Equilibrio de Nash
En teoría de juegos, se define el equilibrio de Nash (formulado por John Forbes Nash) como un modo de obtener una estrategia óptima para juegos que involucren a dos o más jugadores. Si hay un conjunto de estrategias tal que ningún jugador se beneficia cambiando su estrategia mientras los otros no cambien la suya, entonces ese conjunto de estrategias y las ganancias correspondientes constituyen un equilibrio de Nash.
El concepto de equilibrio de Nash fue originado por John Forbes Nash en su disertación Non-cooperative games (1950). Nash demostró que las distintas soluciones que habían sido propuestas anteriormente para juegos tienen la propiedad de producir un equilibrio de Nash.
Un juego puede no tener equilibrio de Nash, o tener más de uno. Nash fue capaz de demostrar que si permitimos estrategias mixtas (en las que los jugadores pueden escoger estrategias al azar con un probabilidad predefinida), entonces todos los juegos de n jugadores en los que cada jugador puede escoger entre un número finito de estrategias tienen al menos un equilibrio de Nash con estrategias mixtas.
Si un juego tiene un único equilibrio de Nash y los jugadores son completamente racionales, los jugadores escogerán las estrategias que forman el equilibrio.
Ejemplos
Juego competitivo
Consideramos el siguiente juego de dos jugadores:
"Ambos jugadores escogen simultáneamente un número entero entre 0 y 10. Los dos jugadores ganan el valor menor en dólares, pero además, si los números son distintos, el que ha escogido el mayor le debe pagar 2$ al otro."
Este juego tiene un único equilibrio de Nash: ambos jugadores deben escoger 0. Cualquier otra estrategia puede mejorarse si uno de los jugadores escoge un número menor.
Si se modifica el juego de modo que los dos jugadores ganen el número escogido si ambos son iguales, y de otro modo no ganen nada, hay 11 equilibrios de Nash distintos.
Juego de coordinación
Este juego es un juego de coordinación al conducir. Las opciones son: o conducir por la derecha o conducir por la izquierda, con 100 significando que no se produce un choque y 0 significando que sí se produce. El primer número en cada celda indica la ganancia del primer jugador (cuyas opciones se muestran a la izquierda) y el segundo la ganancia del segundo jugador (cuyas opciones se muestran encima). Como se puede comprobar, ambas ganancias son siempre iguales.
| Conducir por la izquierda: | Conducir por la derecha: | |
| Conducir por la izquierda: | 100,100 | 0,0 |
| Conducir por la derecha: | 0,0 | 100,100 |
En este caso hay dos equilibrios de Nash con estrategias puras, cuando ambos conducen por la derecha o ambos conducen por la izquierda. También hay un equilibrio de Nash con estrategias mixtas, cuando cada jugador escoge aleatoriamente con una probabilidad del 50% cuál de las dos estrategias aplica.
Dilema del prisionero
El dilema del prisionero tiene un equilibrio de Nash: se produce cuando ambos jugadores desertan. A pesar de ello, "ambos desertan" es peor que "ambos cooperan", en el sentido de que el tiempo total de carcel que deben cumplir es mayor. La estrategia "ambos cooperan" es inestable, ya que un jugador puede mejorar su resultado desertando si su oponente mantiene la estrategia de cooperación. Así, "ambos cooperan" no es un equilibrio.