Proceso Δ² de Aitken

En análisis numérico, el método o proceso Δ² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia. Lleva el nombre de Alexander Aitken, quien introdujo este método en 1926.​ Su forma primitiva era conocida por Kōwa Seki (finales del siglo XVII) y fue encontrado en la rectificación del círculo, es decir, el cálculo de $\pi$. Es muy útil para acelerar la convergencia de una sucesión que converge linealmente.

Cuando se aplica el método de Aitken a una sucesión obtenida mediante una iteración de punto fijo se conoce como método de Steffensen.

Definición

Dada una sucesión $x={(x_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$, se calcula la nueva sucesión ${\hat {x}}={({\hat {x}}_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ definida como

${\hat {x}}_{n+2}=x_{n+2}-{\frac {(x_{n+2}-x_{n+1})^{2}}{x_{n+2}-2\,x_{n+1}+x_{n}}}$.

Si se emplea el operador Δ de las diferencias progresivas definido como

$\Delta x_{n}=x_{n+1}-x_{n}.$

$\Delta ^{2}x_{n}=\Delta (\Delta x_{n})=x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}$

también puede escribirse como:

${\hat {x}}_{n+2}=x_{n+2}-{\frac {(\Delta x_{n+1})^{2}}{\Delta ^{2}x_{n}}}$

Propiedades

El proceso Δ² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia, y en particular un caso de transformación no lineal de una sucesión.

$x$ converge linealmente a $\ell$ si existe un número μ ∈ (0, 1) tal que

$\lim _{n\to \infty }{\frac {|x_{n+1}-\ell |}{|x_{n}-\ell |}}=\mu .$

El método de Aitken acelerará la sucesión $x_{n}$ si y sólo si $\lim _{n\to \infty }{\frac {{\hat {x}}_{n}-\ell }{x_{n}-\ell }}=0.$

Aunque la nueva sucesión no converge en general de forma cuadrática, se puede demostrar que para un método de punto fijo, es decir, para una sucesión $x_{n+1}=f(x_{n})$ para alguna función iterada $f$, convergiendo hacia un punto fijo, la convergencia es cuadrática. En este caso, la técnica se conoce como método de Steffensen.

Ejemplos

Ejemplo 1 (Aceleración de una sucesión)

El valor de ${\sqrt {2}}\approx 1.4142136$ puede aproximarse mediante la sucesión $a_{n}$ con valor inicial $a_{0}=1$ definida de manera iterativa como:

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}.$

n	x = valor iterado	y = valor calculado
0	1	1.4285714
1	1.5	1.4141414
2	1.4166667	1.4142136
3	1.4142157	--
4	1.4142136	--

Ejemplo 2 (Aceleración de una serie)

El valor de ${\frac {\pi }{4}}$ puede calcularse como una suma infinita:

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\approx 0.785398$

n	término	x = suma parcial	Ax
0	1	1	0.79166667
1	-0.33333333	0.66666667	0.78333333
2	0.2	0.86666667	0.78630952
3	-0.14285714	0.72380952	0.78492063
4	0.11111111	0.83492063	0.78567821
5	-9.0909091e-2	0.74401154	0.78522034
6	7.6923077e-2	0.82093462	0.78551795
7	-6.6666667e-2	0.75426795	--
8	5.8823529e-2	0.81309148	--

Referencias

• García Merayo, Félix (1995). «6. Aceleración y raíces complejas.». Lecciones prácticas de cálculo numérico. Madrid: Universidad pontificia Comillas. p. 78-81. ISBN 848784068X. Consultado el 13 de septiembre de 2009.