Teorema de Fortescue

El teorema de Fortescue o teorema de las componentes simétricas es uno de los teoremas más importantes en la ingeniería eléctrica. Permite escribir de forma general un sistema polifásico desbalanceado (con n fases) como la suma de n sistemas equilibrados aplicando el principio de superposición.

El teorema fue presentado por primera vez por Charles Legeyt Fortescue en un artículo presentado en 1918 intitulado "Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks". El artículo fue adoptado en empresas del sector eléctrico usándose en el ajuste del sistema de protecciones y dimensionamiento de equipos.

Demostración

El estudio de máquinas eléctricas rotativas depende en gran parte del sistema de coordenadas elegido. Según donde se han elegido tres fasores cooplanares y congruentes en un punto, existen seis grados de libertad: la magnitud y angulo para cada uno de ellos. Si se elije por ejemplo una condición que puede ser que la suma de los tres fasores, uno de estos esta determinado por la suma de los otros dos, con lo que se han eliminado dos grados de libertad.

Para un sistema general de $n$ fasores coplanares y congruentes en un punto, por tanto, existirán $2\cdot n$ grados de libertad. Es posible, por medio de una transformación escribir los $n$ vectores como $n$ sistemas con un punto en común.

Aplicación en sistemas trifásicos

Este teorema es usado de forma intensiva en el análisis de fallas en sistemas de potencia trifasicos y en el anailisis de maquinas eléctricas trifasicas bajo condiciones no equilibradas.

El teorema de Fortescue establece que si se tiene un sistema trifasico cualquiera donde sus componentes simples sean $I_{a}$, $I_{b}$ e $I_{c}$, el sistema se puede representar de la siguiente manera:

$I_{a}=I_{a}^{0}+I_{a}^{+}+I_{a}^{-}$

$I_{b}=I_{b}^{0}+I_{b}^{+}+I_{b}^{-}$

$I_{c}=I_{c}^{0}+I_{c}^{+}+I_{c}^{-}$

donde $I_{a}^{0}$, $I_{b}^{0}$, $I_{c}^{0}$ constituyen u sistema en el cual $I_{a}^{0}$=$I_{b}^{0}$=$I_{c}^{0}$ (iguales en magnitud y en fase). $I_{a}^{+}$, $I_{b}^{+}$, $I_{c}^{+}$ constituyen un sistema de secuencia positivo, en el cual se cumple que $I_{b}^{+}=a^{2}\cdot I_{a}^{+}$ y $I_{c}^{+}=a\cdot I_{a}^{+}$.

De forma matemática el teorema se escribe como sigue:

${\begin{pmatrix}I_{a}\\I_{b}\\I_{c}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a^{2}&a\\1&a&a^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{a}^{0}\\I_{a}^{+}\\I_{a}^{-}\\\end{pmatrix}}$

Donde $I_{a}$, $I_{b}$ e $I_{c}$ representan el sistema desequilibrado que se quiere representar como uno equilibrado, $I_{a}^{+}$ se denomina sistema de secuencia positiva o directa, $I_{a}^{-}$ sistema de secuencia negativo inversa e $I_{a}^{0}$ sistema de secuencia cero o homopolar. El operador a representa el desfase 120°. Su valor es $a=(-1/2+j*sqrt(3)/2)$.