Diferencia entre revisiones de «Divisibilidad»

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Revisión del 03:28 27 ago 2009

Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que:

b = a · c

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero. Véase el algoritmo de la división.

Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los números que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos

Propiedades

Sean $a,b,c\in \mathbb {Z}$ , es decir $\ a$ , $\ b$ y $\ c$ son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:

$a\mid a$ (Propiedad Refleja).
Si $a\mid b$ y $b\mid c$ , entonces $a\mid c$ (Propiedad Transitiva).
Si $a\mid b$ , entonces $|a|\leq |b|$ .
Si $a\mid b$ y $a\mid c$ , entonces $a\mid \beta b+\gamma c\ \ \forall \ \beta ,\gamma \in \mathbb {Z}$ .
Si $a\mid b$ y $a\mid b\pm \ c$ , entonces $a\mid c$
Si $a\mid b$ y $b\mid a$ , entonces $\ |a|=|b|$ .
Si $a\mid b$ y $b\neq 0$ , entonces ${\frac {b}{a}}\mid b$ .
Para $c\neq 0$ , $a\mid b$ si y sólo si $ac\mid bc$
Si $a\mid bc$ y $\ mcd(a,b)=1$ , entonces $a\mid c$ .
Si $\ mcd(a,b)=1$ y $\ c$ cumple que $a\mid c$ y $b\mid c$ , entonces $ab\mid c$ .

Como $0=0\cdot n$ y $n=n\cdot 1$ se tiene que $n\mid 0$ y $1\mid n$ para todo $\ n$ entero. Si $\ m$ no es divisible por $\ n$ escribimos $n\nmid m$ . Notemos que $0\nmid m$ para todo $\ m$ distinto de cero, pues $m\neq 0=k\cdot 0$ para todo $\ k$ entero. .

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:

Número	Criterio	Ejemplo
2	El número termina en cero o cifra par.	378: porque "8" es par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.	480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4.	7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.	485: porque acaba en 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.	24: Ver criterios anteriores.
7	Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es.	469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7.
7	Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7.	52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8.	27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.	3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.	470: La última cifra es 0.
11	Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste. Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.	42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11 44: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11
12	El número es divisible por 3 y 4.	528: Ver criterios anteriores.
13	Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es.	364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13.
13	Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es.	432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13.
14	El número es divisible por 2 y por 7.	224: Ver criterios anteriores
15	El número es divisible por 3 y por 5.	255: Ver criterios anteriores
16	El número formado por las cuatro últimas cifras es múltiplo de 16.	254176: porque 4176 es múltiplo de 16.
17	Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le resta esta última cifra multiplicada por 5, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 17.	493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17.
18	El número es divisible por 2 y por 9.	576: Ver criterios anteriores
19	Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le suma esta última cifra multiplicada por 2, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 19.	323: porque 32+3·2 = 38 es múltiplo de 19.
20	El número acaba en cero y la penúltima cifra es par.	480: porque acaba en 0 y 8 es par.
21	El número es divisible por 3 y por 7.	231: Ver criterios anteriores
22	El número es divisible por 2 y por 11.	220: Ver criterios anteriores
24	El número es divisible por 3 y por 8.	480: Ver criterios anteriores
25	Las dos últimas cifras son 00 ó múltiplo de 25.	9325: porque acaba en 25
26	El número es divisible por 2 y por 13.	234: Ver criterios anteriores
28	El número es divisible por 4 y por 7.	336: Ver criterios anteriores
30	El número acaba en cero y la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.	690: porque acaba en cero y 6+9+0 = 15 es múltiplo de 3

Véase también

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 Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los [[número]]s que no admiten más que estos dos divisores se denominan [[número primo|números primos]]. Los que admiten más de dos divisores se llaman [[número compuesto|números compuestos]]
+== Propiedades ==
+Sean <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>, es decir <math>\ a</math>, <math>\ b</math> y <math>\ c</math> son [[número entero|números enteros]]. Tenemos las siguientes propiedades básicas:
+#<math>a\mid a</math>   (Propiedad Refleja).
+#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\mid c</math>, entonces <math>a\mid c</math>   (Propiedad Transitiva).
+#Si <math>a\mid b</math> , entonces <math>|a|\leq |b|</math>.
+#Si <math>a\mid b</math> y <math>a\mid c</math>, entonces <math>a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in  \mathbb{Z}</math>.
+#Si <math>a\mid b</math> y <math>a\mid b \pm\ c</math>, entonces <math>a\mid c</math>
+#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\mid a</math>, entonces <math>\ |a|=|b|</math>.
+#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\neq 0</math>, entonces <math>\frac{b}{a}\mid b</math>.
+#Para <math>c\neq 0</math>, <math>a\mid b</math> si y sólo si <math>ac\mid bc</math>
+#Si <math>a\mid bc</math> y [[Máximo común divisor|<math>\ mcd(a,b)=1</math>]], entonces <math>a\mid c</math>.
+#Si <math>\ mcd(a,b)=1</math> y <math>\ c</math> cumple que <math>a\mid c</math> y <math>b\mid c</math>, entonces <math>ab\mid c</math>.
+Como <math>0=0\cdot n</math> y <math>n=n\cdot 1</math> se tiene que <math>n\mid 0</math>  y  <math>1\mid n</math> para todo <math>\ n</math> entero. Si <math>\ m</math> no es divisible por <math>\ n</math> escribimos <math>n\nmid m</math>. Notemos que <math>0\nmid m</math> para todo <math>\ m</math> distinto de cero, pues <math>m\neq 0=k\cdot 0</math> para todo <math>\ k</math> entero.
+.
 == Criterios de divisibilidad ==
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 |'''[[Once|11]]'''
-|Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es |'''[[Diecisiete|17]]'''
+|Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.
+Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.
+|42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11
+: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11
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+|'''[[Doce|12]]'''
+|El número es divisible por 3 y 4.
+|528: Ver criterios anteriores.
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+|rowspan=2|'''[[Trece|13]]'''
+|Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es.
+|364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13.
+|-
+|Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es.
+|432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13.
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+|'''[[Catorce|14]]'''
+|El número es divisible por 2 y por 7.
+|224: Ver criterios anteriores
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+|'''[[Quince|15]]'''
+|El número es divisible por 3 y por 5.
+|255: Ver criterios anteriores
+|-
+|'''[[Dieciséis|16]]'''
+|El número formado por las cuatro últimas cifras es múltiplo de 16.
+|254176: porque 4176 es múltiplo de 16.
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+|'''[[Diecisiete|17]]'''
 |Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le resta esta última cifra multiplicada por 5, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 17.
 |493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17.
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 |El número es divisible por 2 y por 13.
 |234: Ver criterios anteriores
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+|'''[[Veintiocho|28]]'''
+|El número es divisible por 4 y por 7.
+|336: Ver criterios anteriores
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 |'''[[Treinta|30]]'''
 |El número acaba en cero y la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.