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Cero elevado a cero

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Cero elevado a cero (denotado 00) es una expresión matemática que se define como 1 o se deja indefinida, dependiendo del contexto. En álgebra y combinatoria, se suele definir como 1. En análisis matemático, a veces no se define. Los lenguajes de programación y los programas de ordenador también tienen formas diferentes de tratar esta expresión.

Exponentes enteros

Muchas fórmulas ampliamente utilizadas que implican exponentes de números naturales requieren que 00 se defina como 1. Por ejemplo, las tres interpretaciones siguientes de b0 tienen tanto sentido para b = 0 como para los enteros positivos b:

  • La interpretación de b0 como producto vacío le asigna el valor 1;
  • la interpretación combinatoria de b0 es el número de 0-tuplas de elementos de un conjunto de b-elementos; hay exactamente una 0-tupla;
  • la interpretación en teoría de conjuntos de b0 es el número de funciones del conjunto vacío a un conjunto de b-elementos; existe exactamente una función de este tipo, a saber, la función vacía.

Los tres se particularizan en dar 00 = 1.

Polinomios y series de potencias

Al evaluar polinomios, es conveniente definir 00 como 1. Un polinomio (real) es una expresión de la forma a0x0 + ⋅⋅⋅ + anxn, donde x es una indeterminada, y los coeficientes ai son números reales. Los polinomios se suman por términos y se multiplican aplicando la ley distributiva y las reglas habituales para los exponentes. Con estas operaciones, los polinomios forman un anillo R[x].

Exponentes continuos

Dibujo de . Las curvas rojas (con constante) tienen diferentes límites cuando se aproxima a . En cambio las curvas verdes (de pendiente constante finita, ) tienden todas a 1 cuando nos aproximamos al origen.

Los límites que involucran operaciones algebraicas a menudo pueden ser evaluadas reemplazando las variables por sus límites. Si la expresión resultante no determina el límite, la expresión es conocida como una forma indeterminada.[1]​ De hecho, cuándo y son funciones reales ambas con límite 0 cuando tiende a infinito y , la función no necesariamente se acerca a 1 cuando y tienden a 0. En ese caso, el límite de puede ser cualquier número real o puede divergir. Por ejemplo, las funciones de más abajo son de la forma con y cuando pero los límites son diferentes:

Así, la función de dos variable es continua en el dominio pero no se puede extender como función continua el dominio ,[2]​. Aun así, bajo ciertas condiciones, como cuándo y son ambas funciones analíticas en cero y es positiva en el intervalo abierto para algún positivo , el límite por la derecha en 0 siempre es 1.[3][4][5]

Exponentes complejos

En los números complejos, la función puede ser definida para no nulo eligiendo una rama de y definiendo como . Esto no define puesto que no hay ninguna rama de definida en 0.[6][7][8]

La historia de desde diferentes puntos de vista

El debate sobre la definición de viene desde al menos desde comienzos del siglo XIX. En aquel tiempo, la mayoría de los matemáticos estaba de acuerdo en que , hasta que en 1821 Cauchy[9]​ listó junto con las expresiones del tipo en la tabla de formas indeterminadas. En el año 1830 en el Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja[10][11]​ publicó un argumento poco convincente de que , y Möbius[12]​ a la par, erróneamente afirmó que siempre y cuando . Un comentarista quien firmó su nombre sencillamente tan solo con "S" proporcionó un contraejemplo con la función , y esto calmó el debate por algún tiempo. Más detalles históricos pueden encontrarse en Knuth (1992).[13]

Autores más recientes interpretan la situación de diferentes maneras:

  • Algunos argumentan que el valor más adecuado para depende del contexto. Según Benson (1999), "La elección de como definir está basada en la conveniencia, no en la exactitud. [...] El consenso es utilizar la definición , a pesar de que hay libros de texto que creen que es conveniente no establecer una definición."[14]
  • Otros argumentan que debería ser definido como 1. Knuth (1992) afirma fuertemente que "tiene que ser 1", resaltando una distinción entre el valor , el cual tiene que ser igual a 1, de acuerdo a lo dicho por Libri, y la forma límite (una abreviatura para un límite de cuando ), la cual es necesariamente una forma indeterminada como fue dicho por Cauchy: "Ambos Cauchy y Libri dijeron lo correcto, pero Libri y sus defensores no entendieron por qué la verdad estaba de su lado."[13]​ Vaughn da muchos ejemplos de teoremas cuyos enunciados requieren que para ser expresados en forma sencilla.[15]

Referencias

  1. Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis. New York: Wiley. p. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. «In general the limit of φ(x)/ψ(x) when x = a in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division (0/0) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 00, 1 and 0 
  2. L. J. Paige (March 1954). «A note on indeterminate forms». American Mathematical Monthly 61 (3): 189-190. doi:10.2307/2307224. 
  3. «sci.math FAQ: What is 0^0?». www.faqs.org. 
  4. Rotando, Louis M.; Korn, Henry (1977). «The Indeterminate Form 00». Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 50 (1): 41-42. doi:10.2307/2689754. 
  5. Lipkin, Leonard J. (2003). «On the Indeterminate Form 00». The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 34 (1): 55-56. doi:10.2307/3595845. 
  6. "Since log(0) does not exist, 0z is undefined. For Re(z) > 0, we define it arbitrarily as 0." George F. Carrier, Max Krook and Carl E. Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, p. 15 ISBN 0-89871-595-4
  7. "For z = 0, w ≠ 0, we define 0w = 0, while 00 is not defined." Mario Gonzalez, Classical Complex Analysis, Chapman & Hall, 1991, p. 56. ISBN 0-8247-8415-4
  8. "... Let's start at x = 0. Here xx is undefined." Mark D. Meyerson, The xx Spindle, Mathematics Magazine 69, no. 3 (June 1996), 198-206. doi 10.1080/0025570X.1996.11996428
  9. Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
  10. Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.
  11. Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.
  12. A. F. Möbius (1834). «Beweis der Gleichung 00 = 1, nach J. F. Pfaff» [Proof of the equation 00 = 1, according to J. F. Pfaff]. Journal für die reine und angewandte Mathematik 12: 134-136. 
  13. a b Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422 (arΧiv:math/9205211).
  14. Examples include Edwards and Penny (1994). Calculus, 4th ed, Prentice-Hall, p. 466, and Keedy, Bittinger, and Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, p. 32.
  15. «What is 0^0?». www.maa.org. Consultado el 26 de julio de 2019. 

Enlaces externos