Proceso Δ² de Aitken

En análisis numérico, el método o proceso Δ² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia. Lleva el nombre de Alexander Aitken, quien introdujo este método en 1926 ​. Su forma primitiva era conocida por Kōwa Seki (finales del siglo XVII) y fue encontrado en la rectificación del círculo, es decir, el cálculo de pi. Es muy útil para acelerar la convergencia de una sucesión que converge linealmente.

Definición

Dada una sucesión $x={(x_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$, se calcula la sucesión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle y={(y_n)}_{n\in\N}} definida como

$y_{n+2}=x_{n+2}-{\frac {(x_{n+2}-x_{n+1})^{2}}{x_{n+2}-2\,x_{n+1}+x_{n}}}$.

Si se emplea el operador Δ de las diferencias progresivas definido como

$\Delta x_{n}=x_{n+1}-x_{n}.$

$\Delta ^{2}x_{n}=x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}$

también puede escribirse como:

$y_{n+2}=x_{n+2}-{\frac {(\Delta x_{n+1})^{2}}{\Delta ^{2}x_{n}}}$

Referencias

• García Merayo, Félix (1995). «6. Aceleración y raíces complejas.». Lecciones prácticas de cálculo numérico. Universidad pontificia Comillas. p. 78-81. ISBN 848784068X. Consultado el 13 de septiembre de 2009.