Número de Hartogs

En matemáticas, en particular en la teoría axiomática de conjuntos, un número de Hartogs es un tipo particular de número cardinal. En 1915, Friedrich Hartogs demostró que basta con los axiomas de Zermelo-Fraenkel (es decir, no se requiere el axioma de elección) para garantizar la existencia de un mínimo ordinal mayor que un cardinal bien ordenado dado.

Para definir el número de Hartogs de un conjunto, en realidad no es necesario que el conjunto sea bien ordenable: si X es un conjunto, entonces el número de Hartogs de X es el mínimo ordinal α tal que no hay una función inyectiva de α en X. Si X no puede ser bien ordenado, entonces este último hecho ya no es equivalente a que α sea un cardinal mayor que la cardinalidad de X, pero sigue siendo el mínimo cardinal que no es menor o igual a la cardinalidad de X.

Demostración

Dados algunos teoremas básicos de la teoría de conjuntos, la prueba es simple. Sea $\alpha =\{\beta \in {\textrm {Ord}}|\exists i:\beta \hookrightarrow X\}$. Primero debemos verificar que α es un conjunto.

1. X × X es un conjunto, gracias al axioma del conjunto potencia.
2. El conjunto potencia de X × X es un conjunto por la misma razon.
3. La clase W de todos los buenos ordenes de subconjuntos de X es una subclase definible del conjunto anterior, por lo que el esquema de especificación implica que es un conjunto.
4. La clase de todos los tipos de orden de los buenos ordenes de W es un conjunto por el axioma de reemplazo, pues

   (Dominio(w) , w) $\cong$ (β, ≤)

   se puede describir con una fórmula.

Pero este último conjunto es precisamente α.

Ahora, como un conjunto transitivo de ordinales es un ordinal, α es un ordinal. además, si hubiera una función inyectiva de α en X, entonces α ∈ α, por la definición de α, pero esto contradice la definición de ordinal, por lo que no existe dicha función inyectiva. Por último, α es el mínimo con esta propiedad, pues si β < α, β ∈ α entonces hay una función inyectiva de β en X.

Referencias

• Hartogs, Friedrich (1915). «Über das Problem der Wohlordnung». Mathematische Annalen 76: 438-443. doi:10.1007/BF01458215. 
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2. 
• Charles Morgan. «Axiomatic set theory». Course Notes. University of Bristol. Consultado el 10 de abril de 2010.