Desigualdad de Boole

En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole estipula que para toda familia finita o numerable de sucesos, la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales. De manera más formal,

Teorema:

Para una familia finita o numerable de sucesos A₁, A₂, A₃, ..., se cumple:
$\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\mathbb {P} \left(A_{n}\right).$

Demostración

Familia finita

Primero se trata, por inducción, el caso de una familia finita $(A_{1},\dots ,A_{m})$ de sucesos.

Se trata de probar que $\mathbb {P} \left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}\right)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})$ .

La desigualdad es cierta para $m=1$ . Supuesta cierta para un $m$ dado, se considera una familia $(A_{1},\dots ,A_{m+1})$ de $m+1$ sucesos.

Sea $E=A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}$ : $\mathbb {P} (E)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})$ (hipótesis de inducción).

Entonces: $\mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E\cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})-\mathbb {P} (E\cap A_{m+1})$ ,

de donde: $\mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})\leq \mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})+\mathbb {P} (A_{m+1})$ .

Familia numerable

Ahora se trata el caso de una familia numerable $(A_{n})_{n\geq 1}$ de sucesos.

Para todo número natural $n$ (distinto de cero), sea $E_{n}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}$ ; entonces $\mathbb {P} (E_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})$ .

La desigualdad de Boole se comprueba por paso al límite sobre $n$ ; en efecto $\bigcup _{n\geq 1}E_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}$ y para todo $n$ , $E_{n}\subset E_{n+1}$ , entonces $\lim \mathbb {P} (E_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)$ .

Otro método

Otro método que trata a la vez el caso finito y el caso numerable: sea $\ A'_{1}=A_{1}$ y para todo $n\geq 2$ , $A'_{n}=A_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n-1})$ .

Entonces $\bigcup _{n}A_{n}=\bigcup _{n}A'_{n}$ , y los sucesos $A'_{1},A'_{2},\dots$ son incompatibles dos a dos;
por otra parte, para todo $n,A'_{n}\subset A_{n}$ , entonces $\mathbb {P} (A'_{n})\leq \mathbb {P} (A_{n})$ ( $\mathbb {P}$ es creciente).

De todo esto, se deduce que $\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A'_{n}\right)=\sum _{n}\mathbb {P} (A'_{n})\leq \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})$ .

Teoría de la medida

En lenguaje de la teoría de la medida, la desigualdad de Boole se deriva del hecho de que una medida de probabilidad es σ-subaditiva, como es el caso de toda medida.

Desigualdades de Bonferroni

Des inégalités, connues sous le nom d'inégalités de Bonferroni, généralisent l'inégalité de Boole. Elles fournissent des majorants et des minorants de la probabilité d'unions finies d'événements.

Posons :

S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i}),

S_{2}:=\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}),

et pour 2 < k ≤ n,

S_{k}:=\sum \mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.

Alors pour tout entier impair k tel que 1 ≤ k ≤ n

\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j},

et pour tout entier pair k tel que 2 ≤ k ≤ n

\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}.

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

Références

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.

Voir aussi

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