Distribución binomial de Poisson

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución binomial de Poisson es la distribución de probabilidad discreta de una suma de ensayos independientes de Bernoulli que no se encuentran necesariamente distribuidos de manera idéntica. El concepto obtiene el nombre de Siméon Denis Poisson, físico y matemático francés.

En otras palabras, es la distribución de probabilidad del número de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes sí / no con éxito probabilidades $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$. La distribución binomial ordinaria es un caso especial de la distribución binomial de Poisson, cuando todas las probabilidades de éxito son las mismas, es decir $p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}$.

Media y la varianza

Desde un binomio variable de Poisson distribuido es una suma de n variables de Bernoulli distribuidos independientes, su media y varianza simplemente serán sumas de la media y la varianza de los n distribuciones de Bernoulli:

$\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}$

$\sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}$

Para valores fijos de la media ($\mu$) y tamaño (n), la varianza es máxima cuando todas las probabilidades de éxito son iguales y tenemos una distribución binomial. Cuando se fija la media, la varianza está limitada por encima de la varianza de la distribución de Poisson con la misma media que se alcanza asintóticamente como n tiende a infinito.

Función de probabilidad

La probabilidad de tener éxito de los ensayos k de un total de n puede escribirse como la suma:​

$\Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$

donde $F_{k}$ es el conjunto de todos los subconjuntos de k enteros que se pueden seleccionar de {1,2,3,...,n}. Por ejemplo, si n = 3, entonces $F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}$. $A^{c}$ es el complemento de $A$, i.e. $A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\setminus A$.

$F_{k}$ contendrá $n!/((n-k)!k!)$ elementos, la suma sobre la cual no es factible calcular en la práctica a menos que el número de ensayos n sea ​​pequeño (p. ej., si n = 30, $F_{15}$ contiene más de 10²⁰ elementos). Sin embargo, hay otras maneras más eficientes de calcular $\Pr(K=k)$.

Mientras ninguna de las probabilidades de éxito sea igual a uno, se puede calcular la probabilidad de k éxitos usando la fórmula recursiva ​ ​