Teorema de Meusnier

Sección normal en p a lo largo de υ

En geometría diferencial, el teorema de Meusnier establece que en cualquier punto P de una curva inscrita en una superficie dada, su radio de curvatura es igual al radio de curvatura de la sección normal a la superficie que pasa por la tangente a la curva en P, dividido por el coseno del ángulo entre el plano de esta sección normal y el plano osculador de la curva:​

ρ = RN / cos θ

siendo:

• ρ = el radio de curvatura en el punto P de una curva inscrita en una superficie con una tangente dada
• R_N = el radio de curvatura normal en el punto P según la tangente dada
• θ = el ángulo que forman el vector normal a la superficie y el vector normal a la curva (ambos en P)

De forma análoga, se puede expresar en función de los valores de las curvaturas (los inversos de los radios de curvatura):

κ = KN · cos θ

siendo:

• κ = 1 / ρ = la curvatura en el punto P de una curva inscrita en una superficie con una tangente dada
• K_N = 1 / R_N = la curvatura normal en el punto P según la tangente dada
• θ = el ángulo que forman el vector normal a la superficie y el vector normal a la curva (ambos en P)

Además, las circunferencias osculatrices de todas las curvas que comparten la misma tangente a la superficie, forman una esfera.

Historia

El teorema fue enunciado por primera vez por Jean Baptiste Meusnier en 1776, pero no se publicó hasta 1785.​

Al menos antes de 1912, varios escritores en inglés tenían la costumbre de llamar al resultado "teorema de Meunier", aunque no hay evidencia de que el propio Meusnier alguna vez deletreara su nombre de esta manera.​ Esta ortografía alternativa del nombre de Meusnier también aparece en Arco de Triunfo en París.

Expresión matemática

Sea una superficie $\Sigma$ diferenciable; y sea una curva $\alpha :I\longrightarrow \Sigma$ regular inscrita en la propia superficie. A continuación, se definen dos campos de vectores normales unitarios: ${\hat {n}}_{\Sigma }$ (el de la superficie) y ${\hat {n}}_{\alpha }$ (el de la curva), que por lo general no son coincidentes.

Entonces, es posible relacionar la curvatura normal de la superficie $k$ en la dirección de la curva $\alpha$ con respecto al campo unitario ${\hat {n}}_{\alpha }$ y la curvatura de la curva $k_{\alpha }$. El teorema de Meusnier establece que la curvatura de la superficie en la dirección de la curva $\alpha$ y la curvatura de la curva misma están ligadas por la relación:

$k=k_{\alpha }\cdot ({\hat {n}}_{\Sigma }\cdot {\hat {n}}_{\alpha })$

En este sentido, las curvaturas normales de la superficie son las curvaturas de las curvas cortadas por los planos normales a la superficie en un punto dado.

De una manera más sencilla, se puede enunciar como que el radio de curvatura de una sección plana oblicua cuya normal forma con la normal a la superficie un ángulo gamma, es igual al radio de curvatura de la sección normal que tiene la misma recta tangente, multiplicado por el coseno de gamma.

Bibliografía

• Teorema de Meusnier Universidad Johannes Kepler de Linz, Instituto de Geometría Aplicada
• Teorema de Meusnier en Springer Online
• Porteous, Ian R. (2001). «Theorems of Euler and Meusnier». Geometric Differentiation. Cambridge University Press. pp. 253-5. ISBN 0-521-00264-8. 

• Datos: Q4454989