Representación adjunta

 

En matemáticas, la representación adjunta (o acción adjunta) de un grupo de Lie $G$ es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo, considerado como un espacio vectorial. Por ejemplo, si $G$ es $GL(n,\mathbb {R} )$ el grupo de Lie de matrices invertibles reales n por n, entonces la representación adjunta es el homomorfismo de grupo que envía una matriz invertible n por n, siendo $g$ un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de $\mathbb {R} ^{n}$ definido por $x\mapsto gxg^{-1}$.

Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando el diferencial de) la acción de $G$ sobre sí mismo mediante conjugación. La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre campos arbitrarios.