Interés compuesto

El interés (compuesto o simple) es un concepto de matemáticas financieras: un porcentaje del capital que se cobra o se paga a final de un cierto periodo, normalmente un año. Es lo que nos ingresan en la cuenta si se trata del interés que recibimos por tener dinero ahorrado en el banco; o bien lo que nos cobran, o suman a nuestra deuda, si se trata del interés de un crédito, por ejemplo una hipoteca.

«El interés compuesto es la fuerza más poderosa de la galaxia». Supuestamente, dicho por Albert Einstein (14 de marzo de 1879 – 18 de abril de1955)

Sea o no cierto que la frase se deba al célebre físico, el hecho es que este instrumento matemático se utiliza desde hace milenios en prácticamente todo el mundo, y ha sido responsable de grandes fortunas así como de muchos infortunios.

¿En qué consiste el interés, compuesto o simple? No es difícil de entender, se puede explicar sin recurrir a fórmulas. Es algo así como el precio del dinero. Si alguien me presta dinero, por ejemplo para comprarme una casa, obviamente lo tendré que devolver, pero es justo que además le pague al propietario una cantidad adicional para compensarle por no haber podido disponer él de su dinero. Esa cantidad adicional es el interés: normalmente cada año se paga un porcentaje del dinero prestado (el capital). A la inversa, si tengo dinero en una libreta de ahorros, es como si yo le prestara dinero al banco, y se me recompensa pagándome a mí un porcentaje de ese dinero cada año (o mes, o el plazo acordado).

​Y la fórmula matemática que nos permite calcular estas cantidades con exactitud no es muy complicada. Veámosla en el caso del interés simple. Llamamos C a la cantidad de dinero de la que partimos, el capital inicial. El importe final, CF, o sea, el dinero que el deudor tiene que devolver, es la suma de dos cantidades: el capital inicial, por una parte, y por otra ese capital multiplicado por el tipo de interés, abreviado r, que se suele expresar como un porcentaje.​

CF = C + C • r

Por ejemplo, si me prestan 20.000 euros al 3% anual, tendré que devolver en total

20.000 + 20.000 • 3/100 = 20.000 + 600 = 20.600

En la fórmula anterior se puede sacar factor común y poner CF = C (1 + r), versión de la fórmula que prefieren los matemáticos.

Podemos despejar C y así tener una fórmula que nos dice de qué cantidad hay que partir para llegar a un determinado capital final; o despejar r y de esta manera poder calcular el tipo de interés cuando conocemos el capital inicial y el final. Para lo primero, basta con dividir los dos lados de la ecuación entre (1 + r ) , obteniendo ${\frac {C_{F}}{(1+r)}}=\ C$ y luego intercambiar el lado izquierdo y el derecho, para que quede del modo acostumbrado: $\ C={\frac {C_{F}}{(1+r)}}$

Para lo segundo, se divide a ambos lados entre C: $\left({\frac {C_{F}}{C}}\right)=$ 1 + r y se resta uno: $\left({\frac {C_{F}}{C}}\right)-1=r$ Ya solo falta cambiar izquierda y derecha para que quede como nos gusta: $r=\left({\frac {C_{F}}{C}}\right)-1$

Conceptos y abreviaturas

No todos los autores utilizan los mismos nombres ni los mismos símbolos para cada concepto. A continuación aparecen los más comunes

Capital inicial, Valor actual, Valor presente	C	C0	VP, VA
Capital final, Valor final, Monto	CF	C1	VF, F	M
tasa de interés	r	Ti	I	i

Matemáticas del interés compuesto

Derivación de la fórmula de interés compuesto (cómo calcular el capital) ​

La fórmula del interés compuesto puede resultar compleja, quizá incluso un poco intimidante para quien no maneje este tipo de matemáticas, pero se deriva de la fórmula del interés simple en unos pocos pasos. Para un período de tiempo determinado, el capital final (C_F1) se calcula mediante la siguiente fórmula:​que es idéntica a la del interés simple, en su versión factorizada

$\ C_{F1}=C_{I}(1+r)$

salvo una cuestión formal, que hemos puesto unos subíndices a la abreviatura de «capital». Ahora, en un segundo período, capitalizamos el valor obtenido, es decir, el nuevo capital C_F2 se calcula, no con C_I sino con C_F1 . Eso es lo que representa la primera ecuación de esta secuencia:

$\ C_{F2}=C_{F1}(1+r)=C_{I}(1+r)(1+r)=C_{I}(1+r)^{2}$

Luego substituimos C_F1 de acuerdo con lo que aparece cuatro líneas más arriba obteniendo así la segunda ecuación. Finalmente, dejamos la fórmula más compacta con el exponente 2 (elevamos al cuadrado la expresión entre paréntesis, que es igual que multiplicarla por sí misma).

Repitiendo esto para un tercer período

$\ C_{F3}=C_{F2}(1+r)=C_{I}(1+r)^{2}\cdot (1+r)=C_{I}(1+r)^{3}$

nos damos cuenta que en cada paso aumenta el exponente en una unidad. Por tanto, se puede expresar de manera más abstracta lo que representa el capital al final del enésimo período:

$\ C_{F}=C_{I}(1+r)^{n}$

donde:

$\ C_{F}$ es el capital al final del enésimo período

$\ C_{I}$ es el capital inicial

$\ r$ es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

$\ n$ es el número de períodos

Para calcular la tasa de interés compuesto total se usa la fórmula siguiente:

$\ r_{T}=(1+r)^{n}-1$

Donde:

$\ r_{T}$ es la tasa de interés total expresada en tanto por uno (v.g., 1,85 = 185 %)

$\ r$ es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

$\ n$ es el número de períodos

Para hacer cálculos continuos en el tiempo en lugar de calcular cantidades para finales de períodos puede usarse la tasa de interés instantánea $\rho$, así el capital final actualizado al tiempo t viene dado por:

$\ C_{F}(t)=C_{I}e^{\rho t}$

Obtención de los elementos de la fórmula

De la ecuación del interés compuesto, para n períodos, se obtiene el capital inicial, conocidos el capital final, el interés y el número de períodos:

$\ C_{I}={\frac {C_{F}}{(1+r)^{n}}}$

El número de períodos puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el interés, despejando n en la última fórmula, obteniéndose:

$\ n={\frac {\log(C_{F}/C_{I})}{\log(1+r)}}$

El interés puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el número de períodos, despejándolo de esa misma fórmula:

$r=\left({\frac {C_{F}}{C_{I}}}\right)^{\frac {1}{n}}-1={\sqrt[{n}]{\frac {C_{F}}{C_{I}}}}-1$,

Ejemplo

Veamos un ejemplo, obtenido de una simple calculadora de interés compuesto,​ para entender más fácilmente cómo funciona este tipo de interés.

Supongamos que alguien se plantea invertir 10.000€ de forma inicial, y añadir 2.500€ año tras año durante 25 años, obteniendo una rentabilidad media del 7% anual. Durante esos 25 años, habrá invertido 72.500€ de su bolsillo.

Gracias al aprovechamiento del interés compuesto, tendrá mucho más que esos 72.500€. En concreto, pasados los 25 años tendrá un total de 223.465€.

El tiempo es uno de los factores más influyentes en el interés compuesto por supuesto, el capital inicial invertido, la aportación anual y el interés obtenido tendrán un gran efecto en el resultado final. Dicho esto, uno de los que más influye es el tiempo de la inversión.

El interés compuesto tiene mucha más importancia a medida que se aumenta el plazo de la inversión. Por ejemplo, en el caso anterior, si se invierte durante 30 años en lugar de hacerlo a 25 años, al final se tienen 328.805€, más de 100.000€ extra.

Historia del interés compuesto

En el pasado, hubo con frecuencia normas religiosas o laicas relacionadas con la prohibición de los intereses, o de los intereses compuestos específicamente. Se prohibían para evitar que el deudor quedara aplastado por estos intereses. El interés compuesto es tan antiguo como el simple, del que se deriva. Se cree que fueron los sumerios, alrededor de 2.400 a. C. , los primeros en acuñar el concepto de interés (maš , en español ternero) y de interés compuesto (mašmaš). En el año 2402 a. C. , bajo el reinado de Enmetena, se promulgó una condonación de deudas motivada por el crecimiento de las deudas aplicando eo interés compuesto. En el código de Hammurabi (1755/1754 a. C.) (Babilonia) se permite el interés compuesto a condición de que los intereses pendientes que no se hayan pagado se mantengan separados del capital y el acreedor los capitalice para el deudor. Con este procedimiento se pretendía proteger a la gente de deudores con poca ética.

En Derecho Romano el capital compuesto se denomina usurae usurarum. Los romanos conocían un préstamo llamado mutuum, sin interés, que se concedía más bien como un favor a parientes o amigo. En el siglo VI, el emperador Justiniano prohibió los casos en que los intereses de retraso superaban el importe del capital, llegando incluso a duplicarlo (ultra alterum tantum).

Los primeros cálculos de interés compuesto se deben al matemático indio Aryabhata, del siglo V.

En el judaísmo no existía el interés compuesto, y el simple estaba sujeto a muchas limitaciones. Entre el año 1000 y 800 a.C. estuvo prohibido cobrar interés a los pobres. En el Deuteronomio se dice:

«No cobrarás interés a tu hermano: interés sobre dinero, alimento, o cualquier cosa que pueda ser prestado a interés. Podrás cobrar interés a un extranjero, pero a tu hermano no le cobrarás interés a fin de que el SEÑOR tu Dios te bendiga en todo lo que emprendas en la tierra que vas a entrar para poseerla.…»​

Por «hermanos» se entendía a los judíos. Con el cristianismo, vino una crítica severa del pago de intereses. A quienes estuvieran en una situación difícil no se les debía cobrar ningún interés. Leemos en Levítico 25:36

«En caso de que un hermano tuyo empobrezca y sus medios para contigo decaigan, tú lo sustentarás como a un forastero o peregrino, para que viva contigo. 36``No tomes interés y usura de él, mas teme a tu Dios, para que tu hermano viva contigo. 37``No le darás tu dinero a interés, ni tus víveres a ganancia.…»

Ya en el quinto libro de Moisés se prohibe el cobro de intereses. (Deuteronomio 23: 20, 21)

Podrás cobrar interés a un extranjero, pero a tu hermano[a] no le cobrarás interés a fin de que el Señor tu Dios te bendiga en todo lo que emprendas en la tierra que vas a entrar para poseerla. Cuando hagas un voto al Señor tu Dios, no tardarás en pagarlo, porque el Señor tu Dios ciertamente te lo reclamará, y sería pecado en ti.​

Véase también

• Interés simple
• Precio de la vivienda - hipoteca

Enlaces externos

• Explicación sencilla, con ejemplos, vídeos y calculadora del interés compuesto
• Interés compuesto.
• La octava maravilla del mundo: el interés compuesto.
• Interés simple y compuesto
• Calculadora de Interés Compuesto

• Datos: Q959606
• Multimedia: Compound interest / Q959606