Métodos de integración

Método de integración por el teorema fundamental del cálculo

Este metodo ocupa la herramienta fundamental del cálculo, aplicable a toda integral. Dada una función $\ F$ (derivable y continua en todo su recorrido), se define la función $\ f$ como la derivada de $\ F$ sobre un intervalo o variable determinada, en este caso sobre la variable $\ x$.

Del teorema fundamental del cálculo tenemos:

$\ F(x)=\int f(x)dx$

Procedimiento Práctico

Para el cálculo de:

$\int cos(x)sen^{3}(x)dx$

Tenemos que:

${\frac {d\left(sen^{4}(x)\right)}{dx}}=4cos(x)sen^{3}(x)d(x)$

por lo tanto,$\int fdx=F(x)+C$

Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Procedimiento Práctico

Supongamos que la integral a resolver es:

$\int _{-2}^{3}x\cos(2x^{2}+3)dx$

En la integral reemplazamos $\ 2x^{2}+3$ con ($u$):

$\int _{-2}^{3}x\cos(u)dx$ (1)

Ahora necesitamos sustituir tambien $\ dx$ para que la integral quede sólo en función de $\ u$:

Tenemos que $\ 2x^{2}+3=u$ por tanto derivando se obtiene $\ 4xdx=du$

Se despeja $\ dx={\frac {du}{4x}}$ y se agrega donde corresponde en (1):

$\int _{-2}^{3}x\cos(u){\frac {du}{4x}}$

Simplificando:

$\int _{-2}^{3}\cos(u){\frac {du}{4}}$

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno).

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo $\ u=2x^{2}+3$ :

$u_{1}=2(-2)^{2}+3=11\,\!$ (límite inferior)

$u_{2}=2(3)^{2}+3=21\,\!$ (límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

${\frac {1}{4}}\int _{11}^{21}\cos(u)du={\frac {1}{4}}(\sin(21)-\sin(11))$

Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

$\int _{a}^{b}udv=\left.uv\right|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}vdu$.

$\ d(uv)=udv+vdu$

$\int _{a}^{b}d(uv)=\int _{a}^{b}udv+\int _{a}^{b}vdu$.

Eligiendo adecuadamente los valores de $\ u$ y $\ dv$, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

• Para elegir la función $\ u\$ se puede usar la siguiente regla:

Logarítmicas, Inversas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. => L I A T E.

• Esta igualdad puede recordarse mediante las siguientes reglas mnemotécnicas:

Solo Un Día Vi Una Vaca Menos Saltando Vallas De Uralita

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