Parametrización

Se conoce como Parametrización a la representación de una curva o superficie como imagen de una función vectorial. Su importancia radica en que permite tratar como funciones a curvas que no lo son si se las considera dentro del Sistema de coordenadas clásico, como por ejemplo las circunferencias y elipses. Aún así, es también utilizable para facilitar cálculos en sistemas de 4 o más variables, que no poseen representación gráfica.

Descripción

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la Variable dependiente, con el valor de la misma siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera $(x,y)$ equivale a la expresión $(x,f(x))$.

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto X como Y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro.

Ejemplo

Dada la ecuación $Y=X^{2}$, una parametrización tendrá la forma ${\begin{cases}X=X(t)\\Y=Y(t)\end{cases}}$

Una parametrización posible sería ${\begin{cases}X=t\\Y=t^{2}\end{cases}}$

Que se puede expresar como la función ${\bar {g}}(t)=(t,t^{2})$, con $t\in \mathbb {R}$

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde X e Y equivaliesen a $2U$ y $4U^{2}$ sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primer parametrización cuando T = 2, y en el segundo cuando U = 1

Curvas notorias

Circunferencia

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 2 verifica que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle X^2 + Y^2 =4}

Una expresión paramétrica es ${\begin{cases}X=2\cos t\\Y=2\sin t\end{cases}}$

Elipse

Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que intersecte al eje X en 2 y -2, y al eje Y en 3 y -3, verifica que ${\frac {X^{2}}{4}}+{\frac {Y^{2}}{9}}=1$

Una expresión paramétrica es ${\begin{cases}X=2\cos t\\Y=3\sin t\end{cases}}$