Potenciación

La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:

$2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:

$x^{1}=x$

$x^{a}=x\cdot x^{a-1}$

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x·x⁰. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x⁰=1.

Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 0⁰, en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.

Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciacion son las siguientes:

Potencia de potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes.

${(a^{m})}^{n}=a^{m\cdot n}$

Multiplicación de potencias de igual base

La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respecto al numero natural ok

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

${\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

En general:

$(a+b)^{m}\neq a^{m}+b^{m}$

$(a-b)^{m}\neq a^{m}-b^{m}$

En particular:

$(a+b)^{m}=a^{m}+b^{m}$

$(a-b)^{m}=a^{m}-b^{m}$

Se cumple en los siguientes casos:

1. Si m=1.
2. Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
3. Si a y b son iguales a 0 y m≠0.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.

En general:

$a^{b}\neq b^{a}$

En particular:

$a^{b}=b^{a}$

Si y sólo si a=b.

Potencia de exponente 0

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

$a^{0}=1$ si se cumple que $a\neq 0$

Potencia de exponente 1

Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.

$a^{1}=a$

Potencia de base 10

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente.

$10^{1}=10$

como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente

$10^{6}=1000000$

$10^{4}=10000$

Gráfico

gráfico de $Y=X^{2}$

El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones

Dicho gráfico es continuo y derivable para todos los reales.

gráfico de $Y=X^{3}$

Por otra parte, el gráfico de una potencia impar puede describirse como una parábola de la cual una mitad crece en una dirección y la otra crece en la dirección opuesta. Su extremo es también el (0, 0), pero crece en ambos sentidos del infinito, en el primer y tercer cuadrante.

Véase también

• Radicación
• Logaritmación