Desigualdad de Boole

En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole estipula que para toda familia finita o numerable de sucesos, la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales. De manera más formal,

Teorema: Para una familia finita o numerable de sucesos A1, A2, A3, ..., se cumple: $\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\mathbb {P} \left(A_{n}\right).$

Demostración

Familia finita

Primero se trata, por inducción, el caso de una familia finita $(A_{1},\dots ,A_{m})$ de sucesos.

Se trata de probar que $\mathbb {P} \left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}\right)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})$.

La desigualdad es cierta para $m=1$. Supuesta cierta para un $m$ dado, se considera una familia $(A_{1},\dots ,A_{m+1})$ de $m+1$ sucesos.

Sea $E=A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}$ : $\mathbb {P} (E)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})$ (hipótesis de inducción).

Entonces: $\mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E\cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})-\mathbb {P} (E\cap A_{m+1})$,

de donde: $\mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})\leq \mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})+\mathbb {P} (A_{m+1})$.

Familia numerable

Ahora se trata el caso de una familia numerable $(A_{n})_{n\geq 1}$ de sucesos.

Para todo número natural $n$ (distinto de cero), sea $E_{n}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}$; entonces $\mathbb {P} (E_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})$.

La desigualdad de Boole se comprueba por paso al límite sobre $n$; en efecto $\bigcup _{n\geq 1}E_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}$ y para todo $n$, $E_{n}\subset E_{n+1}$, entonces $\lim \mathbb {P} (E_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)$.

Otro método

Otro método que trata a la vez el caso finito y el caso numerable: sea $\ A'_{1}=A_{1}$ y para todo $n\geq 2$, $A'_{n}=A_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n-1})$.

Entonces $\bigcup _{n}A_{n}=\bigcup _{n}A'_{n}$, y los sucesos $A'_{1},A'_{2},\dots$ son incompatibles dos a dos;
por otra parte, para todo $n,A'_{n}\subset A_{n}$, entonces $\mathbb {P} (A'_{n})\leq \mathbb {P} (A_{n})$ ($\mathbb {P}$ es creciente).

De todo esto, se deduce que $\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A'_{n}\right)=\sum _{n}\mathbb {P} (A'_{n})\leq \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})$.

Teoría de la medida

En lenguaje de la teoría de la medida, la desigualdad de Boole se deriva del hecho de que una medida de probabilidad es σ-subaditiva, como es el caso de toda medida.

Desigualdades de Bonferroni

Las llamadas desigualdades de Bonferroni generalizan la desigualdad de Boole y proporcionan mayorantes y minorantes de la probabilidad de uniones finitas de sucesos.

Sean:

$S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i}),$

$S_{2}:=\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}),$

y para 2 < k ≤ n,

$S_{k}:=\sum \mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),$

donde la suma de realiza sobre todas las k-uplas estrictamente crecientes de enteros positivos comprendidos entre 1 y n.

Entonces para todo entero positivo impar k tal que 1 ≤ k ≤ n

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j},$

y para todo entero positivo par k tal que 2 ≤ k ≤ n

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}.$

La desigualdad de Boole se da para k = 1.

Véase también

• Axiomas de probabilidad
• Principio de inclusión-exclusión
• Carlo Emilio Bonferroni
• George Boole