Cinemática

Diagramas de desplazamiento (s) Vs tiempo (t), velocidad (v) Vs tiempo y de aceleración (a) Vs tiempo.

La cinemática es la parte de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Cinemática deriva de la palabra griega κινεω (kineo) que significa mover.

En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias y se le llama sistema de referencia. La velocidad es el ritmo con que cambia la posición. La aceleración es el ritmo con que cambia la velocidad. La velocidad y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia la posición en función del tiempo.

Historia

Galileo Galilei hizo sus famosos estudios del movimiento de caída libre y de partículas en planos inclinados a fin de comprender temas del movimiento relevantes en su tiempo, como el movimiento de los planetas y de las balas de cañón hacia el 1604.​

El nacimiento de la cinemática moderna se da con la alocución de Pierre Varignon el 20 de enero de 1700 ante la academia real de las ciencias de París.​ En esta ocasión define la noción de aceleración y muestra cómo es posible deducirla de la velocidad instantánea con la ayuda de un simple procedimiento de cálculo diferencial. En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron más contribuciones por Jean Le Rond d'Alembert y André-Marie Ampère. Con la Teoría de la relatividad especial de Albert Einstein en 1905 se inició una nueva etapa, la cinemática relativista, donde el tiempo y el espacio no son absolutos, y sí lo es la velocidad de la luz.

Cinemática clásica-Fundamentos

La cinemática trata del estudio del movimiento de los cuerpos en general, y en particular, el caso simplificado del movimiento de un punto material. Para sistemas de muchas partículas, tales como los fluidos, las leyes de movimiento se estudian en la mecánica de fluidos

El movimiento trazado por una partícula lo mide un observador respecto a un sistema de referencia. Desde el punto de vista matemático, la cinemática expresa cómo varían las coordenadas de posición de la partícula (o partículas) en función del tiempo. La función que describe la trayectoria recorrida por el cuerpo (o partícula) depende de la velocidad (la rapidez con la que cambia de posición un móvil) y de la aceleración (variación de la velocidad respecto del tiempo).

El movimiento de una partícula (o cuerpo rígido) se puede describir según los valores de velocidad y aceleración, que son magnitudes vectoriales.

• Si la aceleración es nula, da lugar a un movimiento rectilíneo uniforme y la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo.
• Si la aceleración es constante con igual dirección que la velocidad, da lugar al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y la velocidad variará a lo largo del tiempo.
• Si la aceleración es constante con dirección perpendicular a la velocidad, da lugar al movimiento circular uniforme, donde el módulo de la velocidad es constante, cambiando su dirección con el tiempo.
• Cuando la aceleración es constante y está en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, tenemos el caso del movimiento parabólico, donde la componente de la velocidad en la dirección de la aceleración se comporta como un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y la componente perpendicular se comporta como un movimiento rectilíneo uniforme, generándose una trayectoria parabólica al componer ambas.
• Cuando la aceleración es constante pero no está en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, se observa el efecto de Coriolis.
• En el movimiento armónico simple se tiene un movimiento periódico de vaivén, como el del péndulo, en el cual un cuerpo oscila a un lado y a otro desde la posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. La aceleración y la velocidad son funciones, en este caso, sinusoidales del tiempo.

Al considerar el movimiento de traslación de un cuerpo extenso, en el caso de ser rígido, conociendo como se mueve una de las partículas, se deduce como se mueven las demás. Así basta describir el movimiento de una partícula puntual tal como el centro de masa del cuerpo para especificar el movimiento de todo el cuerpo. En la descripción del movimiento de rotación hay que considerar el eje de giro respecto del cual rota el cuerpo y la distribución de partículas respecto al eje de giro. El estudio del movimiento de giro de un sólido rígido suele incluirse en la temática de la mecánica del sólido rígido por ser más complicado. Un movimiento interesante es el de una peonza, que al girar puede tener un movimiento de precesión y de nutación

Cuando un cuerpo posee varios movimientos simultáneamente, tal como uno de traslación y otro de rotación, se puede estudiar cada uno por separado en el sistema de referencia que sea apropiado para cada uno, y luego, superponer los movimientos.

Sistemas de coordenadas

En el estudio del movimiento, los sistemas de coordenadas más útiles se encuentran viendo los límites de la trayectoria a recorrer, o analizando el efecto geométrico de la aceleración que afecta al movimiento. Así, para describir el movimiento de un talón obligado a desplazarse a lo largo de un aro circular, la coordenada más útil sería el ángulo trazado sobre el aro. Del mismo modo, para describir el movimiento de una partícula sometida a la acción de una fuerza central, las coordenadas polares serían las más útiles.

En la gran mayoría de los casos, el estudio cinemático se hace sobre un sistema de coordenadas cartesianas, usando una, dos o tres dimensiones según la trayectoria seguida por el cuerpo.

Registro del movimiento

La tecnología hoy en día nos ofrece muchas formas de registrar el movimiento efectuado por un cuerpo. Así, para medir la velocidad se dispone del radar de tráfico cuyo funcionamiento se basa en el efecto Doppler. El taquímetro es un indicador de la velocidad de un vehículo basado en la frecuencia de rotación de las ruedas. Los caminantes disponen de podómetros que detectan las vibraciones características del paso y, suponiendo una distancia media característica para cada paso, permiten calcular la distancia recorrida. El vídeo, unido al análisis informático de las imágenes, permite igualmente determinar la posición y la velocidad de los vehículos.

Movimientos de traslación

Movimiento rectilíneo uniforme

Para este caso la aceleración es cero por lo que la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. Esto corresponde al movimiento de un objeto lanzado en el espacio fuera de toda interacción, o al movimiento de un objeto que se desliza sin fricción. Siendo la velocidad v constante, la posición variará linealmente respecto del tiempo, según la ecuación:

$V=V_{0}\;\longleftrightarrow Velocidad\;constante$

$x=V\cdot t\,+x_{0}$

donde $\ x_{0}$ es la posición inicial del móvil respecto al centro de coordenadas, es decir para $\ t=0$.

Si $\ x_{0}=0$ la ecuación anterior corresponde a una recta que pasa por el origen, en el sistema de coordenadas $\ x(t)$.

Al estudiar las velocidades de un cuerpo rígido, este tipo de movimiento tiene una propiedad fundamental: Todos los puntos de un sólido en translación rectilínea uniforme tienen el mismo vector velocidad.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

En éste la aceleración es constante, por lo que la velocidad de móvil varía de forma lineal y la posición de manera parabólica respecto del tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son las siguientes:

$\ a=a_{0}\;\longleftrightarrow Aceleraci{\acute {o}}n\;constante$

$\ V=V_{0}+at$

$x={\frac {1}{2}}at^{2}+V_{0}t+x_{0}$

Donde $\ x_{0}$ es la posición inicial del móvil respecto del centro de coordenadas y $\ V_{0}$ corresponde a su velocidad inicial, aquella que tiene para $\ t=0$. En caso de que para $\ t=0$ el móvil se encuentre en el centro de coordenadas será $\ x_{0}=0$.

Observar que si la aceleración se anulara, las ecuaciones anteriores describirían, lógicamente, un "Movimiento Rectilíneo Uniforme" (con velocidad $\ V=V_{0}$ constante).

Dos casos específicos de MRUA son la caída libre y el tiro vertical. La caída libre es el movimiento de un objeto que cae en dirección al centro de la Tierra con una aceleración equivalente a la aceleración de la gravedad (que en el caso del planeta Tierra al nivel del mar es de aproximadamente 9,8 m/s²). El tiro vertical, en cambio, corresponde al de un objeto arrojado en la dirección opuesta al centro de la tierra, ganando altura. En este caso la aceleración de la gravedad, provoca que el objeto vaya perdiendo velocidad, en lugar de ganarla, hasta llegar al estado de reposo; seguidamente, y a partir de allí, comienza un movimiento de caída libre con velocidad inicial nula.

Movimiento parabólico

Figura 1. Esquema mostrando velocidad inicial del tiro parabólico y acción de la gravedad.

Figura 2. Objeto disparado con un ángulo $\ \theta$ desde un punto $\ y(x_{0})$ que sigue una trayectoria parabólica.

El movimiento parabólico se puede analizar como la composición de dos movimientos rectilíneos distintos: uno horizontal (según el eje x) de velocidad constante, y otro vertical (según eje y) uniformemente acelerado, con la aceleración gravitatoria. La conjugación de ambos da como resultado una trayectoria parabólica.

En la figura 1 se observa que el vector de velocidad inicial $V_{0}$ forma un ángulo $\theta \$ respecto al eje x; y, como se dijo, para el análisis descomponemos en los dos tipos de movimiento mencionados; entonces, las componentes según x e y de la velocidad inicial darán:

$V_{0x}=V_{0}\cos \theta \$

$V_{0y}=V_{0}\sin \theta \$

El desplazamiento horizontal está dado por la ley del movimiento uniforme, por tanto sus ecuaciones serán (si es $\ x_{0}=0$):

$\ a_{x}=0$

$\ V_{x}=V_{0x}$

$\ x=V_{0x}.t$

En tanto que el movimiento según el eje $\ y$ será rectilíneo uniformmente acelerado (tiro vertical), siendo sus ecuaciones rigentes:

$\ a_{y}=-g$

$\ V_{y}=V_{0y}+(-g)t$

$\ y=y_{0}+V_{0y}t+{\frac {1}{2}}(-g){t^{2}}\$

Si se reemplaza para eliminar el tiempo en las ecuaciones que dan las posiciones $\ x$ e $\ y$, se obtendrá la ecuación de la trayectoria en el plano, que tendrá la forma:

$\ y=a{x^{2}}+bx+c$

ecuación que representa una parábola, tal la mostrada en la figura 2.

La altura máxima en la trayectoria parabólica se producirá cuando la componente vertical de la velocidad $\ V_{y}$ sea cero (máximo de la parábola); y el mayor alcance horizontal $\ x$ ocurrirá cuando el cuerpo retorne al suelo, en $\ y=0$ (donde la parábola corta al eje $\ x$).

Movimiento armónico simple

Una masa colgada de un muelle se mueve con un movimiento armónico simple.

Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de una posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Matemáticamente, la trayectoria recorrida se expresa en función del tiempo usando funciones trigonométricas, que son periódicas. Así por ejemplo, la ecuación de posición respecto del tiempo, para un caso de movimiento en una dimensión es:

$x(t)=A\cos \left(2\,\pi \,ft+\phi \right)$

la que corresponde a una función sinusoidal de amplitud A y fase de oscilación $\phi \$.

Los movimientos de un péndulo, o de oscilación debido a un muelle (resorte), o la vibración de los átomos en las redes cristalinas son de estas características. En estos casos, la aceleración que sufre el cuerpo es proporcional al desplazamiento del objeto y de sentido contrario, desde el punto de equilibrio. Matemáticamente:

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$

donde $\ k$ es una constante positiva y $\ x$ se refiere al desplazamiento del cuerpo desde la posición de equilibrio.

Gráfica de un movimiento armónico.

La solución a esa ecuación diferencial contiene funciones trigonométricas de la forma anterior. Lógicamente, un movimiento periódico oscilatorio real se ralentiza en el tiempo (por fricción mayormente), por lo que la expresión de la aceleración es más complicada, necesitando agregar nuevos términos, físicamente relacionados con coeficientes de fricción. Una buena aproximación a la realidad es el estudio del movimiento oscilatorio amortiguado.

Véase también: Oscilador armónico

Movimientos circulares

Los movimientos circulares son un tipo común de movimientos, tal como experimentan las partículas de un disco, o una noria, o una piedra de molino al girar alrededor de su eje. En el caso del disco que gira, sus partículas describen trayectorias circulares, realizando un número de vueltas en un cierto espacio de tiempo. En vez de distancia, es más cómodo hablar de ángulos recorridos, pues ellos son los mismos independientemente de la posición de la partícula respecto del centro de giro en el disco. La distancia recorrida por una partícula del disco depende de su posición y es igual al producto del ángulo recorrido por la distancia al eje de giro. La velocidad angular es la variación en el tiempo del desplazamiento angular de la partícula, y la aceleración angular es la variación en el tiempo de la velocidad angular.

La velocidad lineal de un punto es la razón entre el espacio recorrido y el tiempo, que depende de la posición de la partícula en el disco, siendo igual a la velocidad angular multiplicada por la distancia al eje de giro. La velocidad lineal instantánea está en la dirección tangente a la trayectoria circular.

La aceleración instantánea es la variación en el tiempo de la velocidad lineal instantánea (v). En general se tienen dos componentes de aceleración, la aceleración tangencial a la trayectoria y la normal a ésta. La aceleración tangencial es la que causa la variación del módulo de la velocidad lineal respecto del tiempo, mientras que la aceleración normal es la responsable del cambio de dirección de la velocidad. Su valor depende de la variación en la distancia al eje de giro. Las dos componentes juntas son las que provocan una aceleración total capaz de hacer que un objeto rote en torno a un centro.

Movimiento circular uniforme

Dirección de magnitudes físicas en una trayectoria circular de radio 1.

Se caracteriza por tener una velocidad angular constante por lo que la aceleración angular es nula. La velocidad lineal de la partícula no varía en módulo, pero sí en dirección. La aceleración tangencial es nula; pero existe aceleración centrípeta (la aceleración normal), que es causante del cambio de dirección.

Matemáticamente, la velocidad angular se expresa como:

$\ \omega =\omega _{0}\;\longleftrightarrow Velocidad\;angular\;constante$

$\omega ={\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}$

donde $\ \omega$ es la velocidad angular (constante), $\ \Delta \varphi$ es la variación del ángulo barrido por la partícula y $\ \Delta t$ es la variación del tiempo.

El ángulo recorrido en un intervalo de tiempo es:

$\ \varphi =\varphi _{0}+\omega t$

Movimiento circular uniformemente acelerado

En este movimiento, la velocidad angular varía linealmente respecto del tiempo, por estar sometido el móvil a una aceleración angular constante. Las ecuaciones de movimiento son análogas a las del rectilíneo uniformemente acelerado, pero usando ángulos en vez de distancias:

$\ \alpha =\alpha _{0}\;\longleftrightarrow Aceleraci{\acute {o}}n\;angular\;constante$

$\ \omega =\omega _{0}+\alpha t$

$\ \varphi =\varphi _{0}+\omega _{0}t+{\frac {1}{2}}\alpha t^{2}$

siendo $\alpha \,$ la aceleración angular, constante.

Movimiento sobre la Tierra

Al observar el movimiento sobre la Tierra de cuerpos tales como masas de aire en meteorología o de proyectiles, se encuentran unas desviaciones provocadas por el llamado Efecto Coriolis. Ellas son usadas para probar que la Tierra está rotando sobre su eje. Desde el punto de vista cinemático es interesante explicar lo que ocurre al considerar la trayectoria observada desde un sistema de referencia que está en rotación, la Tierra.

Supongamos que un cañón situado en el ecuador lanza un proyectil hacia el norte a lo largo de un meridiano. Un observador situado al norte sobre el meridiano observa que el proyectil cae al este de lo predicho, desviándose a la derecha de la trayectoria. De forma análoga, si el proyectil se hubiera disparado a lo largo del meridiano hacia el sur, el proyectil también se habría desviado hacia el este, en este caso hacia la izquierda de la trayectoria seguida. La explicación de esta "desviación", provocada por el Efecto Coriolis, es debida a la rotación de la Tierra. El proyectil tiene una velocidad con tres componentes: las dos que afectan al tiro parabólico, hacia el norte (o el sur) y hacia arriba, respectivamente, más una tercera componente perpendicular a las anteriores debida a que el proyectil, antes de salir del cañón, tiene una velocidad igual a la velocidad de rotación de la Tierra en el ecuador. Esta última componente de velocidad es la causante de la desviación observada pues si bien la velocidad angular de rotación de la Tierra es constante sobre toda su superficie, no lo es la velocidad lineal de rotación, la cual es máxima en el ecuador y nula en el centro de los polos. Así, el proyectil conforme avanza hacia el norte (o el sur), se mueve más rápido hacia el este que la superficie de la Tierra, por lo que se observa la desviación mencionada. Lógicamente, si la Tierra no estuviese rotando sobre sí misma, no se daría esta desviación.

Otro caso interesante de movimiento sobre la Tierra es el del péndulo de Foucault. El plano de oscilación del péndulo no permanece fijo, sino que lo observamos girar, girando en sentido horario en el hemisferio norte y en sentido antihorario en el hemisferio sur. Si el péndulo se pone a oscilar en el ecuador, el plano de oscilación no cambia. En cambio, en los polos, el giro del plano de oscilación toma un día. Para latitudes intermedias toma valores mayores, dependiendo de la latitud. La explicación de tal giro se basa en los mismos principios hechos anteriormente para el proyectil de artillería.

Formulación matemática con el cálculo diferencial

Newton, en su Principia, definió las leyes del movimiento en una forma matemática que el mismo había desarrollado, con el cálculo diferencial. Más adelante, usando la notación para el cálculo diferencial desarrollada por Leibnitz, Pierre Varignon presentó las fórmulas de la cinemática de forma moderna. La velocidad se convierte en la derivada temporal de la posición y de la misma manera, la aceleración se convierte en la derivada temporal de la velocidad:

${\vec {a}}={\frac {d{\overrightarrow {v(t)}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\overrightarrow {x(t)}}}{dt^{2}}}$

${\vec {v}}={\frac {d{\overrightarrow {x(t)}}}{dt}}$

Lo que nos indica que si tenemos una función x que depende del tiempo, x(t), la primera derivada temporal sería la velocidad y su segunda la aceleración. Si su segunda derivada es cero, pues el movimiento es rectilíneo uniforme como se ha dicho anteriormente ya que su aceleración es nula y así sucesivamente. Por lo que podemos poner como:

${\overrightarrow {v(t)}}={\overrightarrow {x^{\prime }(t)}}={\dot {\overrightarrow {v(t)}}}$

${\overrightarrow {a(t)}}={\overrightarrow {x^{\prime \prime }(t)}}={\ddot {\overrightarrow {x(t)}}}=v^{\prime }(t)={\dot {\overrightarrow {v(t)}}}$

Por el contrario, si tenemos una función de aceleración y necesitamos obtener una posición, debemos realizar el proceso matemático inverso, el cálculo integral. Por lo que el proceso seria así:

$x(t)=\int v(t)dt$

$v(t)=\int a(t)dt$

Las ecuaciones escritas anteriormente son casos especiales de estas ecuaciones más generales. Para el movimiento circular el procedimiento es el mismo.

Véase también: Cálculo diferencial

Cinemática Relativista

En relatividad, lo que es absoluto es la velocidad de la luz en el vacío, no el espacio o el tiempo. Todo observador en un sistema de referencia inercial, no importa su velocidad relativa, va a medir la misma velocidad para la luz que otro observador en otro sistema. Esto no es posible desde el punto de vista clásico. Las transformaciones de movimiento entre dos sistemas de referencia deben tener en cuenta este hecho, de lo que surgieron las transformaciones de Lorentz. En ellas se ve que las dimensiones espaciales y el tiempo están relacionadas, por lo que en relatividad es normal hablar del espacio-tiempo y de un espacio cuatridimensional.

Hay muchas evidencias experimentales de los efectos relativistas. Por ejemplo el tiempo medido en un laboratorio para la desintegración de una partícula que ha sido generada con una velocidad próxima a la de la luz es superior al de desintegración medido cuando la partícula se genera en reposo respecto al laboratorio. Esto se explica por la dilatación temporal relativista que ocurre en el primer caso.

La cinemática es un caso especial de geometría diferencial de curvas, en el que todas las curvas se parametrizan de la misma forma: con el tiempo. Para el caso relativista, el tiempo coordenado es una medida relativa para cada observador, por tanto se requiere el uso de algún tipo de medida invariante como el invervalo relativista o equivalentemente para partículas con masa el tiempo propio. La relación entre el tiempo coordenado de un observador y el tiempo propio viene dado por el factor de Lorentz.​

Véase también

• Dinámica
• Mecánica
• Teoría de la Relatividad Especial

Referencias

Bibliografía

1. Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-2. 
2. Richard Feynman (1974). Feynman lectures on Physics Volume 2 (en inglés). Addison Wesley Longman. ISBN 0-201-02115-3. 
3. Robert Resnick, David Halliday (2004). Física 4ta. Edición Vol. 1. SECSA, México. ISBN 970-24-0257-3. 

Enlaces externos

• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Cinemática.
• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Cinemática.
• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Cinemática.
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre Cinemática.
• Problemas de cinemática
• Física por ordenador