Politopo simple

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En geometría, un politopo simple de $d$ dimensiones es un politopo también de $d$ dimensiones, cada uno de cuyos vértices son adyacentes exactamente a $d$ aristas (y en consecuencia, también a $d$ caras). La figura de vértice de un $d$ -politopo simple es un $(d -1)$ -símplex.^[1]

Los politopos simples son topológicamente duales a politopos simpliciales. La familia de politopos que son a la vez simples y simpliciales son símplices o polígonos bidimensionales. Un poliedro simple es un poliedro tridimensional cuyos vértices son adyacentes a tres aristas y tres caras. El poliedro dual de uno simple es otro poliedro simple, en el que todas sus caras son triángulos.^[2]

Ejemplos

Entre los poliedros simples tridimensionales figuran los prismas (incluido el cubo), el tetraedro regular y el dodecaedro y, entre los sólidos arquimedianos, el tetraedro truncado, el cubo truncado, el octaedro truncado, el cuboctaedro truncado, el dodecaedro truncado, el icosaedro truncado y el icosidodecaedro truncado. También figuran los poliedros de Goldberg y los fullerenos, incluidos el tetraedro biselado, el cubo biselado y el dodecaedro biselado. En general, cualquier poliedro puede convertirse en uno simple mediante el truncamiento de sus vértices de valencia cuatro o superior. Por ejemplo, los trapezoedros truncados se forman truncando únicamente los vértices de mayor grado de un trapezoedro; y por lo tanto también son simples.

Los politopos simples de cuatro dimensiones incluyen el 120-celdas y el teseracto regulares. Los 4-politopos uniformes simples incluyen al 5-celdas truncado, al teseracto truncado, al 24-celdas truncado, al 120-celdas truncado y al duoprisma. Todos los 4-politopos bitruncados, cantitruncados u omnitruncados son simples.

Los politopos simples en dimensiones superiores incluyen los politopos d-símplex, hipercubo, asociaedro, permutoedro y todos los omnitruncados.

Reconstrucción única

Micha Perles conjeturó que un politopo simple está completamente determinado por su 1-esqueleto. Su conjetura fue probada en 1987 por Roswitha Blind y Peter Mani-Levitska.^[3] Gil Kalai poco después proporcionó una prueba más simple de este resultado, basada en la teoría de la orientación única del sumidero.^[4]

Referencias

↑ Ziegler, Günter M. (2012), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, p. 8, ISBN 9780387943657 .
↑ Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge University Press, p. 341, ISBN 0-521-66405-5 .
↑ Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter (1987), «Puzzles and polytope isomorphisms», Aequationes Mathematicae 34 (2-3): 287-297, MR 921106, doi:10.1007/BF01830678 .
↑ Kalai, Gil (1988), «A simple way to tell a simple polytope from its graph», Journal of Combinatorial Theory, Series A 49 (2): 381-383, MR 964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7 .

Datos: Q4381515

[z-1] Ziegler, Günter M. (2012), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, p. 8, ISBN 9780387943657 .

[c-2] Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge University Press, p. 341, ISBN 0-521-66405-5 .

[bm-3] Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter (1987), «Puzzles and polytope isomorphisms», Aequationes Mathematicae 34 (2-3): 287-297, MR 921106, doi:10.1007/BF01830678 .

[k-4] Kalai, Gil (1988), «A simple way to tell a simple polytope from its graph», Journal of Combinatorial Theory, Series A 49 (2): 381-383, MR 964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7 .

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