Estrofoide

En matemáticas, y más precisamente en geometría, una curva estrofoide, o simplemente una estrofoide, es una curva engendrada a partir de una curva dada C y de dos puntos A (el punto fijo) y O (el polo).

En el caso particular donde C es una recta, A pertenece a C, y O no pertenece a C, la curva se denomina una estrofoide oblicua. Si, de más OA es perpendicular a C, la curva es denominada una estrofoide derecha, o simplemente una estrofoide por ciertos autores. El estrofoide derecha a veces también se denomina curva logocíclica.

Construcción

La curva Estrofoidal que corresponde a la curva C, con el punto fijo A y el polo O se construye de la manera siguiente: sea L una recta móvil que pasa por O y que corta C en K. Sean entonces P1 y P2 los dos puntos de L tales que P1K = P2K = AK. El lugar geométrico de los puntos P ₁ y P2 se denomina la estrofoide de C relativa al polo O y con el punto fijo A. Se observa que AP1 y AP2 son ortogonales.

Ecuaciones

Coordenadas polares

Sea la curva C dada por , donde el origen se toma a O. Sea Al punto de coordenadas cartesianas (a, b). $r=f(\theta )$ Si es un punto de la curva, la distancia de K à A es $K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )$

.

d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}

Los puntos de la recta OK tienen por ángulo polar , y los puntos a distancia d de K sobre esta recta son a una distancia del origen. $\theta$ $f(\theta )\pm d$ Por lo tanto, la ecuación de la estrofoide viene dada por

.

r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}

Coordenadas cartesianas

Sea C de ecuaciones paramétricas (x=x (t),y =y(t)). Sea Al punto (a, b) y O el punto (p, q). Entonces, las fórmulas polares precedentes muestran que la representación paramétrica de la estrofoide es:

,

x=u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ y=v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t))

dónde

.

n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}

Otra fórmula polar

La complejidad de las fórmulas precedentes limita su utilidad a la práctica. Existe por eso una forma alternativa a veces más sencilla, que es particularmente útil cuando C es una sectriu de Maclaurin de polvo O y A.

Sea O el origen y Al punto (a, 0). Sea K un punto de la curva, el ángulo entre OK y el eje OX, y el ángulo entre AK y el eje OX. $\theta$ $\vartheta$ Se supone que se dé en función de , bajo la forma . $\vartheta$ $\theta$ $\vartheta =l(\theta )$ Sea el ángulo en K, dones . $\psi$ $\psi =\vartheta -\theta$ Se puede determinar r en función de l usando la ley del sinus: cómo

.

{r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}

Sean P1 y P2 los puntos de la recta OK a distancia AK de K, numerados de forma que y . $\psi ={\widehat {P_{1}Ka}}$ $\pi -\psi ={\widehat {Akp_{2}}}$ El triángulo es isósceles de ángulo al vértice , por lo tanto los ángulos de la base, y , valiendo. $P_{1}KA$ $\psi$ ${\widehat {AP_{1}K}}$ ${\widehat {KAP_{1}}}$ $(\pi -\psi )/2$ El ángulo entre AP ₁ y el eje OX es entonces

.

l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2

Empleando el hecho que AP1 y AP2 son perpendiculares (puesto que lo triangleAP1P2 es inscrito en un semicírculo), el ángulo entre Ap2 y el eje OX vale

.

l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2

La ecuación polar de la estrofoide se deduce entonces de l ₁ y l2 según las fórmulas precedentes:

r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}

r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}

C es una sectriu de Maclaurin de polvo O y A cuando l es de la forma ; en este caso l1 y l2 tienen la misma forma, y la estrofoide es o bien otra sectriu de Maclaurin, o bien una pareja de sectrius; se puede encontrar una ecuación polar sencilla si se toma el origen en su punto simétrico de A respecto de O. $q\theta +\theta _{0}$

Casos particulares

Estrofoides oblicuas

Sea C una recta que pasa para. Entonces, en las notaciones precedentes, , donde es una constante, y ; . $l(\theta )=\alpha$ $\alpha$ $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2$ Con el origen a O, las ecuaciones polares de la estrofoide correspondiente, denominada una estrofoide oblicua acontecen

r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}

y

.

r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}

Se verifica fácilmente que estas dos ecuaciones describen de hecho la misma curva.

Desplazando el origen en A (ver, el artículo sectriu de Maclaurin) y reemplazando −a para, se obtiene

;

r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}

una rotación de transforma esta ecuación en $\alpha$

.

r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}

En coordenadas cartesianas (y cambiando las constantes), se obtiene

.

y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy

Es una cúbica, unicursal según la ecuación polar. Posee una sungularitat a (0, 0), y la recta y =b es asíntota.

La estrofoide recta

Poniendo en $\alpha =\pi /2$

,

r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}

se obtiene

.

r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )

Esta curva se denomina la estrofoide derecha, y corresponde al caso donde C es el eje Oy, O es el origen, y A es el punto (a,0).

La ecuación cartesiana es

;

y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)

una representación paramétrica unicursal es:

x=-a{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}

.

y=-at{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}

La curva se asemeja al folio de Descartas, y la recta x = −a es asíntota en las dos ramas infinitas. La curva posee dos asíntotas más "imaginarías" en el plan complejo , dadas por ${\mathbb {C} }^{2}$

.

x\pm iy=-a

Estrofoides de circunferencias que pasen por los puntos fijos

Sea C una circunferencia que pasa por O y A. Tomando O por origen y A en (a, 0), se obtiene, con las notaciones precedentes, , donde es una constante. $l(\theta )=\alpha +\theta$ $\alpha$ Así, y . $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2$ Entonces las ecuaciones polares de las estrofoides correspondientes son