Teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos(\gamma )$

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.​

Fig. 1 - Notación más habitual de un triángulo.

Historia

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.​ Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»

Euclides, Elementos.​

Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:

Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

$AB^{2}=zCA^{2}+CB^{2}+2\ CA\ CH$

Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani​ generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.​​ Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,​ matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.​

Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.​

El teorema y sus aplicaciones

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo $\gamma \,$ es recto o, dicho de otro modo, cuando $\cos \gamma =0\,$, el teorema del coseno se reduce a:

$\,c^{2}=a^{2}+b^{2}$

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.

El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar

• el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$.

• los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:

$\gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$.

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utlizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.

Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'

$\,cc'=aa'+bb'-(ab'+a'b)\cos \gamma$.

Demostraciones

Por desglose de áreas

Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.

Un cierto número de la demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que

• a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
• ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).

Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos

La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:

• En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha.
• En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ABC.
• En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.

Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que $a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\,\cos \gamma$, equivalente al Teorema del coseno.

Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.

La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra

• En verde a², b² la izquierda y c² a la derecha.
• En azul -2ab cos(γ), recordando que al ser cos(γ) negativo, la expresión completa es positiva.
• En rojo, dos veces el triángulo ABC para ambos lados de la figura.

Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da $\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}$, como queríamos demostrar.

Por el teorema de Pitágoras

Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo $\gamma$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que c² = h² + u² de modo que h² = a² - (b-u)². Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos c² = u² + a² - b² + 2bu - u², es decir:

$c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bu\,$

Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto

$u=b-a\,\cos \gamma \,$

Sustituimos el valor de u en la expresión para c² y simplificamos: c² = a²-b² +2b (b-a cos(γ)), concluyendo

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma$

y terminando con esto la prueba del primer caso.

Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente c² = h² + u² pero en este caso h² = a² - (b+u)². Combinando ambas ecuaciones obtenemos $c^{2}=u^{2}+a^{2}-b^{2}-2bu-u^{2}$ y de este modo:

$c^{2}=a^{2}-b^{2}-2bu\,$.

De la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b+u)/a y por tanto

$u=a\,\cos \gamma -b\,$.

Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma \,$.

Esto concluye la demostración.

Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.

Por la potencia de un punto con respecto a un círculo

Fig. 6 - Demostración del teorema del coseno utilizando la potencia de un punto con respecto a un círculo.

Consideremos un círculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6. Si AC es tangente al círculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitágoras. Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el círculo. LA potencia del punto A con respecto a dicho círculo es

$AP\cdot AL=AC\cdot AK=AC(AC+CK)$.

Por otro lado, AL = c+a y AP = c-a de modo que

$AP\cdot AL=(c+a)(c-a)=c^{2}-a^{2}$.

Además, CK= -2a cos(γ) (ver el apéndice) por lo que

$AC(AC+CK)=b(b-2a\,cos(\gamma ))$.

Igualando las expresiones obtenidas se obtiene nuevamente c²=a²+b²-2ab cos(γ).

Contrariamente a las precedentes, para esta demostración, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ángulo agudo.

Por el cálculo vectorial

Utilizando el cálculo vectorial, más precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas líneas:

$c^{2}\,$	$=\lVert {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\lVert ^{2}$
	$=\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}-{\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}$
	$=\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\lVert ^{2}-2\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}+\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}$
	$=\mathrm {CB} ^{2}-2\cdot \left|\mathrm {CB} \right|\cdot \left|\mathrm {CA} \right|\cos {\widehat {\mathrm {ACB} }}+\mathrm {CA} ^{2}$
	$=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,$

Generalización en geometrías no euclídeas

Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensiones reducidas a, b y c ; ángulos α, β y γ.

Para una superficie no euclídea de curvatura K, señalamos con R el radio de curvatura. Este verifica

$\,R=1/{\sqrt {|K|}}$.

Definimos entonces las dimensiones reducidas del triángulo:

$\,a=BC/R$,

$\,b=AC/R$,

$\,c=AB/R$.

En el caso de un triángulo esférico, a, b y c corresponden a la medida angular de los segmentos de grande arco [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 7).

Geometría esférica

Cuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del triángulo, es decir cuando

$\,a<\!\!<1$,

esta expresión se simplifica para dar la versión euclídea del teorema del coseno. Para hacerlo, :$\,\cos a=1-a^{2}/2+O(a^{3})$, etc.

Existe una identidad similar que relaciona los tres ángulos:

$\cos \gamma =-\cos \alpha \,\cos \beta +\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos c$

Geometría hiperbólica

En un triángulo hiperbólico ABC, el teorema del coseno se escribe

$\cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma$.

Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del triángulo, encontramos el teorema del coseno euclídeo a partir de los desarrollos limitados

$\,\sinh a=a+O(a^{3})$, etc.,

$\,\cosh a=1+a^{2}/2+O(a^{3})$, etc.

Generalización en el espacio euclídeo

Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras y ángulos.

Consideremos un tetraedro A₁A₂A₃A₄ del espacio euclídeo, siendo:

$\,\mathrm {S} _{k}$ la cara opuesta al vértice $\mathrm {A} _{k}\$;

$\,s_{k}$ la superficie de $\mathrm {S} _{k}\$;

$\,\Delta _{k}$ el plano que contiene a la cara $\mathrm {S} _{k}\$;

$\,\theta _{ij}$ el ángulo diedral ${\widehat {(\Delta _{i},\Delta _{j})}}$.

(La figura 8, contigua, presenta la notación de los vértices, caras y ángulos del tetraedro).

Entonces, las superficies y ángulos verifican:

$\,s_{4}^{2}=s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}-2s_{1}s_{2}\cos \theta _{12}\,$

$-2s_{1}s_{3}\cos \theta _{13}-2s_{2}s_{3}\cos \theta _{23}\,$.

2ab+a.b(.b)= AC*AS"

Véase también

• Trigonometría
  • Triangulación
  • Trigonometría esférica
  • Función trigonométrica
• Geometría del triángulo
  • Teorema de Pitágoras
  • Teorema del seno
• Matemáticos
  • Euclides
  • al-Battani
  • Ghiyath al-Kashi
  • François Viète

Bibliografía

• Los Elementos, tomo II, Euclides.
• Law of cosines, en Math World (en inglés)
• Éfimov, N. (1981). Géométrie Supérieure. Moscú : Éditions Mir. OCLC 11732242. 
• Lions, Jacques Louis (1980). Petite Encyclopédie des Mathématiques. París : Didier. OCLC 23703843.