. La hoy desaparecida [[regla de cálculo]] utilizaba el mismo proceso. |
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'''Prueba''': Sea f(x) = ln (ax) - ln x. Derivando: f'(x) = a·(1/ax) - 1/x = 1/x - 1/x = 0, lo que significa que f es constante en el intervalo (0, + ∞). En consecuencia f(b) = f(1), es decir: |
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ln ab - ln b = ln a -ln 1, o sea ln ab = ln a + ln b. <br /><br /> |
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'''Consecuencias''': |
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:::''' ln (1/a) = - ln a'''. (2) <br /> |
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En efecto, ln(a) + ln (1/a) = ln (a· 1/a) = ln 1 = 0. <br /> |
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:::''' ln (a/b) = ln a - ln b'''. (3) <br /> |
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En efecto ln (a/b) = ln (a·1/b) = ln a + ln (1/b) = ln a - ln b.<br /> |
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:::'''ln (a<sup>n</sup>) = n.ln a'''. (4) , para cualquier valor real de n.<br /> |
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Esto se demuestra por inducción para todo número entero natural "n", y luego para todo "n" entero, con (2), y luego para todo "n" racional, utilizando (3). La continuidad del logaritmo hace que una relación cierta en los racionales es también válida en los reales, lo que acaba la prueba. |
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Esta última relación permite resolver ciertas ecuaciones con la incógnita en el lugar de las potencias: a<sup>x</sup> = b tiene como solución x = lnb/lna cuando a ≠ 1, a>0 y b>0. |
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==Historia== |
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[[Joost Bürgi]], un matemático y relojero suizo al servicio del [[Duque de Hesse-Kassel]], concibió por vez primera los logaritmos. El método de logaritmos naturales fue propuesto inicialmente en [[1614]], en un libro intitulado ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'', por [[John Napier]] (latinizado ''Neperus''), [[Barón de Merchiston]] en [[Escocia]], que nació cerca de [[1550]], y murió en [[1617]], cuatro años después de la publicación de su memorable invención. Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la realización de cálculos difíciles. Antes del advenimiento de las calculadoras y computadoras, era constantemente usado en estadística, navegación, y otras ramas de las matemáticas prácticas. Además de su utilidad en el cómputo, los logaritmos también llenaron un importante lugar en las matemáticas avanzadas mayores. |
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La palabra logaritmo, que se debe a Napier, está formada de las palabras griegas λογος (logos), que significa ''razón'' o ''cociente'', y αριθμoς (arithmos), con el significado de ''número'', y se define, literalmente, como ''un número que indica una relación o proporción''. Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su teorema fundamental, que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una serie aritmética de logaritmos corresponde a una serie geométrica de números. |
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==Ver== |
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*[[Neper]] |
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*[[Número e]] |
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*[[Exponenciación]] |
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los logaritmos son utilizados, en la famosa escala de Richer resultando, así una manera cómoda y sencilla |
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== Enlaces externos == |
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{{commons|Logarithm}} |
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*http://www.giovannipastore.it/index_espanol.htm |
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*http://www.giovannipastore.it/ISTRUZIONI.htm |
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*[http://www.math.kun.nl/werkgroepen/gmfw/bronnen/napier1.html Mirifici ... Libro primero, ed. 1616] (en inglés) |
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*[http://usuarios.lycos.es/mislogaritmos/index.htm Enciclopedia de Logaritmos] |
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[[Categoría:Operaciones básicas de la aritmética]] |
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[[bg:Логаритъм]] |
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[[ca:Logaritme]] |
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[[cs:Logaritmus]] |
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[[da:Logaritme]] |
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[[de:Logarithmus]] |
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[[en:Logarithm]] |
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[[eo:Logaritmo]] |
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[[fa:لگاریتم]] |
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[[fi:Logaritmi]] |
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[[fr:Logarithme]] |
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[[gl:Función logaritmo]] |
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[[he:לוגריתם]] |
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[[hu:Logaritmus]] |
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