Teorema de Taniyama-Shimura

El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil, que fuera propuesto por los matemáticos japoneses Yutaka Taniyama y Gorō Shimura.​ En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.

Enunciado

Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo

$y^{2}=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$

tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que $A$, $B$, $C$ y $D$ son números racionales.

Una forma modular es una función analítica $f:H\rightarrow \mathbb {C}$ del semiplano superior

$H=\{x+iy:y>0\}$

a los complejos $\mathbb {C}$, tal que $f$ satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas $f(x)=f(x+N)$ para todo $x$ y algún entero $N$ fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).

El teorema afirma lo siguiente:

Para toda curva elíptica $E$ con coeficientes racionales existe una forma modular $f$ (de peso 2) tal que la serie $L$ asociada a $E$ y la serie $L$ asociada a $f$ coinciden. Esto equivale a que los coeficientes $a_{p}$ asociados a la curva $E$ (que se obtienen a partir del número de puntos de la curva módulo $p$, para $\ p$ primo de buena reducción de $E$) coinciden con los coeficientes del desarrollo de Fourier en el infinito de $f$. Andrew Wiles (90's)

Historia

Los trabajos de Andrew Wiles para obtener la demostración del último teorema de Fermat llevaron a la demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso semiestable (asistido por Richard Taylor), partiendo de la teoría de Deformaciones de Representaciones de Galois creada por B. Mazur y de resultados de Langlands y Tunnell y desarrollando lo que hoy se conocen como Teoremas de Levantamiento Modular 1995.​ Posteriormente, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor ampliaron el campo de aplicación desde las curvas elípticas semiestables definidas sobre los racionales a todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales.​ Hay duda sobre el aporte de Andrew Wiles; Serge Lang reivindicó a Shimura la paternidad junto con Taniyama. Este último se suicidó a los 31 años en 1958.

Referencias

• Singh, Simon (2007). «5. Prueba por contradicción». El enigma de Fermat (Segunda edición). Editorial Planeta. ISBN 9788408046790. 

• Aczel, Amir D.: El último teorema de Fermat, Fondo de cultura económica, México,publicado año 2003.

• Datos: Q649469