Matriz de Hurwitz

En matemáticas, una matriz de Hurwitz, matriz de Routh-Hurwitz, o matriz de estabilidad (en ingeniería), es una matriz cuadrada estructurada en los reales, construida con los coeficientes de un polinomio real.

Criterio de la matriz de Hurwitz y la estabilidad de Hurwitz

Dado un polinomio real

$p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n},$

la matriz cuadrada $n\times n$

$H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.$

es llamada matriz de Hurwitz correspondiendo al polinomio $p$. Fue establecida por Adolf Hurwitz en 1895 que un polinomio real es estable (es decir, que todas sus raíces tienen una parte real estrictamente negativa) sí y sólo sí todos los primeros menores de la matriz $H(p)$ son positivos:

${\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}$

y así. Los menores $\Delta _{k}(p)$ son llamados determinantes de Hurwitz.

Matrices estables de Hurwitz

En ingeniería y teoría de la estabilidad, una matriz cuadrada $A$ es llamada matriz de estabilidad (o, a veces, matriz de Hurwitz) si cada valor propio de $A$ tiene una parte real estrictamente negativa, es decir,

$\mathop {\mathrm {Re} } [\lambda _{i}]<0\,$

para cada valor propio $\lambda _{i}$. $A$ también es llamada una matriz de estabilidad, porque la ecuación diferencial

${\dot {x}}=Ax$

es asintóticamente estable, es decir que $x(t)\to 0$ cuando $t\to \infty .$

Si $G(s)$ es una función de transferencia (valorada por la matriz), entonces $G$ es llamada Hurwitz si los polos de todos los elementos de $G$ tienen una parte real negativa. Nótese que no es necesario que $G(s),$ para un argumento específico $s,$ sea una matriz de Hurwitz — ni siquiera es necesario que sea cuadrada. La conexión es que si $A$ es una matriz de Hurwitz, entonces el sistema dinámico

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$

tiene una función de transferencia de Hurwitz.

Cualquier punto fijo hiperbólico (o punto de equilibrio) de un sistema dinámico continuo es local y asintóticamente estable sí y sólo sí el jacobiano del sistema es estable por Hurwitz en el punto fijo.

La matriz de estabilidad de Hurwitz es una parte crucial en la teoría del control. Un sistema es estable si su matriz de control es una matriz de Hurwitz. Los componentes reales negativos de los valores propios de la matriz representan una realimentación negativa. De la misma manera, un sistema es inherentemente inestable si alguno de sus valores propios tienen componentes reales positivos, representando realimentación positiva.

Referencias

• Hurwitz, Adolf (1895). «Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt». Mathematische Annalen (en alemán) (Sajonia, Alemania) 46: 273-284. ISSN 0025-5831. 
• Gantmacher, Felix R. (1959). Applications of the Theory of Matrices (en inglés) 641 (9). Nueva York, Estados Unidos: Dover. pp. 1-8. ISBN 978-0-486-44554-0. 
• Khalil, Hassan K. (2001). Nonlinear Systems (en inglés) (3ra edición). Nueva Jersey, Estados Unidos: Prentice Hall. ISBN 978-0-130-67389-3. 
• Lehnigk, Siegfried H. (1970). «On the Hurwitz matrix». Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik (en alemán) (Suiza: Birkhäuser) 21 (3): 498-500. ISSN 0044-2275. doi:10.1007/BF01627957. 
• A. Asner, Jr. Bernard (1970). «On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix». Journal on Applied Mathematics (en inglés) (Pensilvania, Estados Unidos: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)) 18 (2): 407-414. ISSN 0036-1399. 
• Dimitrov, Juan M.; Peña (2005). «Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials». Journal of Approximation Theory (en inglés) (Elsevier) 132 (2): 212-223. ISSN 0021-9045. doi:10.1016/j.jat.2004.10.010. 

Enlaces externos

• Matriz de Hurwitz en PlanetMath.