Teorema de Bézout

El teorema de Bezout es un resultado fundamental en el área de la geometría algebraica. Indica el número de intersecciones que hay entre dos curvas algebraicas.

Esencialmente, el teorema afirma que si estamos trabajando con un cuerpo algebraicamente cerrado entonces una curva C de grado n se intersecta con una curva D de grado m en exactamente nm puntos, siempre que C y D no tengan factores en común. Hay que ser cuidadosos con este enunciado, ya que al contar los puntos en la intersección, los contabilizamos con su multiplicidad; además las intersecciones son en el plano proyectivo.

Enunciado

Si C y D son curvas algebraicas y $P\in C\cap D$, el número de intersección entre C y D en P es intuitivamente la cantidad de derivadas en las que coinciden ambas curvas en ese punto. Por ejemplo, si las tangentes de C y D en P no coinciden entonces $I_{P}(C,D)=1$, si las tangentes coinciden entonces $I_{P}(C,D)\geq 2$.

Decimos que dos curvas C y D no tienen factores en común si el máximo común divisor entre los polinomios que definen a las curvas es 1.

Teorema: Si C y D son curvas de grado m y n sin factores en común entonces $\sum _{P\in C\cap D}I_{P}(C,D)=m\cdot n.$ 

Los puntos de la intersección son en el plano proyectivo.

Historia

El teorema fue enunciado inicialmente por Isaac Newton en 1665 en su obra Principia Mathematica. Étienne Bézout lo enunció en 1779 en Théorie générale des équations algébriques, sin embargo la prueba que dio no es considerada como correcta en la actualidad.​