Variedad de Calabi-Yau
En matemáticas, una variedad de Calabi-Yau es una variedad de Kähler compacta con una primera clase de Chern nula. El matemático Eugenio Calabi conjeturó en 1957 que tales variedades admiten una métrica "Ricci-flat" (una en cada clase de Kähler), esta conjetura fue probada por Shing-Tung Yau en 1977 y devino el teorema de Yau. Por lo tanto, una variedad de Calabi-Yau se puede también definir como variedad Ricci-plana compacta de Kähler.
Es también posible definir una variedad de Calabi-Yau como variedad con una holonomía SU(n). Otra condición equivalente es que la variedad admite una (n, 0)-forma holomórfica global nunca nula.
En una dimensión compleja, los únicos ejemplos son familia de toros. Obsérvese que la métrica Ricci-plana en el toro es realmente una métrica plana, de modo que la holonomía es el grupo trivial que es isomorfo a SU(1). En dos dimensiones complejas, el toro T4 y las variedades K3 proveen los únicos ejemplos. T4 se excluye a veces de la clasificación de ser un Calabi-Yau, pues su holonomía (otra vez el grupo trivial) es un subgrupo propio de SU(2), en vez de ser isomorfo a SU(2). Por otra parte, el grupo holonomía de K3 es el SU(2) pleno, así que puede correctamente ser llamado un Calabi-Yau en 2 dimensiones. En tres dimensiones complejas, la clasificación de los Calabi-Yau posibles es un problema abierto. Un ejemplo de Calabi-Yau 3 dimensional es el quíntico en CP4.
Los variedades de Calabi-Yau son importantes en teoría de supercuerdas. En los modelos de supercuerdas más convencionales, diez dimensiones conjeturales en teoría de cuerdas se suponen devenir las cuatro de las cuales estamos enterados, llevando una cierta clase de fibrado con dimensión seis de la fibra. Compactificación en variedades de Calabi-Yau son importantes porque dejan algo de la supersimetría original intacta. Más exactamente, la compactificación en un Calabi-Yau de tres dimensiones (la dimensión real es 6) deja un cuarto de la supersimetría original intacta.